Mit Körpern rechnen - aiMOOC

Einleitung

Geometrische Körper begegnen Dir überall: Eine Schachtel ist näherungsweise ein Quader, ein Würfelspiel benutzt einen Würfel, eine Getränkedose hat die Form eines Zylinders, ein Eishörnchen erinnert an einen Kegel, ein Ball an eine Kugel und viele Dächer oder Verpackungen lassen sich als Prismen oder Pyramiden modellieren. Beim Thema Mit Körpern rechnen lernst Du, wie Du Volumen, Oberflächeninhalt, Mantelfläche, Grundfläche, Höhe, Radius und Durchmesser sicher bestimmst. Außerdem siehst Du, wie mathematische Formeln in einem MediaWiki mit der Math-Erweiterung geschrieben werden.

Die MediaWiki Extension Math nutzt die Schreibweise zwischen Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \lt math\gt} und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \lt /math\gt} . Im Wikitext steht zum Beispiel <math>V=a\cdot b\cdot c</math>. Angezeigt wird daraus $V=a\cdot b\cdot c$. So können Formeln übersichtlich, eindeutig und professionell dargestellt werden.

Grundideen der Körperberechnung

Körper, Fläche und Raum

Ein geometrischer Körper liegt im dreidimensionalen Raum. Er hat Länge, Breite und Höhe oder andere passende Maße wie Radius, Durchmesser und Schräghöhe. Die äußere Begrenzung eines Körpers heißt Oberfläche. Die Größe dieser Oberfläche nennt man Oberflächeninhalt. Der Platz, den ein Körper im Raum einnimmt, heißt Volumen.

Volumen

Das Volumen beschreibt den Rauminhalt eines Körpers. Es wird in Kubikeinheiten angegeben, zum Beispiel ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, ${\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$ oder ${\mathrm{m}}^3$. Bei vielen Körpern wird das Volumen aus einer Grundfläche und einer Höhe berechnet.

Für gerade Prismen und Zylinder gilt allgemein:

$V=G\cdot h$

Dabei steht $G$ für den Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ für die senkrechte Höhe.

Für Pyramiden und Kegel gilt:

$V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$

Der Faktor $\frac{1}{3}$ zeigt: Eine Pyramide oder ein Kegel hat bei gleicher Grundfläche und gleicher Höhe ein Drittel des Volumens des passenden Prismas oder Zylinders.

Oberflächeninhalt

Der Oberflächeninhalt ist die Summe aller Flächen, die den Körper außen begrenzen. Bei Körpern mit ebenen Flächen kannst Du oft ein Körpernetz zeichnen und die Teilflächen addieren. Bei runden Körpern kommen Kreisflächen und gekrümmte Mantelflächen hinzu.

Für viele Körper gilt die Grundidee:

$O=\text{Summe aller äußeren Teilflächen}$

Bei Körpern mit Grund- und Deckfläche wird häufig zwischen Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche unterschieden.

Einheiten und Umrechnungen

Beim Rechnen mit Körpern sind Einheiten entscheidend. Längen werden in $\mathrm{m}\mathrm{m}$, $\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\mathrm{d}\mathrm{m}$ oder $\mathrm{m}$ gemessen. Flächen werden in Quadrateinheiten angegeben, Volumina in Kubikeinheiten.

Wichtige Umrechnungen sind:

$1{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3=1\mathrm{l}$

$1{\mathrm{m}}^3=1000{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3=1000\mathrm{l}$

$1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3=1\mathrm{m}\mathrm{l}$

Achte darauf, vor dem Einsetzen in eine Formel alle Längen in dieselbe Einheit umzuwandeln. Wenn ein Radius in Zentimetern und eine Höhe in Millimetern gegeben ist, musst Du zuerst umrechnen.

Rechnen mit wichtigen Körpern

Würfel

Ein Würfel hat sechs gleich große quadratische Flächen. Alle Kanten sind gleich lang. Wenn die Kantenlänge $a$ heißt, gilt:

$V=a^3$

$O=6a^2$

Ein Würfel mit $a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$ hat daher:

$V=5^3=125{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

$O=6\cdot 5^2=150{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Quader

Ein Quader hat rechteckige Seitenflächen. Seine Kantenlängen heißen häufig $a$, $b$ und $c$.

