Satz des Pythagoras - aiMOOC

Einleitung

Der Satz des Pythagoras gehört zu den wichtigsten Sätzen der Geometrie. Er beschreibt einen festen Zusammenhang zwischen den Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck. Wenn Du ein Dreieck mit einem rechten Winkel hast, dann heißen die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, Katheten. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die längste Seite und heißt Hypotenuse.

Der Satz lautet:

$a^2+b^2=c^2$

Dabei sind $a$ und $b$ die Längen der beiden Katheten, und $c$ ist die Länge der Hypotenuse. Der Satz gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Er hilft Dir, eine fehlende Seitenlänge zu berechnen, wenn zwei Seitenlängen bekannt sind.

Grundidee des Satzes

Beim Satz des Pythagoras geht es nicht nur um eine Formel, sondern um einen Flächenzusammenhang. Stell Dir vor, dass über jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat gezeichnet wird. Die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$ ist $a^2$. Die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge $b$ ist $b^2$. Die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse ist $c^2$.

Der Satz sagt: Die beiden kleineren Quadrate über den Katheten haben zusammen genau dieselbe Fläche wie das große Quadrat über der Hypotenuse.

$\text{Kathetenquadrat}+\text{Kathetenquadrat}=\text{Hypotenusenquadrat}$

Merksatz

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen der beiden Kathetenquadrate gleich der Fläche des Hypotenusenquadrats.

Als Formel:

$a^2+b^2=c^2$

Du kannst Dir merken: Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Deshalb steht die Hypotenuse in der Standardformel meistens als $c$ auf der rechten Seite.

Begriffe sicher unterscheiden

Katheten

Die Katheten sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Sie können unterschiedlich lang sein. In der Formel werden sie häufig mit $a$ und $b$ bezeichnet. Welche Kathete $a$ und welche $b$ heißt, ist für die Rechnung egal, denn:

$a^2+b^2=b^2+a^2$

Hypotenuse

Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Sie ist in einem rechtwinkligen Dreieck immer die längste Seite. In der Formel wird sie häufig mit $c$ bezeichnet.

Kathetenquadrat und Hypotenusenquadrat

Ein Kathetenquadrat ist ein Quadrat, das über einer Kathete konstruiert wird. Ein Hypotenusenquadrat ist ein Quadrat, das über der Hypotenuse konstruiert wird. Diese Quadrate helfen Dir, den Flächenzusammenhang hinter der Formel zu verstehen.

Rechnen mit dem Satz des Pythagoras

Hypotenuse berechnen

Wenn beide Katheten gegeben sind, berechnest Du die Hypotenuse mit:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

Beispiel: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $a=3\text{cm}$ und $b=4\text{cm}$. Gesucht ist die Hypotenuse $c$.

$c^2=a^2+b^2$

$c^2=3^2+4^2$

$c^2=9+16$

$c^2=25$

$c=\sqrt{25}$

$c=5$

Die Hypotenuse ist also $5\text{cm}$ lang.

Kathete berechnen

Wenn die Hypotenuse und eine Kathete gegeben sind, berechnest Du die fehlende Kathete durch Umstellen der Formel.

Aus

$a^2+b^2=c^2$

wird zum Beispiel:

$a^2=c^2-b^2$

also:

$a=\sqrt{c^2-b^2}$

Beispiel: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse $c=13\text{cm}$ und eine Kathete $b=5\text{cm}$. Gesucht ist die Kathete $a$.

$a^2=c^2-b^2$

$a^2=13^2-5^2$

$a^2=169-25$

$a^2=144$

$a=\sqrt{144}$

$a=12$

Die fehlende Kathete ist $12\text{cm}$ lang.

Einheiten beachten

Beim Quadrieren werden aus Längeneinheiten Flächeneinheiten. Wenn Du $3\text{cm}$ quadrierst, erhältst Du $9{\text{cm}}^2$. Am Ende ziehst Du die Quadratwurzel und erhältst wieder eine Länge, zum Beispiel $5\text{cm}$. Schreibe die Einheit deshalb im Ergebnis wieder als Längeneinheit.

Umkehrung des Satzes

Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras ist ebenfalls wichtig. Sie hilft Dir zu prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.

