Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen - aiMOOC

Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen - aiMOOC

Einleitung

Der Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen ist ein grundlegendes Verfahren der Mathematik, mit dem Du aus drei bekannten Werten einen vierten unbekannten Wert berechnen kannst. Er begegnet Dir im Alltag ständig: beim Einkaufen, beim Umrechnen von Rezepten, beim Vergleichen von Preisen, beim Berechnen von Lohn, Strecke, Zeit, Verbrauch oder Materialbedarf.

Eine Zuordnung ist proportional, wenn gilt: Wird die eine Größe verdoppelt, verdoppelt sich auch die andere. Wird sie halbiert, halbiert sich auch die andere. Kurz gesagt: Je mehr von der ersten Größe, desto mehr von der zweiten Größe – im gleichen Verhältnis.

Der Dreisatz hilft Dir, solche Zusammenhänge übersichtlich zu lösen. Besonders wichtig ist dabei, dass Du zuerst erkennst, ob wirklich eine proportionale Zuordnung vorliegt. Nur dann darfst Du den proportionalen Dreisatz anwenden.

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Was ist eine proportionale Zuordnung?

Eine proportionale Zuordnung beschreibt einen Zusammenhang zwischen zwei Größen, bei dem der Quotient aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert immer gleich bleibt. Dieser gleichbleibende Quotient heißt Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante.

Mit der MediaWiki-Extension Math kann man das so schreiben:

$y=k\cdot x$

Dabei ist $x$ die Ausgangsgröße, $y$ die zugeordnete Größe und $k$ der Proportionalitätsfaktor. Der Proportionalitätsfaktor gibt an, wie viel von $y$ auf eine Einheit von $x$ kommt.

Wenn 3 Hefte 6 Euro kosten, dann kostet 1 Heft 2 Euro. Also ist der Proportionalitätsfaktor:

$k=\frac{6}{3}=2$

Für jedes Heft werden also 2 Euro berechnet. Die Zuordnung lautet:

$y=2\cdot x$

Typische Merkmale proportionaler Zuordnungen

1. Verdopplung: Wenn die erste Größe verdoppelt wird, verdoppelt sich auch die zweite Größe.
2. Halbierung: Wenn die erste Größe halbiert wird, halbiert sich auch die zweite Größe.
3. Ursprung: Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft durch den Koordinatenursprung.
4. Gerade: Der Graph ist eine Gerade.
5. Quotient: Der Quotient $\frac{y}{x}$ ist immer gleich, solange $x\ne 0$ gilt.

Beispiele aus dem Alltag

Situation	Proportionale Zuordnung?	Begründung
1 kg Äpfel kostet 3 Euro, 2 kg kosten 6 Euro.	Ja	Doppelte Menge bedeutet doppelter Preis.
1 Liter Saft enthält 100 g Zucker, 2 Liter enthalten 200 g Zucker.	Ja	Der Zuckergehalt steigt im gleichen Verhältnis zur Saftmenge.
1 Arbeiter braucht 8 Stunden, 2 Arbeiter brauchen 4 Stunden.	Nein	Das ist eine antiproportionale Zuordnung, weil mehr Arbeiter weniger Zeit benötigen.
Ein Taxi kostet 4 Euro Grundpreis plus 2 Euro pro Kilometer.	Nein	Wegen des Grundpreises verläuft der Graph nicht durch den Ursprung.

Was bedeutet Dreisatz?

Der Dreisatz ist ein Rechenverfahren, bei dem aus drei bekannten Werten ein vierter Wert bestimmt wird. Bei proportionalen Zuordnungen gehst Du meist in drei gedanklichen Schritten vor:

1. Ausgangssituation: Du notierst die gegebene Zuordnung.
2. Einheitssatz: Du berechnest den Wert für eine Einheit.
3. Zielsatz: Du berechnest den Wert für die gesuchte Anzahl.

Der Dreisatz heißt so, weil die Lösung traditionell in drei Sätzen oder drei Rechenschritten dargestellt wird. Mathematisch steckt dahinter eine Verhältnisgleichung.