$V=a\cdot b\cdot c$

$O=2(ab+ac+bc)$

Beispiel: Eine Schachtel ist $8\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang, $5\mathrm{c}\mathrm{m}$ breit und $3\mathrm{c}\mathrm{m}$ hoch.

$V=8\cdot 5\cdot 3=120{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

$O=2(8\cdot 5+8\cdot 3+5\cdot 3)=2(40+24+15)=158{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Prisma

Ein Prisma hat zwei zueinander parallele und kongruente Grundflächen. Die übrigen Flächen bilden den Mantel. Bei einem geraden Prisma gilt:

$V=G\cdot h$

$O=2G+M$

$M=U_G\cdot h$

Dabei ist $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche, $U_G$ der Umfang der Grundfläche und $h$ die Höhe des Prismas. Besonders wichtig ist das Dreiecksprisma, weil seine Grundfläche ein Dreieck ist. Dann berechnest Du zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=WBJNXPCbzlU |500|center}}

Pyramide

Eine Pyramide hat eine Grundfläche und eine Spitze. Die Seitenflächen sind Dreiecke. Für das Volumen gilt:

$V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$

Der Oberflächeninhalt ist:

$O=G+M$

Dabei ist $M$ die Summe aller dreieckigen Seitenflächen. Wenn die Grundfläche ein Quadrat mit Seitenlänge $a$ ist und die Seitenhöhe der Dreiecke $s_a$ beträgt, gilt für die Mantelfläche:

$M=4\cdot \frac{1}{2}a\cdot s_a=2a\cdot s_a$

Eine quadratische Pyramide mit $a=6\mathrm{c}\mathrm{m}$, $s_a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $h=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ hat:

$G=6^2=36{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

$M=2\cdot 6\cdot 5=60{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

$O=36+60=96{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

$V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4=48{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

Zylinder

Ein Zylinder hat zwei parallele Kreisflächen und eine gekrümmte Mantelfläche. Der Radius der Grundfläche heißt $r$, die Höhe heißt $h$.

$G=\pi r^2$

$V=\pi r^{2}h$

$M=2\pi rh$

$O=2\pi r^2+2\pi rh$

Beispiel: Eine Dose hat $r=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $h=10\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$V=\pi \cdot 4^2\cdot 10=160\pi \approx \mathrm{502,65}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

$O=2\pi \cdot 4^2+2\pi \cdot 4\cdot 10=112\pi \approx \mathrm{351,86}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Kegel

Ein Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche, eine Spitze und eine gekrümmte Mantelfläche. Neben Radius $r$ und Höhe $h$ ist die Schräghöhe $s$ wichtig.

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$M=\pi rs$

$O=\pi r^2+\pi rs$

Wenn ein gerader Kreiskegel vorliegt, gilt mit dem Satz des Pythagoras:

$s=\sqrt{r^2+h^2}$

Beispiel: Ein Kegel hat $r=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $h=4\mathrm{c}\mathrm{m}$. Dann ist:

$s=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{c}\mathrm{m}$

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2\cdot 4=12\pi \approx \mathrm{37,70}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

$O=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=24\pi \approx \mathrm{75,40}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Kugel

Eine Kugel besteht aus allen Punkten, die von einem Mittelpunkt höchstens den Abstand $r$ haben. Die Oberfläche der Kugel ist besonders regelmäßig.

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

$O=4\pi r^2$

Beispiel: Ein Ball hat den Radius $r=6\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$V=\frac{4}{3}\pi \cdot 6^3=288\pi \approx \mathrm{904,78}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

$O=4\pi \cdot 6^2=144\pi \approx \mathrm{452,39}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=ZcHfje2Ojo8 |500|center}}

Kegelstumpf als Erweiterung

Ein Kegelstumpf entsteht, wenn ein Kegel parallel zur Grundfläche abgeschnitten wird. Er hat zwei Kreisflächen mit den Radien $R$ und $r$ sowie die Höhe $h$.