Wenn bei drei Seitenlängen gilt:

$a^2+b^2=c^2$

und $c$ die längste Seite ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Beispiel: Prüfe, ob ein Dreieck mit den Seitenlängen $6\text{cm}$, $8\text{cm}$ und $10\text{cm}$ rechtwinklig ist.

Die längste Seite ist $10\text{cm}$. Also prüfst Du:

$6^2+8^2=10^2$

$36+64=100$

$100=100$

Die Gleichung stimmt. Das Dreieck ist rechtwinklig.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

1. Hypotenuse erkennen: Verwechsle die Hypotenuse nicht mit einer beliebigen langen Seite. Sie liegt immer gegenüber dem rechten Winkel.
2. Formel anwenden: Verwende $a^2+b^2=c^2$ nur bei rechtwinkligen Dreiecken.
3. Quadratwurzel: Vergiss am Ende nicht, die Wurzel zu ziehen, wenn eine Seitenlänge gesucht ist.
4. Einheiten: Achte darauf, ob die Seitenlängen in Zentimetern, Metern oder Millimetern angegeben sind.
5. Umstellen von Gleichungen: Wenn eine Kathete gesucht ist, musst Du subtrahieren: $a^2=c^2-b^2$.

Anwendungen im Alltag

Der Satz des Pythagoras begegnet Dir nicht nur im Mathematikunterricht. Er wird überall dort verwendet, wo rechtwinklige Situationen vorkommen.

Leiter an der Wand

Eine Leiter lehnt an einer Wand. Die Wand steht senkrecht zum Boden. Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck: Der Boden ist eine Kathete, die Wandhöhe ist die andere Kathete, und die Leiter ist die Hypotenuse.

Beispiel: Eine Leiter ist $5\text{m}$ lang. Ihr Fuß steht $3\text{m}$ von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter?

$h^2+3^2=5^2$

$h^2+9=25$

$h^2=16$

$h=4$

Die Leiter reicht $4\text{m}$ hoch.

Diagonale eines Rechtecks

Wenn Du die Diagonale eines Rechtecks berechnen möchtest, kannst Du das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Die Länge und Breite des Rechtecks sind die Katheten, die Diagonale ist die Hypotenuse.

Beispiel: Ein Rechteck ist $8\text{cm}$ lang und $6\text{cm}$ breit.

$d^2=8^2+6^2$

$d^2=64+36$

$d^2=100$

$d=10$

Die Diagonale ist $10\text{cm}$ lang.

Koordinatensystem und Abstand

Im Koordinatensystem kann der Abstand zwischen zwei Punkten mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Wenn zwei Punkte horizontal und vertikal auseinanderliegen, entstehen zwei Katheten.

Für die Punkte $A(x_1|y_1)$ und $B(x_2|y_2)$ gilt:

$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Diese Formel ist eine direkte Anwendung des Satzes des Pythagoras.

Herleitungsidee mit Flächen

Eine anschauliche Begründung des Satzes funktioniert mit vier gleichen rechtwinkligen Dreiecken. Ordnet man sie in einem großen Quadrat an, entstehen Flächen, die unterschiedlich aussehen, aber denselben Gesamtflächeninhalt besitzen. Durch Vergleichen der Restflächen erkennt man, warum $a^2+b^2=c^2$ gilt.

Die Idee dahinter lautet: Wenn zwei Anordnungen aus denselben Teilflächen bestehen, dann müssen ihre übrigen Flächen gleich groß sein. So lässt sich zeigen, dass die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse genauso groß ist wie die Summe der Flächen der beiden Quadrate über den Katheten.

Video: Satz des Pythagoras verstehen

Das folgende Video erklärt den Satz des Pythagoras anhand rechtwinkliger Dreiecke und typischer Rechenbeispiele.

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Vorgehensweise bei Aufgaben

1. Skizze: Zeichne das rechtwinklige Dreieck und markiere den rechten Winkel.
2. Hypotenuse: Suche die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
3. Gegebene Größen: Trage die bekannten Seitenlängen in die Skizze ein.
4. Formel: Entscheide, ob die Hypotenuse oder eine Kathete gesucht ist.
5. Rechnung: Setze ein, quadriere, addiere oder subtrahiere und ziehe die Wurzel.
6. Ergebnis prüfen: Überlege, ob die Länge sinnvoll ist. Die Hypotenuse muss die längste Seite sein.

