Betrag und Gegenzahl - aiMOOC

Einleitung

Betrag und Gegenzahl sind zwei Grundbegriffe beim Arbeiten mit rationalen Zahlen. Sie helfen Dir, positive und negative Zahlen auf der Zahlengeraden zu verstehen, Rechenwege sicher zu planen und Vorzeichenfehler zu vermeiden. Der Betrag beschreibt den Abstand einer Zahl von $0$. Die Gegenzahl ist die Zahl mit gleichem Betrag, aber entgegengesetztem Vorzeichen.

Beispiele:

1. Der Betrag von $-5$ ist $5$, denn $-5$ hat den Abstand $5$ von $0$.
2. Die Gegenzahl von $-5$ ist $5$.
3. Die Gegenzahl von $5$ ist $-5$.
4. Die Gegenzahl von $0$ ist $0$.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du den Betrag einer rationalen Zahl bestimmen, die Gegenzahl einer rationalen Zahl angeben und beide Begriffe auf der Zahlengeraden erklären. Du lernst außerdem, warum Zahl und Gegenzahl zusammen immer $0$ ergeben und wie Betragsstriche in Rechnungen richtig ausgewertet werden.

Grundbegriffe

Rationale Zahlen und Vorzeichen

Eine rationale Zahl kann positiv, negativ oder gleich $0$ sein. Positive Zahlen liegen auf der Zahlengeraden rechts von $0$, negative Zahlen links von $0$. Das Vorzeichen zeigt an, auf welcher Seite von $0$ die Zahl liegt.

Beispiele:

1. $4$ ist positiv.
2. $-4$ ist negativ.
3. $\frac{3}{5}$ ist positiv.
4. $-\frac{3}{5}$ ist negativ.
5. $0$ ist weder positiv noch negativ.

Die Zahlengerade als Modell

Die Zahlengerade hilft Dir, Betrag und Gegenzahl anschaulich zu verstehen. Der Nullpunkt liegt in der Mitte. Zahlen rechts von $0$ sind positiv, Zahlen links von $0$ sind negativ. Zwei Zahlen, die gleich weit von $0$ entfernt sind, aber auf verschiedenen Seiten liegen, sind Gegenzahlen.

Beispiel:

$-3$ und $3$ liegen beide drei Einheiten von $0$ entfernt. Deshalb haben sie denselben Betrag:

$|-3|=3$

$|3|=3$

Außerdem sind $-3$ und $3$ Gegenzahlen.

Der Betrag

Bedeutung des Betrags

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von $0$ auf der Zahlengeraden. Weil ein Abstand niemals negativ ist, ist auch ein Betrag niemals negativ.

Der Betrag einer Zahl $x$ wird mit Betragsstrichen geschrieben:

$|x|$

Gelesen wird das als: Betrag von x.

Beispiele:

$|7|=7$

$|-7|=7$

$|0|=0$

$|-\frac{2}{3}|=\frac{2}{3}$

$|-\mathrm{1,25}|=\mathrm{1,25}$

Mathematische Definition

Für reelle und damit auch für rationale Zahlen gilt:

$|x|=\{\begin{array}{cc}x,& \text{falls }x\ge 0\\ -x,& \text{falls }x<0\end{array}$

Das bedeutet:

1. Ist $x$ positiv oder $0$, bleibt $x$ beim Betrag unverändert.
2. Ist $x$ negativ, wird das Vorzeichen umgekehrt, damit der Abstand positiv wird.

Beispiele:

$|4|=4$, weil $4\ge 0$.

$|-4|=-(-4)=4$, weil $-4<0$.

Betrag als Abstand

Der Betrag kann als Abstand auf der Zahlengeraden verstanden werden. Der Abstand der Zahl $a$ von $0$ ist $|a|$. Der Abstand zweier Zahlen $a$ und $b$ ist $|a-b|$.

Beispiele:

Der Abstand von $-6$ zu $0$ ist:

$|-6|=6$

Der Abstand zwischen $-2$ und $5$ ist:

$|5-(-2)|=|7|=7$

Oder:

$|-2-5|=|-7|=7$

In beiden Fällen ist der Abstand gleich, denn Abstand hängt nicht von der Richtung ab.

Eigenschaften des Betrags

Für rationale Zahlen gelten wichtige Eigenschaften:

1. $|x|\ge 0$: Ein Betrag ist immer nichtnegativ.
2. $|x|=0$ gilt genau dann, wenn $x=0$.
3. $|x|=|-x|$: Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Betrag.
4. $|x\cdot y|=|x|\cdot |y|$.
5. $|x:y|=|x|:|y|$, wenn $y\ne 0$.

Diese Eigenschaften helfen Dir, Rechnungen mit Beträgen sicher zu vereinfachen.