$V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)$

$M=\pi (R+r)s$

$O=\pi R^2+\pi r^2+\pi (R+r)s$

Der Kegelstumpf ist eine gute Erweiterung, wenn Du Blumentöpfe, Becher, Lampenschirme oder Eimer mathematisch modellieren möchtest.

Formelsammlung

Körper	Volumen	Oberfläche oder wichtige Fläche	Hinweise
Würfel	$V=a^3$	$O=6a^2$	Alle Kanten sind gleich lang.
Quader	$V=a\cdot b\cdot c$	$O=2(ab+ac+bc)$	Drei verschiedene Kantenlängen können vorkommen.
Prisma	$V=G\cdot h$	$O=2G+U_G\cdot h$	Gilt direkt für gerade Prismen.
Pyramide	$V=\frac{1}{3}G\cdot h$	$O=G+M$	Die Mantelfläche besteht aus Dreiecken.
Zylinder	$V=\pi r^{2}h$	$O=2\pi r^2+2\pi rh$	Zwei Kreisflächen und eine Mantelfläche.
Kegel	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$	$O=\pi r^2+\pi rs$	Die Schräghöhe $s$ wird oft mit Pythagoras berechnet.
Kugel	$V=\frac{4}{3}\pi r^3$	$O=4\pi r^2$	Alle Oberflächenpunkte haben denselben Abstand vom Mittelpunkt.

Strategien zum Lösen von Aufgaben

Schritt 1: Körper erkennen

Zuerst bestimmst Du, welcher Körper vorliegt. Frage Dich: Gibt es rechteckige Flächen, Kreisflächen, eine Spitze, zwei gleiche Grundflächen oder eine gekrümmte Oberfläche? Oft ist ein realer Gegenstand nur näherungsweise ein mathematischer Körper. Eine Dose wird zum Zylinder, ein Ball zur Kugel, ein Karton zum Quader.

Schritt 2: Gesuchte Größe bestimmen

Lies genau, ob nach Volumen, Oberflächeninhalt, Mantelfläche, Grundfläche, Höhe, Radius oder Durchmesser gefragt ist. Die Frage entscheidet, welche Formel Du brauchst. Wenn Materialbedarf gefragt ist, geht es meist um Oberfläche. Wenn Füllmenge gefragt ist, geht es meist um Volumen.

Schritt 3: Einheiten vereinheitlichen

Setze Werte nur dann in die Formel ein, wenn sie zur gleichen Einheit gehören. Aus $20\mathrm{m}\mathrm{m}$ wird $2\mathrm{c}\mathrm{m}$, wenn Du mit Zentimetern rechnen möchtest. Ergebnisse müssen passende Einheiten erhalten: Länge in $\mathrm{c}\mathrm{m}$, Fläche in ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$, Volumen in ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$.

Schritt 4: Formel einsetzen und sauber rechnen

Schreibe die Formel zuerst allgemein auf. Setze dann die Werte ein. Rechne erst am Ende mit einer gerundeten Zahl für $\pi$, wenn möglich. Üblich ist:

$\pi \approx \mathrm{3,14159}$

Bei Schulaufgaben wird oft auf zwei Dezimalstellen gerundet. Gib dann an, dass Dein Ergebnis ein Näherungswert ist.

Schritt 5: Ergebnis prüfen

Prüfe, ob das Ergebnis sinnvoll ist. Ein Volumen kann nicht negativ sein. Eine Oberfläche ist immer eine Fläche. Wenn ein kleiner Gegenstand plötzlich mehrere Kubikmeter groß ist, liegt wahrscheinlich ein Einheitenfehler vor.

Mit zusammengesetzten Körpern rechnen

Viele Aufgaben bestehen nicht nur aus einem einfachen Körper. Ein zusammengesetzter Körper wird in bekannte Teilkörper zerlegt. Dann addierst oder subtrahierst Du Volumina und Oberflächen passend.

Körper zusammensetzen

Wenn ein Körper aus mehreren Teilkörpern besteht, gilt für das Volumen meist:

$V_{\text{gesamt}}=V_1+V_2+V_3+\dots$

Beispiel: Ein Turm besteht aus einem Quader und einer Pyramide als Dach. Dann berechnest Du das Volumen des Quaders und das Volumen der Pyramide getrennt und addierst beide.

