Dreiecke mit Lineal und Zirkel konstruieren - aiMOOC

Einleitung

Dreiecke mit Lineal und Zirkel konstruieren gehört zu den grundlegenden Themen der Geometrie in Klasse 5 und 6. Du lernst, wie aus gegebenen Seiten, Winkeln und Punkten ein eindeutiges Dreieck entsteht. Dabei geht es nicht nur um sauberes Zeichnen, sondern auch um mathematisches Begründen: Warum schneiden sich zwei Kreise genau dort? Warum reichen manchmal drei Angaben aus? Wann ist eine Konstruktion unmöglich oder mehrdeutig?

In diesem aiMOOC arbeitest Du mit den klassischen Werkzeugen Zirkel und Lineal. Ein Lineal dient bei einer Konstruktion vor allem dazu, Geraden, Strecken und Verbindungslinien zu zeichnen. Mit dem Zirkel überträgst Du Längen, zeichnest Kreise und findest Schnittpunkte. Genau diese Schnittpunkte helfen Dir, fehlende Eckpunkte eines Dreiecks zu bestimmen.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, wie man ein Dreieck aus verschiedenen Vorgaben konstruiert. Du kannst Konstruktionen mit Lineal, Zirkel und gegebenenfalls Geodreieck sauber ausführen, beschriften und begründen. Außerdem kannst Du entscheiden, ob eine Dreieckskonstruktion eindeutig, unmöglich oder mehrdeutig ist.

1. Dreieck: Du kennst die Bezeichnungen der Ecken, Seiten und Winkel.
2. Zirkel: Du kannst Streckenlängen mit dem Zirkel übertragen.
3. Lineal: Du kannst Strecken und Hilfslinien sauber zeichnen.
4. Kongruenzsatz: Du verstehst, warum bestimmte Angaben ein Dreieck eindeutig festlegen.
5. Konstruktionsbeschreibung: Du kannst einzelne Konstruktionsschritte fachsprachlich beschreiben.
6. Fehleranalyse: Du kannst typische Konstruktionsfehler erkennen und verbessern.

Grundwissen Dreieck

Bezeichnungen am Dreieck

Ein Dreieck besteht aus drei Eckpunkten, drei Seiten und drei Innenwinkeln. Die Eckpunkte werden häufig mit $A$, $B$ und $C$ bezeichnet. Die Seite gegenüber von $A$ heißt $a$, die Seite gegenüber von $B$ heißt $b$ und die Seite gegenüber von $C$ heißt $c$. Die Winkel werden meist mit $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bezeichnet.

Ein wichtiges Grundgesetz lautet:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Das bedeutet: Die drei Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen immer $180^{\circ }$. Diese Eigenschaft hilft Dir besonders bei Konstruktionen, bei denen zwei Winkel gegeben sind. Dann kannst Du den dritten Winkel berechnen.

Seitenlängen und Dreiecksungleichung

Nicht aus drei beliebigen Strecken kann ein Dreieck entstehen. Die längste Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen Seiten. Diese Regel heißt Dreiecksungleichung.

$a+b>c$

$a+c>b$

$b+c>a$

Wenn eine dieser Bedingungen nicht erfüllt ist, lässt sich kein echtes Dreieck konstruieren. Beispiel: Aus den Strecken $2cm$, $3cm$ und $6cm$ entsteht kein Dreieck, weil $2cm+3cm<6cm$ ist. Die beiden kürzeren Seiten erreichen die Endpunkte der längsten Seite nicht.

Werkzeuge bei der Konstruktion

Beim Konstruieren geht es um exaktes Zeichnen. Du solltest deshalb nicht einfach ungefähr zeichnen, sondern jeden Schritt begründen können.

1. Lineal: Mit dem Lineal zeichnest Du Geraden, Strecken und Verbindungslinien.
2. Zirkel: Mit dem Zirkel überträgst Du Längen und zeichnest Kreise oder Kreisbögen.
3. Geodreieck: Mit dem Geodreieck kannst Du Winkel messen oder antragen, wenn Winkelangaben gegeben sind.
4. Bleistift: Ein spitzer Bleistift ist wichtig, damit Schnittpunkte genau erkennbar sind.
5. Beschriftung: Punkte, Seiten und Winkel werden sofort beschriftet, damit Deine Konstruktion nachvollziehbar bleibt.