Grundformel des proportionalen Dreisatzes

Wenn $a$ Einheiten einer Größe $A$ zu $b$ Einheiten einer Größe $B$ gehören und Du wissen möchtest, wie viele Einheiten $B$ zu $c$ Einheiten $A$ gehören, dann gilt:

$a:b=c:x$

Daraus folgt:

$x=c\cdot \frac{b}{a}$

Diese Formel bedeutet: Zuerst wird der Wert pro Einheit berechnet, also $\frac{b}{a}$. Danach wird dieser Einheitswert mit der gesuchten Anzahl $c$ multipliziert.

Dreisatz in der Tabelle

Der Dreisatz wird in der Schule häufig in einer Tabelle dargestellt. Diese Darstellung ist sehr hilfreich, weil Du auf beiden Seiten mit denselben Rechenschritten arbeitest.

Beispiel 1: Hefte kaufen

Aufgabe: 4 Hefte kosten 6 Euro. Wie viel kosten 10 Hefte?

Hefte	Preis in Euro	Rechenschritt
4	6	gegeben
1	$6:4=\mathrm{1,50}$	durch 4
10	$\mathrm{1,50}\cdot 10=15$	mal 10

Antwort: 10 Hefte kosten 15 Euro.

Erklärung zum Beispiel

Die Zuordnung ist proportional, weil jedes Heft gleich viel kostet. Wenn Du die Anzahl der Hefte verdoppelst, verdoppelt sich der Preis. Wenn Du die Anzahl der Hefte auf eine Einheit zurückführst, erhältst Du den Einzelpreis.

Der wichtigste Zwischenschritt ist:

$1\text{ Heft}=\mathrm{1,50}\text{ Euro}$

Dieser Einheitswert macht die Aufgabe einfach. Sobald Du weißt, wie viel eine Einheit kostet, kannst Du jede andere Anzahl berechnen.

Beispiel 2: Rezept umrechnen

Aufgabe: Für 6 Personen brauchst Du 450 g Nudeln. Wie viel brauchst Du für 10 Personen?

Personen	Nudeln in g	Rechenschritt
6	450	gegeben
1	$450:6=75$	durch 6
10	$75\cdot 10=750$	mal 10

Antwort: Für 10 Personen brauchst Du 750 g Nudeln.

Beispiel 3: Fahrstrecke und Benzinverbrauch

Aufgabe: Ein Auto verbraucht auf 100 km 6 Liter Benzin. Wie viel Benzin verbraucht es auf 350 km, wenn der Verbrauch gleich bleibt?

Strecke in km	Verbrauch in Liter	Rechenschritt
100	6	gegeben
1	$6:100=\mathrm{0,06}$	durch 100
350	$\mathrm{0,06}\cdot 350=21$	mal 350

Antwort: Das Auto verbraucht auf 350 km 21 Liter Benzin.

Proportionalitätsfaktor und Dreisatz

Der Dreisatz und der Proportionalitätsfaktor hängen eng zusammen. Beim Dreisatz berechnest Du im zweiten Schritt meistens den Wert für eine Einheit. Genau dieser Wert ist häufig der Proportionalitätsfaktor.

Wenn 5 kg Kartoffeln 8 Euro kosten, dann kostet 1 kg:

$8:5=\mathrm{1,60}$

Der Proportionalitätsfaktor ist also:

$k=\mathrm{1,60}$

Die Funktionsgleichung lautet:

$y=\mathrm{1,60}\cdot x$

Dabei ist $x$ die Masse in Kilogramm und $y$ der Preis in Euro.

Dreisatz als Verhältnisgleichung

Eine Dreisatzaufgabe kann auch als Verhältnisgleichung formuliert werden.

Beispiel: 4 Hefte kosten 6 Euro. Wie viel kosten 10 Hefte?