Körper aushöhlen oder ausschneiden

Wenn ein Loch oder eine Aussparung vorhanden ist, subtrahierst Du das Volumen des entfernten Körpers.

$V_{\text{Rest}}=V_{\text{außen}}-V_{\text{Aussparung}}$

Beispiel: Durch einen Quader wird ein zylindrisches Loch gebohrt. Dann gilt:

$V_{\text{Rest}}=a\cdot b\cdot c-\pi r^{2}h$

Beim Oberflächeninhalt musst Du besonders aufpassen: Herausgeschnittene Flächen verschwinden, aber neue Innenflächen können hinzukommen.

Ähnliche Körper und Skalierung

Wenn alle Längen eines Körpers mit dem Faktor $k$ vergrößert werden, wächst der Oberflächeninhalt mit $k^2$ und das Volumen mit $k^3$.

$O_2=k^2\cdot O_1$

$V_2=k^3\cdot V_1$

Wird ein Körper in allen Längen verdoppelt, vervierfacht sich die Oberfläche und das Volumen wird achtmal so groß. Diese Beziehung ist wichtig in Architektur, Biologie, Technik und Modellbau.

Besondere Zusammenhänge

Zylinder, Kegel und Kugel im Vergleich

Ein klassischer Zusammenhang betrifft Zylinder, Kegel und Kugel. Wenn ein Kegel, eine Kugel und ein Zylinder passend denselben Radius besitzen und die Höhen entsprechend zusammenpassen, entstehen einfache Volumenverhältnisse. Für einen Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $2r$ gilt:

$V_{\text{Zylinder}}=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3$

Für die Kugel mit Radius $r$ gilt:

$V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi r^3$

Für den Kegel mit Radius $r$ und Höhe $2r$ gilt:

$V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot 2r=\frac{2}{3}\pi r^3$

Damit ergibt sich das Verhältnis:

$V_{\text{Kegel}}:V_{\text{Kugel}}:V_{\text{Zylinder}}=1:2:3$

Formeln umstellen

Oft ist nicht das Volumen gesucht, sondern eine fehlende Länge. Dann musst Du die Formel umstellen.

Beispiel: Ein Zylinder hat das Volumen $V$ und den Radius $r$. Gesucht ist die Höhe $h$.

Aus

$V=\pi r^{2}h$

wird durch Division durch $\pi r^2$:

$h=\frac{V}{\pi r^2}$

Beispiel mit Zahlen:

$V=314{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, $r=5\mathrm{c}\mathrm{m}$

$h=\frac{314}{\pi \cdot 5^2}\approx \frac{314}{\mathrm{78,54}}\approx \mathrm{4,00}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Formeln mit MediaWiki Extension Math schreiben

Grundsyntax

In MediaWiki schreibst Du mathematische Formeln in Math-Tags. Der Wikitext

<math>V=a\cdot b\cdot c</math>

wird angezeigt als:

$V=a\cdot b\cdot c$

Die Math-Erweiterung dient der sauberen Darstellung. Sie ersetzt keinen Taschenrechner, macht Formeln aber lesbar und eindeutig.

Häufige Math-Befehle

Ziel	Wikitext	Anzeige
Multiplikation	<math>a\cdot b</math>	$a\cdot b$
Potenz	<math>a^3</math>	$a^3$
Index	<math>U_G</math>	$U_G$
Bruch	<math>\frac{1}{3}</math>	$\frac{1}{3}$
Wurzel	<math>\sqrt{r^2+h^2}</math>	$\sqrt{r^2+h^2}$
Pi	<math>\pi</math>	$\pi$
Text in Formeln	<math>V_{\text{gesamt}}</math>	$V_{\text{gesamt}}$
Einheiten	<math>120\,\mathrm{cm}^3</math>	$120{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

Gute Darstellung von Rechenwegen

Ein sauberer Rechenweg ist besser als nur ein Ergebnis. Du kannst eine Rechnung Schritt für Schritt darstellen:

$V=\pi r^{2}h$

$V=\pi \cdot 4^2\cdot 10$

$V=160\pi$

$V\approx \mathrm{502,65}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

Diese Darstellung hilft Dir, Fehler zu finden. Du erkennst, welche Formel verwendet wurde, welche Werte eingesetzt wurden und wie das Ergebnis entsteht.