Die Gegenzahl

Bedeutung der Gegenzahl

Die Gegenzahl einer Zahl ist die Zahl mit gleichem Betrag, aber entgegengesetztem Vorzeichen. Zur Zahl $a$ gehört die Gegenzahl $-a$.

Beispiele:

$3$ hat die Gegenzahl $-3$.

$-3$ hat die Gegenzahl $3$.

$\frac{5}{8}$ hat die Gegenzahl $-\frac{5}{8}$.

$-\mathrm{1,6}$ hat die Gegenzahl $\mathrm{1,6}$.

$0$ hat die Gegenzahl $0$.

Zahl und Gegenzahl ergeben null

Eine Zahl und ihre Gegenzahl ergeben zusammen immer $0$:

$a+(-a)=0$

Beispiele:

$9+(-9)=0$

$-4+4=0$

$\frac{2}{3}+(-\frac{2}{3})=0$

In der Algebra heißt die Gegenzahl auch additiv inverses Element, weil sie beim Addieren das neutrale Element $0$ ergibt.

Gegenzahl ist nicht immer negativ

Ein häufiger Fehler ist die Annahme, dass die Gegenzahl immer negativ sei. Das stimmt nicht. Die Gegenzahl hat das entgegengesetzte Vorzeichen.

1. Die Gegenzahl einer positiven Zahl ist negativ.
2. Die Gegenzahl einer negativen Zahl ist positiv.
3. Die Gegenzahl von $0$ ist $0$.

Beispiele:

Die Gegenzahl von $8$ ist $-8$.

Die Gegenzahl von $-8$ ist $8$.

Die Gegenzahl von $0$ ist $0$.

Betrag und Gegenzahl im Vergleich

Gemeinsamkeiten

Betrag und Gegenzahl hängen beide mit der Lage einer Zahl zur $0$ zusammen. Sie helfen Dir, Zahlbeziehungen auf der Zahlengeraden zu erkennen.

Beispiel:

Für $-6$ gilt:

$|-6|=6$

Die Gegenzahl von $-6$ ist $6$.

In diesem Beispiel sind Betrag und Gegenzahl gleich. Das liegt daran, dass die Ausgangszahl negativ ist.

Unterschiede

Der Betrag ist immer nichtnegativ. Die Gegenzahl kann positiv, negativ oder $0$ sein.

Beispiele:

Für $6$ gilt:

$|6|=6$

Die Gegenzahl von $6$ ist $-6$.

Hier sind Betrag und Gegenzahl verschieden.

Für $-6$ gilt:

$|-6|=6$

Die Gegenzahl von $-6$ ist $6$.

Hier sind Betrag und Gegenzahl gleich.

Für $0$ gilt:

$|0|=0$

Die Gegenzahl von $0$ ist $0$.

Tabelle: Betrag und Gegenzahl

Zahl	Betrag	Gegenzahl
$5$	$5$	$-5$
$-5$	$5$	$5$
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$0$	$0$	$0$

Betragsstriche richtig auswerten

Einfache Beträge

Bei einfachen Beträgen bestimmst Du zuerst, welche Zahl innerhalb der Betragsstriche steht. Danach nimmst Du den Abstand zu $0$.

Beispiele:

$|-12|=12$

$|\mathrm{3,4}|=\mathrm{3,4}$

$|-\frac{7}{9}|=\frac{7}{9}$

Beträge von Termen

Wenn innerhalb der Betragsstriche eine Rechnung steht, berechnest Du zuerst den Wert im Betrag.

Beispiel:

$|-3+8|$

Zuerst innen rechnen:

$-3+8=5$

Dann Betrag bilden:

$|5|=5$

Beispiel:

$|-3-8|$

Zuerst innen rechnen:

$-3-8=-11$

Dann Betrag bilden:

$|-11|=11$

Betrag und Minuszeichen vor dem Betrag

Ein Minuszeichen vor dem Betrag gehört nicht automatisch zum Betrag. Es wirkt erst nach dem Bilden des Betrags.

Beispiel:

$-|-5|$

Zuerst Betrag bilden:

$|-5|=5$

Dann das Minuszeichen davor beachten:

$-|-5|=-5$

Das ist ein häufiger Fehler. Der Ausdruck $|-5|$ ist positiv, aber $-|-5|$ ist negativ.

Betrag und Ordnung rationaler Zahlen

Betrag ist nicht dasselbe wie Größe

Der Betrag zeigt den Abstand von $0$, nicht die Größe im Sinne der Ordnung auf der Zahlengeraden.

Beispiel:

$|-10|=10$

$|3|=3$

Obwohl $|-10|>|3|$ gilt, ist $-10<3$. Der Betrag von $-10$ ist größer, aber die Zahl $-10$ selbst ist kleiner als $3$.

Zahlen mit gleichem Betrag

Zwei verschiedene Zahlen können denselben Betrag haben. Das sind immer Gegenzahlen.