$\frac{4}{6}=\frac{10}{x}$

Oder übersichtlicher:

$\frac{6}{4}=\frac{x}{10}$

Nun wird umgestellt:

$x=10\cdot \frac{6}{4}$

$x=15$

Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis. Der Tabellenweg ist besonders anschaulich, die Verhältnisgleichung ist besonders kompakt.

Graph einer proportionalen Zuordnung

Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft. Der Koordinatenursprung ist der Punkt $(0|0)$. Das bedeutet: Wenn Du 0 Einheiten kaufst, bezahlst Du 0 Euro. Wenn Du 0 Kilometer fährst, verbrauchst Du 0 Liter Benzin.

Die Steigung der Geraden entspricht dem Proportionalitätsfaktor. Je größer der Proportionalitätsfaktor ist, desto steiler ist die Gerade.

Beispiel zum Graphen

Eine Eintrittskarte kostet 4 Euro. Die Zuordnung lautet:

$y=4x$

Anzahl der Karten $x$	Preis $y$ in Euro
0	0
1	4
2	8
3	12
4	16

Alle Punkte liegen auf einer Geraden durch den Ursprung. Das zeigt, dass die Zuordnung proportional ist.

Proportional oder nicht proportional?

Nicht jede Aufgabe mit zwei Größen ist proportional. Deshalb musst Du vor dem Rechnen prüfen, ob der Dreisatz wirklich passt.

Prüffragen

1. Gleiches Verhältnis: Bleibt der Quotient $\frac{y}{x}$ gleich?
2. Verdoppeln: Wird beim Verdoppeln der ersten Größe auch die zweite Größe verdoppelt?
3. Nullpunkt: Gehört zur Ausgangsgröße 0 auch der Wert 0?
4. Einheitspreis: Gibt es einen festen Wert pro Einheit?
5. Sinnzusammenhang: Ist der Zusammenhang sachlich plausibel?

Nicht proportionale Beispiele

Situation	Warum nicht proportional?
Eine Taxifahrt kostet 5 Euro Grundgebühr plus 2 Euro pro Kilometer.	Der Preis beginnt nicht bei 0 Euro, weil es eine Grundgebühr gibt.
Eine Kerze wird mit der Zeit kürzer.	Je mehr Zeit vergeht, desto weniger Kerze bleibt übrig.
2 Arbeiter brauchen 6 Stunden, 4 Arbeiter brauchen 3 Stunden.	Mehr Arbeiter bedeuten weniger Zeit; das ist antiproportional.
Ein Mensch wächst vom 1. bis zum 14. Lebensjahr.	Wachstum verläuft nicht gleichmäßig proportional zur Zeit.

Typische Fehler beim Dreisatz

Beim proportionalen Dreisatz passieren häufig ähnliche Fehler. Wenn Du sie kennst, kannst Du sie vermeiden.

Fehler 1: Falsche Zuordnung erkennen

Nicht jede Aufgabe mit „je mehr, desto mehr“ ist automatisch proportional. Beispiel: Ein Handyvertrag kostet 10 Euro Grundgebühr und 5 Euro pro Gigabyte. Wenn Du mehr Datenvolumen nutzt, zahlst Du mehr. Trotzdem ist die Zuordnung nicht proportional, weil die Grundgebühr immer dazukommt.

Fehler 2: Einheiten verwechseln

Bei Dreisatzaufgaben müssen gleichartige Größen untereinanderstehen. Euro gehören unter Euro, Kilogramm unter Kilogramm, Liter unter Liter, Kilometer unter Kilometer.

Falsch wäre:

Hefte	Euro
4	10
6	?

Wenn die Aufgabe eigentlich lautet „4 Hefte kosten 6 Euro“, müssen die Zahlen richtig eingeordnet werden. Eine saubere Tabelle verhindert Rechenfehler.

Fehler 3: Rundungsfehler zu früh machen

Wenn beim Einheitswert eine lange Dezimalzahl entsteht, solltest Du möglichst spät runden. Runde erst am Ende, wenn die Aufgabe eine gerundete Antwort verlangt.