Grundkonstruktionen

Strecke übertragen

Eine Strecke zu übertragen bedeutet, dass Du eine gegebene Länge an einer anderen Stelle zeichnerisch abträgst. Dazu stellst Du den Zirkel auf die Länge der Ausgangsstrecke ein. Dann setzt Du die Zirkelspitze an den neuen Startpunkt und markierst auf einer Geraden den neuen Endpunkt. So entsteht eine Strecke gleicher Länge.

Beispiel: Die Strecke $\overline{AB}$ ist gegeben. Du möchtest eine gleich lange Strecke $\overline{DE}$ zeichnen. Zeichne zuerst einen Strahl ab $D$. Stelle den Zirkel auf die Länge $AB$ ein. Setze die Zirkelspitze in $D$ und schlage einen Kreisbogen. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem Strahl ist $E$. Dann gilt $\overline{DE}=\overline{AB}$.

Kreis um einen Punkt zeichnen

Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die von einem Mittelpunkt den gleichen Abstand haben. Wenn Du mit dem Zirkel einen Kreis um $A$ mit Radius $r$ zeichnest, dann sind alle Punkte auf dem Kreis genau $r$ von $A$ entfernt.

Bei Dreieckskonstruktionen nutzt Du diese Eigenschaft sehr häufig: Wenn ein Punkt $C$ von $A$ genau $5cm$ entfernt sein soll, dann muss $C$ auf dem Kreis um $A$ mit Radius $5cm$ liegen.

Schnittpunkte als Lösungen verstehen

Bei vielen Dreieckskonstruktionen entsteht der fehlende Eckpunkt als Schnittpunkt zweier Kreise oder eines Kreises mit einer Geraden. Der Schnittpunkt erfüllt gleichzeitig zwei Bedingungen. Wenn $C$ zum Beispiel auf einem Kreis um $A$ mit Radius $4cm$ und auf einem Kreis um $B$ mit Radius $5cm$ liegt, dann gilt gleichzeitig:

$AC=4cm$

$BC=5cm$

Damit ist der Punkt $C$ passend für ein Dreieck mit den Seitenlängen $AB$, $AC$ und $BC$.

Wichtige Konstruktionsfälle

SSS: Drei Seiten sind gegeben

Beim Fall SSS sind alle drei Seitenlängen eines Dreiecks gegeben. Die Abkürzung steht für Seite - Seite - Seite. Dieser Fall ist besonders anschaulich, weil zwei Kreise den dritten Eckpunkt bestimmen.

Beispiel: Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $a=6cm$, $b=5cm$ und $c=4cm$.

1. Grundseite: Zeichne zuerst die Strecke $\overline{AB}$ mit der Länge $c=4cm$.
2. Kreisbogen: Zeichne um $A$ einen Kreis oder Kreisbogen mit Radius $b=5cm$, denn $AC=b$.
3. Kreisbogen: Zeichne um $B$ einen Kreis oder Kreisbogen mit Radius $a=6cm$, denn $BC=a$.
4. Schnittpunkt: Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ist $C$.
5. Verbindung: Verbinde $C$ mit $A$ und $C$ mit $B$.
6. Beschriftung: Beschrifte alle Ecken, Seiten und gegebenen Größen.

Begründung: Punkt $C$ liegt auf dem Kreis um $A$, deshalb ist $AC=5cm$. Gleichzeitig liegt $C$ auf dem Kreis um $B$, deshalb ist $BC=6cm$. Zusammen mit $AB=4cm$ erfüllt das Dreieck alle Vorgaben.

SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben

Beim Fall SWS sind zwei Seiten und der Winkel zwischen diesen beiden Seiten gegeben. Die Abkürzung steht für Seite - Winkel - Seite. Dieser Fall legt ein Dreieck eindeutig fest.