Beispiele:

$|-4|=|4|=4$

$|-\frac{3}{7}|=\left|\frac{3}{7}\right|=\frac{3}{7}$

$|-\mathrm{2,5}|=|\mathrm{2,5}|=\mathrm{2,5}$

Anwendungen

Temperatur

Wenn die Temperatur von $-4^{\circ }$C auf $4^{\circ }$C steigt, liegen beide Werte gleich weit von $0^{\circ }$C entfernt. Beide haben den Betrag $4$. Trotzdem beschreiben sie unterschiedliche Temperaturen.

Geld und Schulden

Ein Guthaben von $20$ Euro und Schulden von $-20$ Euro haben denselben Betrag, aber entgegengesetzte Bedeutung. Die Gegenzahl beschreibt hier den Wechsel von Guthaben zu Schulden oder umgekehrt.

Höhenangaben

Eine Höhe von $150$ Metern über dem Meeresspiegel und $-150$ Metern unter dem Meeresspiegel haben denselben Betrag. Die Vorzeichen zeigen aber unterschiedliche Richtungen relativ zum Meeresspiegel.

Typische Fehler und Korrekturen

Fehler 1: Betrag negativ machen

Falsch:

$|-8|=-8$

Richtig:

$|-8|=8$

Der Betrag ist ein Abstand und deshalb nie negativ.

Fehler 2: Gegenzahl mit Betrag verwechseln

Falsch:

Die Gegenzahl von $6$ ist $6$.

Richtig:

Die Gegenzahl von $6$ ist $-6$. Der Betrag von $6$ ist $6$.

Fehler 3: Minuszeichen vor dem Betrag übersehen

Falsch:

$-|-4|=4$

Richtig:

$-|-4|=-4$

Zuerst wird der Betrag gebildet, danach wirkt das Minuszeichen davor.

Fehler 4: Größere Beträge mit größeren Zahlen verwechseln

Falsch:

$-9$ ist größer als $-3$, weil $|-9|>|-3|$.

Richtig:

$-9<-3$, weil $-9$ auf der Zahlengeraden weiter links liegt.

Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1: Betrag bestimmen

Bestimme $|-\frac{5}{6}|$.

Die Zahl $-\frac{5}{6}$ liegt links von $0$. Ihr Abstand zu $0$ beträgt $\frac{5}{6}$.

Ergebnis:

$|-\frac{5}{6}|=\frac{5}{6}$

Beispiel 2: Gegenzahl bestimmen

Bestimme die Gegenzahl von $-\mathrm{2,75}$.

Die Gegenzahl hat dasselbe Maß vom Nullpunkt, aber das entgegengesetzte Vorzeichen.

Ergebnis:

$\mathrm{2,75}$

Beispiel 3: Betrag eines Terms

Berechne:

$|-7+2|$

Zuerst innerhalb der Betragsstriche rechnen:

$-7+2=-5$

Dann Betrag bilden:

$|-5|=5$

Ergebnis:

$5$

Beispiel 4: Minus vor dem Betrag

Berechne:

$-|-9|$

Zuerst Betrag bilden:

$|-9|=9$

Dann Minuszeichen davor beachten:

$-9$

Ergebnis:

$-9$

Beispiel 5: Abstand zweier Zahlen

Bestimme den Abstand zwischen $-4$ und $3$.

$|3-(-4)|=|7|=7$

Der Abstand beträgt $7$ Einheiten.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Betrag einer Zahl? (Den Abstand der Zahl von null) (!Das Vorzeichen der Zahl) (!Die Gegenzahl der Zahl) (!Die Nachkommastellen der Zahl)

Was ist der Betrag von minus 8? (8) (!-8) (!0) (!16)

Was ist die Gegenzahl von minus 12? (12) (!-12) (!0) (!24)

Welche Aussage über den Betrag ist richtig? (Ein Betrag ist nie negativ) (!Ein Betrag ist immer negativ) (!Ein Betrag ist immer null) (!Ein Betrag verändert jede positive Zahl)

Was ist die Gegenzahl von 0? (0) (!1) (!-1) (!Keine Zahl)

Welche Gleichung ist richtig? (|-4| = 4) (!|-4| = -4) (!|4| = -4) (!|-4| = 0)

Welche Zahl hat denselben Betrag wie 7? (-7) (!0) (!14) (!-14)

Was ergibt eine Zahl plus ihre Gegenzahl? (0) (!1) (!Die Zahl selbst) (!Den Betrag der Zahl)

Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Zahlen a und b? (Mit dem Betrag der Differenz) (!Mit der Summe der Zahlen) (!Mit dem Produkt der Zahlen) (!Mit dem Kehrwert der Zahlen)

Was ist der Wert von minus Betrag von minus 5? (-5) (!5) (!0) (!10)