Beispiel:

$7\text{ kg}=10\text{ Euro}$

$1\text{ kg}=10:7\approx \mathrm{1,428571}$

Wenn Du zu früh auf 1,43 Euro rundest, können bei großen Mengen kleine Abweichungen entstehen. In der Schule ist es oft besser, mit dem Bruch weiterzurechnen:

$x=18\cdot \frac{10}{7}$

Strategien zum Lösen von Textaufgaben

Dreisatzaufgaben sind häufig Textaufgaben. Dabei ist nicht nur das Rechnen wichtig, sondern auch das Verstehen der Situation.

Schritt-für-Schritt-Methode

1. Textverständnis: Lies die Aufgabe sorgfältig und markiere die gegebenen Werte.
2. Größen erkennen: Bestimme, welche zwei Größen miteinander verknüpft sind.
3. Proportionalität prüfen: Überlege, ob die Zuordnung proportional ist.
4. Tabelle anlegen: Schreibe gleichartige Werte untereinander.
5. Einheitswert berechnen: Rechne auf 1 Einheit herunter.
6. Gesuchten Wert berechnen: Rechne vom Einheitswert auf die gesuchte Anzahl hoch.
7. Antwortsatz: Schreibe einen vollständigen Satz mit Einheit.

Beispiel mit vollständigem Lösungsweg

Aufgabe: 8 Flaschen Wasser kosten 5,60 Euro. Wie viel kosten 15 Flaschen?

Schritt 1: Größen erkennen

Die beiden Größen sind Anzahl der Flaschen und Preis in Euro.

Schritt 2: Proportionalität prüfen

Jede Flasche kostet gleich viel. Also ist die Zuordnung proportional.

Schritt 3: Tabelle anlegen

Flaschen	Preis in Euro	Rechenschritt
8	5,60	gegeben
1	$\mathrm{5,60}:8=\mathrm{0,70}$	durch 8
15	$\mathrm{0,70}\cdot 15=\mathrm{10,50}$	mal 15

Antwort: 15 Flaschen Wasser kosten 10,50 Euro.

Dreisatz mental rechnen

Nicht jede Dreisatzaufgabe muss schriftlich gelöst werden. Manche Aufgaben kannst Du im Kopf lösen, wenn Du günstige Zwischenschritte findest.

Beispiel: Vom Bekannten zum Gesuchten

Aufgabe: 3 Brötchen kosten 1,80 Euro. Wie viel kosten 6 Brötchen?

Da 6 das Doppelte von 3 ist, musst Du nur den Preis verdoppeln:

$\mathrm{1,80}\cdot 2=\mathrm{3,60}$

Antwort: 6 Brötchen kosten 3,60 Euro.

Beispiel: Geschickter Zwischenschritt

Aufgabe: 12 Kugelschreiber kosten 9 Euro. Wie viel kosten 4 Kugelschreiber?

4 ist ein Drittel von 12. Also kostet ein Drittel der Kugelschreiber auch ein Drittel des Preises:

$9:3=3$

Antwort: 4 Kugelschreiber kosten 3 Euro.

Zusammenhang mit Prozentrechnung

Der Dreisatz ist auch eine wichtige Grundlage der Prozentrechnung. Viele Prozentaufgaben lassen sich mit dem Dreisatz lösen, weil Prozentangaben proportionale Zusammenhänge beschreiben.

Beispiel: Prozentwert berechnen

Aufgabe: Ein Fahrrad kostet 400 Euro. Es wird um 15 Prozent reduziert. Wie viel Euro beträgt der Rabatt?

Prozent	Euro	Rechenschritt
100	400	gegeben
1	$400:100=4$	durch 100
15	$4\cdot 15=60$	mal 15

Antwort: Der Rabatt beträgt 60 Euro.

Zusammenhang mit Maßstab

Auch beim Maßstab arbeitest Du mit proportionalen Zuordnungen. Wenn eine Karte im Maßstab $1:50000$ gezeichnet ist, entspricht 1 cm auf der Karte in Wirklichkeit 50.000 cm.