Beispiele zum Üben

Beispiel 1: Hypotenuse gesucht

Gegeben sind $a=7\text{cm}$ und $b=24\text{cm}$.

$c=\sqrt{7^2+24^2}$

$c=\sqrt{49+576}$

$c=\sqrt{625}$

$c=25$

Die Hypotenuse ist $25\text{cm}$ lang.

Beispiel 2: Kathete gesucht

Gegeben sind $c=17\text{m}$ und $a=8\text{m}$.

$b=\sqrt{17^2-8^2}$

$b=\sqrt{289-64}$

$b=\sqrt{225}$

$b=15$

Die fehlende Kathete ist $15\text{m}$ lang.

Beispiel 3: Rechtwinkligkeit prüfen

Gegeben sind die Seiten $9\text{cm}$, $12\text{cm}$ und $15\text{cm}$.

$9^2+12^2=15^2$

$81+144=225$

$225=225$

Das Dreieck ist rechtwinklig.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

In welcher Art von Dreieck gilt der Satz des Pythagoras? (In einem rechtwinkligen Dreieck) (!In jedem gleichseitigen Dreieck) (!In jedem stumpfwinkligen Dreieck) (!In jedem beliebigen Viereck)

Wie heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel? (Hypotenuse) (!Kathete) (!Diagonale) (!Grundseite)

Welche Formel beschreibt den Satz des Pythagoras in der üblichen Schreibweise? (a² plus b² gleich c²) (!a plus b gleich c) (!a² minus b² gleich c²) (!a mal b gleich c)

Was sind Katheten? (Die beiden Seiten am rechten Winkel) (!Die beiden längsten Seiten eines Dreiecks) (!Die Seiten gegenüber gleich großen Winkeln) (!Die Seiten eines Quadrats)

Was musst Du am Ende tun, wenn aus c² die Länge c berechnet werden soll? (Die Quadratwurzel ziehen) (!Durch zwei teilen) (!Mit zwei multiplizieren) (!Die Seiten vertauschen)

Welche Seite ist in einem rechtwinkligen Dreieck immer die längste? (Die Hypotenuse) (!Die kürzere Kathete) (!Die längere Kathete) (!Die Höhe)

Welche Rechnung passt zu den Katheten 3 cm und 4 cm? (c² gleich 3² plus 4²) (!c² gleich 4² minus 3²) (!c gleich 3 plus 4) (!c² gleich 3 mal 4)

Was ergibt sich für die Hypotenuse bei den Katheten 5 cm und 12 cm? (13 cm) (!17 cm) (!7 cm) (!60 cm)

Wozu dient die Umkehrung des Satzes des Pythagoras? (Zum Prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist) (!Zum Berechnen des Kreisumfangs) (!Zum Zeichnen eines gleichseitigen Dreiecks) (!Zum Messen eines Winkels ohne Seitenlängen)

Welche Aussage ist richtig? (Die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel) (!Die Hypotenuse liegt immer unten) (!Die Hypotenuse ist immer die Seite a) (!Die Hypotenuse ist eine der beiden Seiten am rechten Winkel)

Memory

Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Kathete	Seite am rechten Winkel
Quadratwurzel	Umkehrung des Quadrierens
Diagonale	Verbindung gegenüberliegender Ecken
Pythagorasformel	a² plus b² gleich c²
Umkehrung	Prüfung auf Rechtwinkligkeit

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Rechter Winkel	Voraussetzung
Katheten	Seiten am rechten Winkel
Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Quadrate	Flächen über den Dreiecksseiten
Quadratwurzel	Schritt zur Seitenlänge