Häufige Fehler und wie Du sie vermeidest

Radius und Durchmesser verwechseln

Beim Kreis gilt:

$d=2r$

$r=\frac{d}{2}$

Wenn in einer Aufgabe der Durchmesser angegeben ist, darfst Du ihn nicht direkt als Radius einsetzen. Bei einem Durchmesser von $10\mathrm{c}\mathrm{m}$ ist der Radius $5\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Oberfläche und Volumen verwechseln

Der Oberflächeninhalt beschreibt Materialbedarf, zum Beispiel Papier, Farbe, Blech oder Stoff. Das Volumen beschreibt Füllmenge oder Rauminhalt, zum Beispiel Wasser, Luft, Beton oder Sand. Eine Dose braucht Blech für die Oberfläche, aber sie fasst Flüssigkeit als Volumen.

Falsche Höhe verwenden

Bei Pyramiden und Kegeln ist die Höhe immer der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Spitze. Die Schräghöhe ist nicht dasselbe. Für das Volumen brauchst Du die senkrechte Höhe $h$. Für die Mantelfläche des Kegels brauchst Du die Schräghöhe $s$.

Zu früh runden

Wenn Du Zwischenergebnisse zu früh rundest, kann das Endergebnis ungenauer werden. Rechne möglichst lange exakt mit $\pi$ oder mit Brüchen und runde erst am Ende.

Überblicksvideo

Das folgende Video gibt eine Übersicht über wichtige Körper und typische Berechnungen zu Volumen und Oberfläche.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=6Ix1-QTwPqg |500|center}}

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt das Volumen eines Körpers? (Den Rauminhalt eines Körpers) (!Die Länge einer Kante) (!Die Summe aller Winkel) (!Die Anzahl der Ecken)

Welche Formel berechnet das Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen a, b und c? (V = a mal b mal c) (!V = 2 mal a plus b plus c) (!V = a plus b plus c) (!V = 6 mal a hoch 2)

Welche Formel gehört zum Volumen eines Würfels mit Kantenlänge a? (V = a hoch 3) (!V = 3 mal a) (!V = 6 mal a hoch 2) (!V = a hoch 2)

Welche Formel beschreibt das Volumen eines Zylinders? (V = pi mal r hoch 2 mal h) (!V = 2 mal pi mal r) (!V = pi mal r mal s) (!V = 4 mal pi mal r hoch 2)

Warum steht bei Pyramide und Kegel der Faktor ein Drittel in der Volumenformel? (Sie haben bei gleicher Grundfläche und Höhe ein Drittel des passenden Prismas oder Zylinders) (!Sie haben immer drei Flächen) (!Sie haben immer drei Kanten) (!Sie werden immer durch drei geteilt, weil pi vorkommt)

Welche Einheit passt zu einem Oberflächeninhalt? (Quadratzentimeter) (!Zentimeter) (!Kubikzentimeter) (!Liter pro Sekunde)

Welche Einheit passt zu einem Volumen? (Kubikmeter) (!Quadratmeter) (!Meter) (!Grad)

Was ist bei einem Kegel die Höhe? (Der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Spitze) (!Der Radius der Grundfläche) (!Die Länge des Kreisumfangs) (!Die Mantelfläche)

Was passiert mit dem Volumen eines Körpers, wenn alle Längen verdoppelt werden? (Es wird achtmal so groß) (!Es wird doppelt so groß) (!Es wird viermal so groß) (!Es bleibt gleich)

Wozu dient die MediaWiki Math-Erweiterung in einem Lernartikel? (Zur übersichtlichen Darstellung mathematischer Formeln) (!Zum automatischen Zeichnen aller Körper) (!Zum Ersetzen jeder Rechnung) (!Zum Speichern von Bildern ohne Dateinamen)

Memory

Volumen	Rauminhalt
Oberflächeninhalt	äußere Gesamtfläche
Mantelfläche	Seitenfläche
Radius	halber Durchmesser
Prisma	zwei parallele Grundflächen
Kegel	Kreisgrundfläche und Spitze

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Volumen	Rauminhalt eines Körpers
Oberflächeninhalt	Summe aller äußeren Begrenzungsflächen
Mantelfläche	seitliche Fläche ohne Grundflächen
Grundfläche	Fläche, auf der die Körperberechnung aufbaut
Höhe	senkrechter Abstand zur Grundfläche
Radius	Abstand vom Kreismittelpunkt zum Rand

...