Beispiel: Kartenmaßstab

Aufgabe: Auf einer Karte im Maßstab $1:50000$ sind zwei Orte 6 cm voneinander entfernt. Wie groß ist die wirkliche Entfernung?

$6\cdot 50000=300000$

300.000 cm sind 3.000 m, also 3 km.

Antwort: Die Orte sind in Wirklichkeit 3 km voneinander entfernt.

Zusammenhang mit Geschwindigkeit

Wenn sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, sind Zeit und Strecke proportional. Das bedeutet: Doppelte Zeit führt zu doppelter Strecke.

Beispiel: Konstante Geschwindigkeit

Aufgabe: Ein Fahrrad fährt in 2 Stunden 36 km. Wie weit fährt es in 5 Stunden bei gleicher Geschwindigkeit?

Zeit in h	Strecke in km	Rechenschritt
2	36	gegeben
1	$36:2=18$	durch 2
5	$18\cdot 5=90$	mal 5

Antwort: Das Fahrrad fährt in 5 Stunden 90 km.

Dreisatz und Einheiten

Ein sauberer Umgang mit Einheiten ist beim Dreisatz besonders wichtig. Die Einheit gehört immer zur Zahl. Dadurch erkennst Du, was berechnet wird und ob das Ergebnis sinnvoll ist.

Häufige Einheiten beim Dreisatz

Bereich	Typische Einheiten	Beispiel
Geld	Euro, Cent	Preis pro Stück
Masse	Gramm, Kilogramm, Tonnen	Zutatenmenge
Volumen	Milliliter, Liter	Getränkemenge
Strecke	Zentimeter, Meter, Kilometer	Maßstab oder Wegstrecke
Zeit	Sekunden, Minuten, Stunden	Geschwindigkeit oder Arbeitszeit

Erweiterte Sicht: Dreisatz als lineare Funktion

Eine proportionale Zuordnung ist eine besondere lineare Funktion. Ihre Gleichung lautet:

$f(x)=kx$

Im Unterschied zu allgemeinen linearen Funktionen gibt es keinen zusätzlichen Summanden. Eine allgemeine lineare Funktion hat die Form:

$f(x)=mx+b$

Eine proportionale Funktion hat immer:

$b=0$

Deshalb verläuft ihr Graph durch den Ursprung. Wenn $b\ne 0$ ist, liegt keine proportionale Zuordnung vor.

Beispielvergleich

Funktion	Proportional?	Begründung
$y=3x$	Ja	Der Graph geht durch den Ursprung und der Quotient ist konstant.
$y=3x+2$	Nein	Der zusätzliche Wert 2 verschiebt den Graphen nach oben.
$y=\mathrm{0,5}x$	Ja	Der Proportionalitätsfaktor ist 0,5.
$y=x^2$	Nein	Der Quotient $\frac{y}{x}$ ist nicht konstant.

Mini-Projekt: Dreisatz im Alltag entdecken

Untersuche in Deinem Alltag drei Situationen, in denen der Dreisatz vorkommt. Beispiele sind Supermarktpreise, Rezeptmengen, Sportgeschwindigkeit, Druckkosten oder Materialverbrauch. Notiere jeweils:

1. Situation: Wo kommt die Zuordnung vor?
2. Größen: Welche zwei Größen werden verglichen?
3. Prüfung: Ist die Zuordnung proportional?
4. Rechnung: Wie lautet der Dreisatz?
5. Antwort: Was bedeutet das Ergebnis im Alltag?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann liegt eine proportionale Zuordnung vor? (Wenn sich beide Größen im gleichen Verhältnis verändern) (!Wenn eine Größe immer kleiner wird) (!Wenn ein Grundpreis addiert wird) (!Wenn der Graph eine Kurve ist)

Was berechnest Du im zweiten Schritt des proportionalen Dreisatzes meistens? (Den Wert für eine Einheit) (!Den größten gegebenen Wert) (!Den Mittelwert aller Zahlen) (!Den Wert für null Einheiten)