Beispiel: Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $AB=6cm$, $\alpha =50^{\circ }$ und $AC=4cm$.

1. Grundseite: Zeichne die Strecke $\overline{AB}=6cm$.
2. Winkel: Trage bei $A$ den Winkel $\alpha =50^{\circ }$ an.
3. Seite: Trage auf dem neuen Schenkel vom Punkt $A$ aus die Länge $AC=4cm$ ab.
4. Eckpunkt: Markiere den Endpunkt als $C$.
5. Verbindung: Verbinde $C$ mit $B$.
6. Kontrolle: Prüfe, ob der Winkel wirklich bei $A$ liegt und ob die beiden Seiten den Winkel einschließen.

Begründung: Der Punkt $C$ liegt auf dem Winkelschenkel bei $A$ und hat von $A$ die geforderte Entfernung. Dadurch sind beide Seiten und der eingeschlossene Winkel erfüllt.

WSW: Eine Seite und zwei anliegende Winkel sind gegeben

Beim Fall WSW sind eine Seite und die beiden Winkel an den Endpunkten dieser Seite gegeben. Die Abkürzung steht für Winkel - Seite - Winkel. Auch dieser Fall legt ein Dreieck eindeutig fest.

Beispiel: Konstruiere ein Dreieck $ABC$ mit $AB=7cm$, $\alpha =45^{\circ }$ und $\beta =65^{\circ }$.

1. Grundseite: Zeichne die Strecke $\overline{AB}=7cm$.
2. Winkel: Trage bei $A$ den Winkel $\alpha =45^{\circ }$ an.
3. Winkel: Trage bei $B$ den Winkel $\beta =65^{\circ }$ an.
4. Schnittpunkt: Die beiden Winkelschenkel schneiden sich im Punkt $C$.
5. Beschriftung: Beschrifte den Schnittpunkt als $C$ und markiere die Seiten.
6. Kontrolle: Berechne den dritten Winkel: $\gamma =180^{\circ }-45^{\circ }-65^{\circ }=70^{\circ }$.

Begründung: Punkt $C$ liegt gleichzeitig auf beiden Winkelschenkeln. Deshalb entstehen bei $A$ und $B$ die geforderten Winkel.

SSW: Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel sind gegeben

Beim Fall SSW sind zwei Seiten und ein Winkel gegeben, der nicht zwischen den beiden Seiten liegt. Dieser Fall ist anspruchsvoller, weil es je nach Angaben keine, eine oder zwei Lösungen geben kann.

Beispiel: Gegeben sind $AB=6cm$, $\alpha =40^{\circ }$ und $BC=4cm$.

1. Grundseite: Zeichne zuerst $\overline{AB}=6cm$.
2. Winkel: Trage bei $A$ den Winkel $\alpha =40^{\circ }$ an.
3. Kreis: Zeichne um $B$ einen Kreis mit Radius $4cm$.
4. Schnittpunkt: Dort, wo der Kreis den Winkelschenkel schneidet, kann $C$ liegen.
5. Mehrdeutigkeit: Schneidet der Kreis den Winkelschenkel zweimal, gibt es zwei mögliche Dreiecke.
6. Unmöglichkeit: Schneidet der Kreis den Winkelschenkel nicht, gibt es keine Lösung.

Merke: Beim SSW-Fall musst Du besonders genau prüfen, wie viele Schnittpunkte entstehen. Die Zeichnung selbst zeigt Dir, ob es keine, eine oder zwei Lösungen gibt.

Das gleichseitige Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten. Deshalb sind auch alle drei Winkel gleich groß. Jeder Innenwinkel beträgt $60^{\circ }$. Die Konstruktion ist ein Klassiker, weil sie nur mit Zirkel und Lineal möglich ist.

Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks über einer Strecke $\overline{AB}$:

1. Strecke: Zeichne die Strecke $\overline{AB}$.
2. Kreis: Zeichne einen Kreis um $A$ mit Radius $AB$.
3. Kreis: Zeichne einen Kreis um $B$ mit Radius $AB$.
4. Schnittpunkt: Ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist $C$.
5. Dreieck: Verbinde $A$ mit $C$ und $B$ mit $C$.