Kreuzworträtsel

Volumen	Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
Mantel	Wie nennt man die seitliche Fläche eines Körpers kurz?
Prisma	Welcher Körper hat zwei parallele kongruente Grundflächen?
Radius	Wie heißt der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises zum Rand?
Kegel	Welcher Körper hat eine Kreisgrundfläche und eine Spitze?
Kugel	Welcher Körper hat alle Oberflächenpunkte im gleichen Abstand vom Mittelpunkt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein geometrischer Körper liegt im Raum. Das beschreibt den Rauminhalt eines Körpers. Der ist die Summe der äußeren Begrenzungsflächen. Bei einem Zylinder ist die Grundfläche ein . Der Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises bis zum Rand heißt . Bei einem Kegel brauchst Du für das Volumen die senkrechte . Die Mantelfläche eines Kegels nutzt zusätzlich die . In MediaWiki werden Formeln mit der Math-Erweiterung in geschrieben. Wenn alle Längen verdoppelt werden, wird das Volumen so groß. Ergebnisse für Oberflächen werden in angegeben.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Körper im Alltag: Suche zu Hause oder in der Schule je ein Beispiel für Würfel, Quader, Zylinder, Kegel und Kugel. Fotografiere oder skizziere die Gegenstände und notiere, welche Maße Du für eine Berechnung brauchst.
2. Formelsteckbrief: Erstelle einen Steckbrief zu einem Körper Deiner Wahl. Beschreibe seine Eigenschaften, zeichne ihn und schreibe die wichtigsten Formeln mit <math>-Schreibweise auf.
3. Einheiten-Training: Erstelle zehn kleine Umrechnungsaufgaben zu Längen, Flächen und Volumen. Löse sie und erkläre bei drei Aufgaben, warum sich die Einheit verändert.
4. Körpernetz: Zeichne das Netz eines Quaders oder Würfels. Beschrifte alle Flächen und berechne den Oberflächeninhalt.

Standard

1. Verpackung planen: Entwirf eine quaderförmige Verpackung für ein kleines Produkt. Berechne Volumen, Oberflächeninhalt und den ungefähren Materialbedarf mit Kleberand.
2. Dose untersuchen: Miss Radius und Höhe einer zylinderförmigen Dose. Berechne Volumen und Oberfläche. Vergleiche das berechnete Volumen mit der aufgedruckten Füllmenge.
3. Pyramidenmodell: Baue aus Papier eine quadratische Pyramide. Berechne Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen. Dokumentiere Deinen Rechenweg mit Math-Formeln.
4. Rechenfehler finden: Schreibe eine absichtlich fehlerhafte Lösung zu einer Körperaufgabe. Tausche sie mit einer anderen Person und lasse die Fehler erklären und verbessern.

Schwer

1. Zusammengesetzter Körper: Entwerfe einen Körper aus mindestens drei Teilkörpern. Berechne das Gesamtvolumen und entscheide begründet, welche Außenflächen zum Oberflächeninhalt gehören.
2. Aushöhlung berechnen: Plane einen quaderförmigen Körper mit zylindrischer Bohrung. Berechne Restvolumen und neue Oberfläche. Erkläre, welche Flächen verschwinden und welche neu entstehen.
3. Skalierungsexperiment: Vergleiche zwei ähnliche Körper mit Längenfaktor $k=3$. Berechne, wie sich Oberfläche und Volumen verändern, und erkläre den Unterschied zwischen $k^2$ und $k^3$.
4. MediaWiki-Formelsammlung: Erstelle eine eigene kleine Formelsammlung in MediaWiki-Syntax. Nutze Brüche, Potenzen, Wurzeln, Indizes und Einheiten korrekt mit der Math-Erweiterung.