Welche Gleichung passt zu einer proportionalen Zuordnung? (y = k mal x) (!y = k plus x) (!y = x hoch 2) (!y = k minus x plus 5)

Wie sieht der Graph einer proportionalen Zuordnung aus? (Eine Gerade durch den Ursprung) (!Eine Gerade mit Grundgebühr) (!Eine Kurve durch den Ursprung) (!Eine waagerechte Linie ohne Zusammenhang)

Vier Hefte kosten 8 Euro. Wie viel kostet ein Heft? (2 Euro) (!4 Euro) (!8 Euro) (!32 Euro)

Was ist bei einer proportionalen Zuordnung konstant? (Der Quotient aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert) (!Die Summe der beiden Werte) (!Die Differenz der beiden Werte) (!Der größte Tabellenwert)

Welche Situation ist proportional? (3 kg Äpfel kosten dreimal so viel wie 1 kg Äpfel) (!Ein Taxi kostet Grundpreis plus Kilometerpreis) (!Vier Arbeiter brauchen halb so lange wie zwei Arbeiter) (!Eine Kerze wird beim Brennen kürzer)

Was bedeutet der Proportionalitätsfaktor in einer Preisaufgabe? (Den Preis für eine Einheit) (!Den Gesamtpreis aller Waren) (!Die Anzahl der gekauften Waren) (!Den Rabatt nach dem Einkauf)

Welche Rechnung gehört zum Dreisatz, wenn 5 Stück 20 Euro kosten und 8 Stück gesucht sind? (20 durch 5 mal 8) (!20 mal 5 durch 8) (!5 durch 20 mal 8) (!8 durch 20 mal 5)

Warum ist eine Taxifahrt mit Grundgebühr nicht proportional? (Weil der Graph nicht durch den Ursprung verläuft) (!Weil Euro keine mathematische Einheit ist) (!Weil man Preise nicht vergleichen darf) (!Weil jede Gerade proportional ist)

Memory

Dreisatz	Rechenverfahren mit drei bekannten Werten
Einheitssatz	Wert für eine Einheit
Proportionalitätsfaktor	Konstanter Quotient
Ursprung	Punkt null null im Koordinatensystem
Verhältnisgleichung	Gleichung mit zwei gleichen Verhältnissen
Graph	Gerade Darstellung einer Zuordnung
Tabelle	Übersicht mit gleichartigen Werten

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gegebene Zuordnung notieren	Ausgangssituation
Wert für eine Einheit berechnen	Einheitssatz
Wert für die gesuchte Anzahl berechnen	Zielsatz
Ergebnis mit Einheit formulieren	Antwortsatz
Verhältnis der Werte prüfen	Proportionalitätsprüfung

Kreuzworträtsel

Dreisatz	Wie heißt das Verfahren, mit dem aus drei bekannten Werten ein vierter Wert berechnet wird?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Ursprung	Durch welchen Punkt verläuft der Graph jeder proportionalen Zuordnung?
Gerade	Welche Form hat der Graph einer proportionalen Zuordnung?
Einheit	Auf welchen Bezugswert rechnet man im zweiten Schritt häufig herunter?
Tabelle	Welche Darstellung hilft, gleichartige Werte übersichtlich untereinanderzuschreiben?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Zuordnung heißt proportional, wenn sich beide Größen im gleichen verändern. Beim Dreisatz berechnest Du häufig zuerst den Wert für eine . Der Quotient aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert heißt . Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine . Diese Gerade verläuft immer durch den . Eine Grundgebühr verhindert häufig eine . Die allgemeine Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet . Bei Textaufgaben solltest Du zuerst prüfen, ob die Zuordnung wirklich ist.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Preisvergleich: Suche drei Produkte im Supermarkt, bei denen unterschiedliche Packungsgrößen angeboten werden, und berechne jeweils den Preis pro Einheit.
2. Rezept: Rechne ein Rezept für 4 Personen auf 2 Personen und auf 8 Personen um.
3. Dreisatztabelle: Erstelle zu einer selbst gewählten Alltagssituation eine Tabelle mit Ausgangssituation, Einheitssatz und Zielsatz.
4. Proportionalitätsprüfung: Sammle fünf Alltagssituationen und entscheide, ob sie proportional sind oder nicht.