Warum funktioniert das? Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis um $A$, also ist $AC=AB$. Er liegt auch auf dem Kreis um $B$, also ist $BC=AB$. Damit gilt $AB=AC=BC$. Das Dreieck ist gleichseitig.

Konstruktionsbeschreibung schreiben

Eine gute Konstruktionsbeschreibung ist so genau, dass eine andere Person damit die Zeichnung nachbauen kann. Du verwendest dabei Fachbegriffe wie Strecke, Kreis, Radius, Schnittpunkt, Winkelschenkel und Verbindungslinie.

Aufbau einer Konstruktionsbeschreibung

1. Gegeben: Notiere zuerst alle gegebenen Größen.
2. Gesucht: Formuliere, welches Dreieck konstruiert werden soll.
3. Konstruktion: Beschreibe die Schritte in sinnvoller Reihenfolge.
4. Begründung: Erkläre, warum die Konstruktion die Vorgaben erfüllt.
5. Kontrolle: Prüfe Seitenlängen, Winkel, Beschriftung und Eindeutigkeit.

Beispiel für eine vollständige Beschreibung

Gegeben: $a=5cm$, $b=4cm$, $c=6cm$. Gesucht: Dreieck $ABC$.

Konstruktion: Zeichne zuerst die Strecke $\overline{AB}=c=6cm$. Zeichne dann um $A$ einen Kreis mit Radius $b=4cm$. Zeichne um $B$ einen Kreis mit Radius $a=5cm$. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist $C$. Verbinde $C$ mit $A$ und $C$ mit $B$. Beschrifte alle Seiten und Ecken.

Begründung: Weil $C$ auf dem Kreis um $A$ liegt, ist $AC=4cm$. Weil $C$ auf dem Kreis um $B$ liegt, ist $BC=5cm$. Die Seite $AB$ wurde mit $6cm$ gezeichnet. Damit erfüllt das Dreieck alle drei Seitenangaben.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Beim Konstruieren sind kleine Ungenauigkeiten schnell sichtbar. Deshalb lohnt es sich, langsam und sauber zu arbeiten.

1. Verwechslung: Verwechsle nicht Seite $a$ mit der Strecke $\overline{AB}$. Die Seite $a$ liegt dem Punkt $A$ gegenüber und ist die Strecke $\overline{BC}$.
2. Winkelmessung: Achte darauf, den Winkel am richtigen Punkt anzutragen.
3. Zirkelöffnung: Verändere die Zirkelöffnung nicht, während Du eine Länge überträgst.
4. Schnittpunkt: Markiere Schnittpunkte deutlich, aber nicht zu dick.
5. Beschriftung: Beschrifte direkt nach jedem wichtigen Schritt.
6. Hilfslinie: Zeichne Hilfslinien dünn, damit die eigentliche Lösung erkennbar bleibt.

Eindeutigkeit, Mehrdeutigkeit und Unmöglichkeit

Eine Dreieckskonstruktion kann verschiedene Ergebnisse haben. Bei den Fällen SSS, SWS und WSW ist das Dreieck normalerweise eindeutig bestimmt, wenn die Angaben sinnvoll sind. Beim Fall SSW kann es mehrere Möglichkeiten geben. Das liegt daran, dass ein Kreis einen Winkelschenkel zweimal, einmal oder gar nicht schneiden kann.

Eindeutig bedeutet: Es gibt genau eine passende Form des Dreiecks, abgesehen von einer Spiegelung. Mehrdeutig bedeutet: Es gibt zwei verschiedene Dreiecke, die alle Vorgaben erfüllen. Unmöglich bedeutet: Die Angaben passen nicht zusammen. Dann entsteht kein Dreieck.

Verbindung zu Kongruenzsätzen

Die Kongruenzsätze erklären, warum bestimmte Dreiecksangaben ein Dreieck eindeutig festlegen. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie deckungsgleich sind. Das bedeutet: Man kann sie durch Verschieben, Drehen oder Spiegeln genau zur Deckung bringen.