Kreuzworträtsel

Hypotenuse	Wie heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel?
Kathete	Wie heißt eine Seite, die am rechten Winkel liegt?
Quadrat	Welche Figur wird bei der Flächenidee über jeder Dreiecksseite gezeichnet?
Wurzel	Welche Rechenoperation führt von c² zur Länge c?
Diagonale	Welche Strecke verbindet gegenüberliegende Ecken eines Rechtecks?
Geometrie	Zu welchem Teilgebiet der Mathematik gehört der Satz des Pythagoras?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Satz des Pythagoras gilt nur in einem Dreieck. Die beiden Seiten am rechten Winkel heißen . Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt . In der üblichen Formel steht die Hypotenuse als . Die Formel lautet a² plus b² gleich . Wenn die Hypotenuse gesucht ist, werden die Quadrate der Katheten . Wenn eine Kathete gesucht ist, wird das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse . Am Ende muss man die ziehen, um eine Seitenlänge zu erhalten. Mit der Umkehrung des Satzes kann man prüfen, ob ein Dreieck ist.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Skizze zum Pythagoras: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, beschrifte Katheten und Hypotenuse und erkläre in drei Sätzen, woran man die Hypotenuse erkennt.
2. Formelkarte: Gestalte eine Lernkarte mit der Formel $a^2+b^2=c^2$, einer kurzen Erklärung und einem selbst gewählten Zahlenbeispiel.
3. Alltagsdreieck: Suche zu Hause oder in der Schule eine rechtwinklige Situation, fotografiere oder zeichne sie und markiere die vermuteten Katheten und die Hypotenuse.
4. Wortschatztraining: Erstelle ein kleines Glossar mit den Begriffen Kathete, Hypotenuse, Quadrat, Quadratwurzel und Diagonale.

Standard

1. Leiterproblem: Erfinde eine Aufgabe mit einer Leiter an einer Wand, löse sie vollständig und erkläre jeden Rechenschritt.
2. Rechteckdiagonale: Miss Länge und Breite eines Hefts, Buchs oder Tablets und berechne die Diagonale mit dem Satz des Pythagoras.
3. Dreiecksprüfung: Wähle drei verschiedene Zahlentripel und prüfe mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras, ob sie rechtwinklige Dreiecke bilden.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video oder eine Tonaufnahme, in der Du den Unterschied zwischen Kathete und Hypotenuse erklärst.

Schwer

1. Beweisidee: Lege mit Papier vier gleiche rechtwinklige Dreiecke und erkläre mit Flächen, warum $a^2+b^2=c^2$ gilt.
2. Koordinatenabstand: Wähle zwei Punkte im Koordinatensystem und berechne ihren Abstand mit der Pythagoras-Idee.
3. Fehleranalyse: Schreibe eine falsche Schülerlösung zum Satz des Pythagoras und kommentiere anschließend genau, wo der Denkfehler liegt.
4. Projekt Vermessung: Plane eine kleine Vermessungsaufgabe auf dem Schulhof, bei der Du eine unzugängliche Strecke mithilfe eines rechtwinkligen Dreiecks berechnest.

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Lernkontrolle

1. Transfer Leiter: Eine Leiter, ein Abstand zur Wand und eine Höhe werden in einer Sachsituation beschrieben. Entscheide, welche Strecke Hypotenuse ist, stelle die passende Gleichung auf und begründe Deine Entscheidung.
2. Vergleich von Lösungswegen: Vergleiche zwei Lösungswege zu einer Pythagoras-Aufgabe. Erkläre, welcher Weg übersichtlicher ist und warum.
3. Fehler finden: In einer Rechnung wurde $c^2=a^2-b^2$ verwendet, obwohl die Hypotenuse gesucht war. Erkläre den Fehler und korrigiere die Rechnung allgemein.
4. Rechtwinkligkeit begründen: Prüfe anhand dreier Seitenlängen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, und formuliere eine vollständige mathematische Begründung.
5. Alltagsmodell: Beschreibe eine Alltagssituation als rechtwinkliges Dreieck, lege passende Variablen fest und erkläre, welche Länge berechnet werden kann.
6. Koordinatengeometrie: Erkläre, warum die Abstandformel im Koordinatensystem eine Anwendung des Satzes des Pythagoras ist.

Links

Satz des Pythagoras Rechtwinkliges Dreieck Kathete Hypotenuse Quadrat Quadratwurzel Umkehrung des Satzes des Pythagoras Diagonale Koordinatensystem Geometrie

Mediennachweis und Vertiefung

1. Wikimedia Commons: Die eingebundenen Bilder veranschaulichen das rechtwinklige Dreieck, die Quadrate über den Seiten und eine Flächenidee zum Beweis.
2. YouTube: Das eingebundene Video unterstützt das Verständnis der Grundformel und typischer Rechenschritte.
3. Wikipedia: Der eingebundene Artikel bietet zusätzliche Informationen zur mathematischen Bedeutung, Geschichte und Beweisideen.

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026

Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

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