Standard

1. Textaufgaben: Erfinde drei eigene Textaufgaben zum proportionalen Dreisatz und schreibe vollständige Musterlösungen.
2. Graphische Darstellung: Zeichne den Graphen einer proportionalen Zuordnung, beschrifte die Achsen und erkläre die Bedeutung der Steigung.
3. Prozentrechnung: Löse drei Rabattaufgaben mit dem Dreisatz und vergleiche Deine Ergebnisse mit einer Prozentformel.
4. Maßstab: Nutze eine Karte oder einen Stadtplan und berechne mit dem Dreisatz reale Entfernungen.

Schwer

1. Fehleranalyse: Erstelle eine falsche Dreisatzlösung mit typischem Fehler und erkläre anschließend, wie man den Fehler erkennt und korrigiert.
2. Funktionenvergleich: Vergleiche eine proportionale Funktion mit einer linearen Funktion mit Grundwert und erkläre den Unterschied an Graphen.
3. Projekt Einkauf: Plane einen Einkauf für eine Klassenfeier und berechne mit dem Dreisatz Mengen und Kosten für verschiedene Personenzahlen.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du den Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen mit einem eigenen Beispiel erklärst.

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Lernkontrolle

1. Transferaufgabe Einkauf: Ein Getränkemarkt verkauft 12 Flaschen Wasser für 7,20 Euro. Ein anderer Markt verkauft 20 Flaschen für 11,80 Euro. Vergleiche die Angebote sinnvoll und begründe, welches günstiger ist.
2. Fehlerbegründung: Eine Schülerin rechnet bei der Aufgabe „6 kg kosten 15 Euro, wie viel kosten 10 kg?“ zuerst $6:15$. Erkläre, warum diese Rechnung nicht zum gesuchten Einheitspreis passt.
3. Modellierungsaufgabe: Entscheide, ob die Kosten eines Handyvertrags mit monatlicher Grundgebühr proportional zur Datenmenge sind, und begründe Deine Entscheidung mit einem mathematischen Argument.
4. Grapheninterpretation: Zwei Geraden gehen durch den Ursprung. Die eine ist steiler als die andere. Erkläre, was das in einer Preis-pro-Stück-Situation bedeutet.
5. Alltagsproblem: Für 5 m Stoff zahlt man 37,50 Euro. Eine Person möchte Vorhänge aus 8,40 m Stoff nähen. Entwickle einen vollständigen Lösungsweg und prüfe, ob Dein Ergebnis realistisch ist.
6. Vergleich von Lösungswegen: Löse eine Dreisatzaufgabe einmal mit Tabelle und einmal mit Verhältnisgleichung. Vergleiche beide Wege hinsichtlich Übersichtlichkeit und Rechensicherheit.
7. Grenzen des Verfahrens: Beschreibe eine Alltagssituation, die auf den ersten Blick proportional wirkt, es aber nicht ist, und erkläre, warum der Dreisatz dort zu falschen Ergebnissen führen würde.

Links

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Zusammenfassung

Der Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen ist ein Verfahren, um aus drei bekannten Werten einen vierten unbekannten Wert zu berechnen. Voraussetzung ist, dass eine proportionale Zuordnung vorliegt. Das erkennst Du daran, dass sich beide Größen im gleichen Verhältnis verändern, der Quotient $\frac{y}{x}$ konstant bleibt und der Graph eine Gerade durch den Ursprung ist. Beim proportionalen Dreisatz rechnest Du häufig zuerst auf eine Einheit herunter und anschließend auf die gesuchte Anzahl hoch. Der Dreisatz ist eng verbunden mit Prozentrechnung, Maßstab, Einheitspreis, Geschwindigkeit und linearen Funktionen.

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Prüfungsliteratur 2026

Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

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