1. SSS: Drei Seiten legen ein Dreieck fest, wenn die Dreiecksungleichung erfüllt ist.
2. SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel legen ein Dreieck fest.
3. WSW: Eine Seite und zwei anliegende Winkel legen ein Dreieck fest.
4. SSW: Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel können zu keinem, einem oder zwei Dreiecken führen.

Fachsprache und Symbole

In der Geometrie helfen Dir Symbole, kurz und genau zu schreiben. Die Strecke von $A$ nach $B$ schreibt man als $\overline{AB}$. Die Länge dieser Strecke kann mit $AB$ oder mit einer Seitenbezeichnung wie $c$ gemeint sein. Ein Winkel bei $A$ kann als $\mathrm{\angle }BAC$ oder als $\alpha$ bezeichnet werden.

$\overline{AB}=c$

$\overline{BC}=a$

$\overline{CA}=b$

Wenn Du eine Konstruktion kontrollierst, solltest Du immer prüfen, ob Deine Zeichnung zu diesen Bezeichnungen passt.

Schritt-für-Schritt-Strategie

Wenn Du eine neue Aufgabe bekommst, hilft Dir eine feste Strategie.

1. Analyse: Lies die Angaben genau und markiere Seiten und Winkel.
2. Skizze: Zeichne eine kleine Planfigur ohne genaue Maße.
3. Fall erkennen: Entscheide, ob es sich um SSS, SWS, WSW oder SSW handelt.
4. Konstruktion planen: Überlege, mit welcher Seite oder welchem Winkel Du beginnst.
5. Konstruktion ausführen: Zeichne sauber mit Lineal, Zirkel und gegebenenfalls Geodreieck.
6. Begründung formulieren: Erkläre, warum der gefundene Punkt die Bedingungen erfüllt.
7. Kontrolle: Miss nach, prüfe Beschriftung und achte auf mögliche zweite Lösungen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wozu benutzt Du den Zirkel bei einer Dreieckskonstruktion besonders häufig? (Zum Übertragen von Streckenlängen und Zeichnen von Kreisen) (!Zum Messen von Winkeln ohne weitere Hilfsmittel) (!Zum Zeichnen farbiger Flächen) (!Zum Beschriften der Eckpunkte)

Welche Summe haben die Innenwinkel eines Dreiecks? (180 Grad) (!90 Grad) (!270 Grad) (!360 Grad)

Welche Seite liegt dem Eckpunkt A im Dreieck ABC gegenüber? (Seite a) (!Seite b) (!Seite c) (!Seite AB)

Was bedeutet SSS bei einer Dreieckskonstruktion? (Drei Seiten sind gegeben) (!Drei Winkel sind gegeben) (!Zwei Seiten und ein Winkel sind gegeben) (!Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben)

Wann ist eine Dreieckskonstruktion mit drei Seiten unmöglich? (Wenn die längste Seite mindestens so lang ist wie die Summe der beiden anderen Seiten) (!Wenn alle drei Seiten verschieden lang sind) (!Wenn zwei Seiten gleich lang sind) (!Wenn die Seiten mit dem Zirkel übertragen werden)

Was bedeutet SWS? (Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben) (!Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel sind gegeben) (!Eine Seite und zwei gegenüberliegende Winkel sind gegeben) (!Drei Strecken werden ohne Winkel konstruiert)

Warum ist der Schnittpunkt zweier Kreise bei SSS wichtig? (Er erfüllt gleichzeitig zwei Abstandsbedingungen) (!Er zeigt immer den Mittelpunkt des Dreiecks) (!Er ersetzt die Beschriftung der Seiten) (!Er macht das Lineal überflüssig)

Was kann beim SSW-Fall passieren? (Es kann keine, eine oder zwei Lösungen geben) (!Es gibt immer genau drei Lösungen) (!Es gibt nie eine Lösung) (!Es entsteht immer ein gleichseitiges Dreieck)