<inputbox> type=create break=no preload=CHAT GPT TEXT HIER EINFÜGEN default= width=30 placeholder= Dein MOOC Titel buttonlabel=MOOC erstellen </inputbox>

Lernkontrolle

1. Transfer Verpackungsdesign: Eine Firma möchte eine neue Verpackung mit möglichst großem Volumen und möglichst kleiner Oberfläche entwickeln. Vergleiche zwei verschiedene Körperformen und begründe, welche günstiger wäre.
2. Modellierung realer Gegenstände: Wähle einen realen Gegenstand, der nicht exakt ein mathematischer Körper ist. Entscheide, durch welche einfachen Körper Du ihn annähern kannst, und bewerte die Genauigkeit Deines Modells.
3. Fehleranalyse Einheiten: Erkläre anhand eines selbst gewählten Beispiels, wie ein falsches Umrechnen von Zentimetern, Quadratzentimetern und Kubikzentimetern zu einem unplausiblen Ergebnis führt.
4. Zusammengesetzte Oberfläche: Ein Spielzeug besteht aus einem Zylinder mit aufgesetztem Kegel. Erkläre, warum die gemeinsame Kreisfläche nicht zur äußeren Oberfläche gehört, aber für das Volumen beide Teilkörper addiert werden.
5. Formelumstellung begründen: Leite aus der Volumenformel des Zylinders eine Formel für den Radius her. Beschreibe jeden Umformungsschritt und prüfe Dein Ergebnis mit einer Beispielrechnung.
6. Skalierung und Material: Ein Modell wird in allen Längen viermal größer gebaut. Erkläre, warum Materialbedarf und Füllmenge nicht im gleichen Verhältnis wachsen, und nenne eine praktische Folge.

Lernnachweis

Für einen vollständigen Lernnachweis bearbeitest Du eine komplexe Körperaufgabe mit Skizze, gegebenen Größen, gesuchter Größe, Formel, Einsetzung, Rechnung, Einheit und Ergebnissatz. Zusätzlich erklärst Du, welche Rolle die Grundfläche, die Höhe und mögliche Mantelflächen spielen. Deine Lösung soll mindestens eine Formel in korrekter MediaWiki-Math-Schreibweise enthalten.

Links

Mit Körpern rechnen Geometrischer Körper Volumen Oberflächeninhalt Mantelfläche Grundfläche Höhe Radius Durchmesser Würfel Quader Prisma Pyramide Zylinder Kegel Kugel Körpernetz Satz des Pythagoras MediaWiki Extension Math

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026

Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

aiMOOCs

aiMOOC Projekte

THE MONKEY DANCE

{{#ev:youtube | https://youtu.be/rFhZlg38Zf8?si=9KdMNZYRkRD81YTo%7C 500 | center}}

The Monkey Dance | aiMOOCs Trust Me It's True: #Verschwörungstheorie #FakeNews Gregor Samsa Is You: #Kafka #Verwandlung Who Owns Who: #Musk #Geld Lump: #Trump #Manipulation Filth Like You: #Konsum #Heuchelei Your Poverty Pisses Me Off: #SozialeUngerechtigkeit #Musk Hello I'm Pump: #Trump #Kapitalismus Monkey Dance Party: #Lebensfreude God Hates You Too: #Religionsfanatiker You You You: #Klimawandel #Klimaleugner Monkey Free: #Konformität #Macht #Kontrolle Pure Blood: #Rassismus Monkey World: #Chaos #Illusion #Manipulation Uh Uh Uh Poor You: #Kafka #BerichtAkademie #Doppelmoral The Monkey Dance Song: #Gesellschaftskritik Will You Be Mine: #Love Arbeitsheft And Thanks for Your Meat: #AntiFactoryFarming #AnimalRights #MeatIndustry © The Monkey Dance on Spotify, YouTube, Amazon, MOOCit, Deezer, ...

{{#ev:youtube | https://youtu.be/Ob7etf9QuBo?si=t_NBA71bWg3Rq3LI%7C 500 | center}}

<inputbox> type=create break=no preload=MOOCit Vorlage default= width=30 placeholder= Dein MOOC Titel buttonlabel=MOOC erstellen </inputbox>