Memory

Betrag	Abstand von null
Gegenzahl	Entgegengesetztes Vorzeichen
Null	Eigene Gegenzahl
Betragsstriche	Zeichen für Abstand
Zahlengerade	Modell für Lage und Abstand
Additiv invers	Algebraischer Name der Gegenzahl
Abstand	Immer nichtnegativ

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Betrag	Abstand von null
Gegenzahl	Gleich weit auf anderer Seite
Null	Weder positiv noch negativ
Betragsstriche	Kennzeichnen den Betrag
Vorzeichen	Zeigt Richtung zur null
Zahlengerade	Veranschaulicht Abstände
Additives Inverses	Ergibt mit der Zahl null

Kreuzworträtsel

Betrag	Wie heißt der Abstand einer Zahl von null?
Abstand	Was ist auf der Zahlengeraden nie negativ?
Null	Welche Zahl ist ihre eigene Gegenzahl?
Vorzeichen	Was zeigt positiv oder negativ an?
Gegenzahl	Welche Zahl hat gleichen Betrag und entgegengesetztes Vorzeichen?
Inverses	Wie heißt die Gegenzahl in der Algebra additiv?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Betrag einer Zahl beschreibt ihren von null. Ein Betrag ist niemals . Die Gegenzahl einer Zahl hat denselben Betrag, aber das entgegengesetzte . Die Gegenzahl von minus fünf ist . Der Betrag von minus fünf ist ebenfalls . Die Gegenzahl von fünf ist . Die Zahl ist ihre eigene Gegenzahl. Eine Zahl und ihre Gegenzahl ergeben zusammen immer . Bei einem Ausdruck mit Betragsstrichen rechnet man zuerst den Wert . Ein Minuszeichen vor dem Betrag wirkt erst .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Beträge bestimmen: Schreibe zehn rationale Zahlen auf und bestimme jeweils den Betrag.
2. Gegenzahlen finden: Erstelle eine Tabelle mit zehn rationalen Zahlen und ihren Gegenzahlen.
3. Zahlengerade zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade und markiere fünf Zahlen mit ihren Gegenzahlen.
4. Alltagsbeispiele: Finde drei Beispiele aus dem Alltag, in denen gleiche Beträge unterschiedliche Bedeutungen haben.

Standard

1. Betrag und Gegenzahl vergleichen: Erkläre an fünf Zahlen, wann Betrag und Gegenzahl gleich sind und wann nicht.
2. Abstände berechnen: Berechne die Abstände zwischen sechs Zahlenpaaren auf der Zahlengeraden.
3. Fehleranalyse: Erfinde vier falsche Aussagen zu Betrag und Gegenzahl und korrigiere sie.
4. Betragsterme lösen: Berechne acht Terme mit Betragsstrichen und dokumentiere Deine Rechenschritte.

Schwer

1. Regel begründen: Begründe mit der Zahlengeraden, warum $|x|=|-x|$ gilt.
2. Transferaufgabe Temperatur: Beschreibe Temperaturänderungen mit Betrag und Gegenzahl und erkläre den Unterschied zwischen Abstand und Richtung.
3. Erklärplakat: Gestalte ein Lernplakat, das Betrag, Gegenzahl, Vorzeichen und Abstand miteinander verknüpft.
4. Eigene Lernaufgabe: Entwickle eine anspruchsvolle Aufgabe mit Beträgen, Gegenzahlen und rationalen Zahlen in Bruchschreibweise samt Musterlösung.

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Lernkontrolle

1. Begriffe unterscheiden: Erkläre den Unterschied zwischen Betrag und Gegenzahl anhand der Zahlen $-6$, $6$ und $0$.
2. Zahlengerade nutzen: Begründe mit einer Zeichnung, warum $-8$ kleiner als $-3$ ist, obwohl $|-8|$ größer als $|-3|$ ist.
3. Alltag übertragen: Entwickle ein Beispiel aus dem Bereich Geld, Temperatur oder Höhe, in dem zwei Zahlen denselben Betrag, aber entgegengesetzte Bedeutung haben.
4. Fehler korrigieren: Eine Person behauptet, $|-12|=-12$. Erkläre den Fehler und formuliere eine korrekte Regel.
5. Termverständnis: Vergleiche die Ausdrücke $|-5|$, $-|-5|$ und $|5|$. Erkläre, warum nicht alle denselben Wert haben.
6. Abstand anwenden: Zeige an zwei eigenen Beispielen, wie man den Abstand zweier rationaler Zahlen mit dem Betrag einer Differenz berechnet.

Links

Betrag und Gegenzahl Betrag Gegenzahl Betragsfunktion Zahlengerade Rationale Zahlen Positive und negative Zahlen Vorzeichen Abstand Additiv inverses Element Null

Verwandte Themen

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Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026

Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

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