Welche Angabe brauchst Du zusätzlich zum Lineal, wenn Du einen Winkel von 50 Grad antragen sollst? (Ein Geodreieck oder Winkelmesser) (!Einen Taschenrechner) (!Einen Radiergummi) (!Ein kariertes Heft)

Was gehört zu einer guten Konstruktionsbeschreibung? (Gegebene Größen, Konstruktionsschritte, Begründung und Kontrolle) (!Nur die fertige Zeichnung ohne Erklärung) (!Nur eine Rechnung ohne Zeichnung) (!Nur die Namen der Werkzeuge)

Memory

SSS	Drei Seiten sind gegeben
SWS	Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel
WSW	Eine Seite und zwei anliegende Winkel
SSW	Zwei Seiten und nicht eingeschlossener Winkel
Zirkel	Strecke übertragen
Lineal	Gerade zeichnen
Schnittpunkt	Gemeinsame Lösung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Grundseite zeichnen	Erster sinnvoller Schritt bei vielen Konstruktionen
Zirkelradius einstellen	Länge einer gegebenen Seite übernehmen
Kreisbogen schlagen	Mögliche Lage eines Eckpunktes markieren
Schnittpunkt bestimmen	Fehlenden Eckpunkt finden
Eckpunkte verbinden	Dreieck fertigstellen
Konstruktion kontrollieren	Seiten und Winkel prüfen

...

Kreuzworträtsel

Zirkel	Werkzeug zum Zeichnen von Kreisen und Übertragen von Längen
Lineal	Werkzeug zum Zeichnen gerader Linien
Dreieck	Figur mit drei Seiten und drei Ecken
Winkel	Größe zwischen zwei Schenkeln
Radius	Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises zur Kreislinie
Kongruenz	Deckungsgleichheit geometrischer Figuren

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Dreieckskonstruktion mit Zirkel und Lineal zeichnest Du nicht ungefähr, sondern nach klaren . Ein Dreieck hat drei Seiten und drei . Die Innenwinkelsumme beträgt immer Grad. Beim Fall SSS sind drei gegeben. Der fehlende Eckpunkt entsteht häufig als zweier Kreise. Beim Fall SWS ist der gegebene Winkel zwischen zwei eingeschlossen. Beim Fall WSW sind eine Seite und zwei Winkel gegeben. Der Fall SSW kann schwierig sein, weil es keine, eine oder zwei geben kann. Eine gute Konstruktionsbeschreibung enthält die gegebenen Größen, die einzelnen und eine Begründung. Zur Kontrolle prüfst Du Seitenlängen, Winkel und die richtige .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Werkzeugkunde: Erstelle eine beschriftete Zeichnung Deiner Konstruktionswerkzeuge und erkläre zu jedem Werkzeug, wofür Du es bei Dreieckskonstruktionen nutzt.
2. Strecke übertragen: Zeichne fünf Strecken unterschiedlicher Länge und übertrage jede Strecke mit dem Zirkel an eine neue Stelle.
3. Gleichseitiges Dreieck: Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck über einer selbst gewählten Strecke und beschreibe die Konstruktion in drei bis fünf Sätzen.
4. Beschriftung: Zeichne ein Dreieck ABC und beschrifte die Seiten a, b und c sowie die Winkel alpha, beta und gamma richtig.

Standard

1. SSS-Konstruktion: Konstruiere ein Dreieck mit drei selbst gewählten Seitenlängen, die die Dreiecksungleichung erfüllen, und schreibe eine vollständige Konstruktionsbeschreibung.
2. SWS-Konstruktion: Konstruiere ein Dreieck mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel. Erkläre anschließend, warum der Fall eindeutig ist.
3. WSW-Konstruktion: Konstruiere ein Dreieck aus einer Seite und zwei anliegenden Winkeln. Berechne vor der Konstruktion den dritten Winkel.
4. Fehleranalyse: Tausche Deine Konstruktion mit einer Partnerin oder einem Partner und markiere mindestens drei Stellen, an denen die Zeichnung besonders sauber oder verbesserungsfähig ist.

Schwer

1. SSW-Fall: Erfinde eine SSW-Aufgabe, bei der zwei Lösungen entstehen. Konstruiere beide Dreiecke und erkläre, warum beide die Angaben erfüllen.
2. Unmögliche Konstruktion: Erstelle ein Beispiel mit drei Seitenlängen, aus denen kein Dreieck entstehen kann. Begründe die Unmöglichkeit mit der Dreiecksungleichung.
3. Konstruktionsvergleich: Vergleiche SSS, SWS und WSW in einer Tabelle. Erkläre, welche Schritte ähnlich sind und welche sich unterscheiden.
4. Erklärvideo: Plane ein kurzes Erklärvideo oder eine Präsentation zur Konstruktion eines Dreiecks. Verwende Fachbegriffe und zeige eine saubere Zeichnung.

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Lernkontrolle

1. Transferaufgabe: Du bekommst die Angaben $AB=5cm$, $AC=4cm$ und $\alpha =60^{\circ }$. Entscheide, welcher Konstruktionsfall vorliegt, und begründe, ob die Angaben für eine eindeutige Konstruktion reichen.
2. Begründungsaufgabe: Erkläre mit eigenen Worten, warum bei einer SSS-Konstruktion zwei Kreise verwendet werden und warum ihr Schnittpunkt der gesuchte Eckpunkt ist.
3. Fehlerdiagnose: Eine Schülerin zeichnet bei einer WSW-Aufgabe beide Winkel am selben Punkt an. Beschreibe den Fehler und formuliere eine korrekte Vorgehensweise.
4. Mehrdeutigkeit: Erkläre anhand einer Skizze, warum beim SSW-Fall zwei Dreiecke entstehen können. Verwende die Begriffe Kreis, Winkelschenkel und Schnittpunkt.
5. Alltagsbezug: Beschreibe eine Situation aus Technik, Kunst, Architektur oder Handwerk, in der genaue Dreieckskonstruktionen nützlich sein können.
6. Strategieaufgabe: Entwickle eine allgemeine Checkliste, mit der Du vor jeder Dreieckskonstruktion prüfen kannst, ob Deine Angaben sinnvoll sind.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis erstellst Du ein kleines Konstruktionsportfolio. Es enthält eine SSS-Konstruktion, eine SWS-Konstruktion, eine WSW-Konstruktion und eine Aufgabe zum SSW-Fall. Jede Konstruktion muss eine saubere Zeichnung, eine vollständige Beschriftung, eine Konstruktionsbeschreibung und eine kurze Begründung enthalten. Ergänze außerdem eine Fehleranalyse: Notiere, welche Stelle Dir besonders leicht gefallen ist und an welcher Stelle Du genauer arbeiten musstest.

Zusammenfassung

Beim Konstruieren von Dreiecken nutzt Du Lineal und Zirkel, um geometrische Bedingungen exakt umzusetzen. Seitenlängen werden mit dem Zirkel übertragen, Winkel werden mit dem Geodreieck angetragen und fehlende Eckpunkte entstehen häufig als Schnittpunkte von Kreisen oder Geraden. Die wichtigsten Konstruktionsfälle sind SSS, SWS, WSW und SSW. Bei SSS, SWS und WSW erhältst Du bei passenden Angaben ein eindeutiges Dreieck. Beim SSW-Fall musst Du besonders auf die Anzahl der Schnittpunkte achten.

Die Dreiecksungleichung ist eine wichtige Vorprüfung: Nur wenn jede Seite kürzer ist als die Summe der beiden anderen Seiten, kann ein Dreieck entstehen. Eine vollständige Konstruktionslösung besteht aus Zeichnung, Beschriftung, Konstruktionsbeschreibung, Begründung und Kontrolle.

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Dreiecke mit Lineal und Zirkel konstruieren Dreieck Lineal Zirkel Geodreieck Konstruktion mit Zirkel und Lineal Kongruenzsatz Dreiecksungleichung Gleichseitiges Dreieck Winkel Strecke

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Prüfungsliteratur 2026

Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

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