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Verschiebung und Drehung von Figuren - aiMOOC

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Verschiebung und Drehung von Figuren - aiMOOC



Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, wie man geometrische Figuren in der Ebene verschiebt und dreht. Beide Bewegungen gehören zu den geometrischen Transformationen. Das bedeutet: Eine Figur wird nach einer klaren Regel in eine neue Lage gebracht. Die ursprüngliche Figur nennt man Urfigur, die neue Figur nennt man Bildfigur. Punkte der Urfigur werden häufig mit Großbuchstaben wie A, B, C bezeichnet. Die passenden Bildpunkte werden mit einem Strich geschrieben: A, B, C.

Bei einer Verschiebung wird jeder Punkt einer Figur gleich weit und in dieselbe Richtung bewegt. Bei einer Drehung wird jeder Punkt einer Figur um ein festes Drehzentrum und um einen bestimmten Drehwinkel bewegt. In beiden Fällen bleiben die Form und die Größe der Figur erhalten. Eine verschobene oder gedrehte Figur ist deshalb zur Ausgangsfigur kongruent.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was eine Verschiebung und eine Drehung ist. Du kannst Bildpunkte und Bildfiguren konstruieren, einfache Bewegungen im Koordinatensystem beschreiben und typische Fehler vermeiden. Außerdem kannst Du begründen, warum bei Verschiebung und Drehung Längen und Winkel erhalten bleiben.

  1. Grundbegriffe der Geometrie: Du unterscheidest Punkt, Strecke, Winkel, Figur, Urfigur und Bildfigur.
  2. Verschiebung: Du verschiebst Figuren mithilfe eines Verschiebungspfeils oder eines Verschiebungsvektors.
  3. Drehung: Du drehst Figuren um ein Drehzentrum mit einem vorgegebenen Drehwinkel.
  4. Koordinatensystem: Du beschreibst einfache Verschiebungen mit Koordinaten.
  5. Kongruenz: Du erkennst, dass Verschiebung und Drehung die Form und Größe einer Figur nicht verändern.


Grundbegriffe


Urfigur und Bildfigur

Die Urfigur ist die Figur vor der Bewegung. Die Bildfigur ist die Figur nach der Bewegung. Wenn der Punkt A zur Urfigur gehört, heißt sein Bildpunkt nach der Bewegung A. Man spricht: „A Strich“. Entsprechend werden B zu B und C zu C.

Ein Dreieck ABC kann zum Beispiel durch eine Verschiebung in ein Dreieck ABC überführt werden. Dabei passt jeder Punkt der Urfigur genau zu einem Bildpunkt.


Kongruente Figuren

Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie dieselbe Form und dieselbe Größe haben. Sie dürfen aber an unterschiedlichen Stellen liegen oder unterschiedlich gedreht sein. Wenn Du eine Figur auf Pauspapier zeichnest, sie verschiebst oder drehst und sie dann genau auf eine andere Figur legen kannst, sind die Figuren kongruent.

Bei Verschiebungen und Drehungen gilt:

Streckenlängen bleiben erhalten.

Winkelgrößen bleiben erhalten.

Die Reihenfolge der Eckpunkte bleibt erhalten.


Verschiebung von Figuren


Was ist eine Verschiebung?

Eine Verschiebung ist eine Bewegung, bei der alle Punkte einer Figur um dieselbe Strecke in dieselbe Richtung bewegt werden. Die Figur wird nicht gedreht, nicht gespiegelt und nicht vergrößert. Man kann sich eine Verschiebung wie das Schieben einer Schablone auf dem Tisch vorstellen.

Eine Verschiebung wird oft durch einen Verschiebungsvektor beschrieben. Ein Verschiebungsvektor gibt an, wie weit und in welche Richtung jeder Punkt bewegt wird.

Tv(P)=P+v

Das bedeutet: Der Punkt P wird durch die Verschiebung mit dem Vektor v zum Bildpunkt P.


Verschiebung im Koordinatensystem

Im Koordinatensystem kann eine Verschiebung besonders genau beschrieben werden. Wenn ein Punkt P(x|y) um a Einheiten nach rechts und um b Einheiten nach oben verschoben wird, entsteht der Bildpunkt

P(x+a|y+b).

Beispiel: Der Punkt A(2|1) wird um 4 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben verschoben.

A(2+4|1+3)=A(6|4)

Wird ein Punkt nach links verschoben, ist die Änderung der x-Koordinate negativ. Wird er nach unten verschoben, ist die Änderung der y-Koordinate negativ.


Konstruktion einer Verschiebung

Um eine Figur zu verschieben, gehst Du schrittweise vor. Du überträgst die Verschiebung auf jeden wichtigen Eckpunkt der Figur. Danach verbindest Du die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie bei der Urfigur.

  1. Verschiebungspfeil: Zeichne den Verschiebungspfeil oder lies ihn aus der Aufgabe ab.
  2. Bildpunkt: Übertrage den Pfeil an jeden Eckpunkt der Figur.
  3. Parallele: Achte darauf, dass alle Verschiebungspfeile parallel und gleich lang sind.
  4. Bildfigur: Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie die Eckpunkte der Urfigur.


Eigenschaften der Verschiebung

Bei jeder Verschiebung bleiben wichtige Eigenschaften gleich. Die Figur verändert nur ihren Ort.

  1. Länge: Jede Strecke bleibt gleich lang.
  2. Winkel: Jeder Winkel bleibt gleich groß.
  3. Parallelität: Parallele Seiten bleiben parallel.
  4. Orientierung: Die Figur bleibt gleich herum ausgerichtet.
  5. Flächeninhalt: Der Flächeninhalt bleibt gleich.


Drehung von Figuren


Was ist eine Drehung?

Eine Drehung ist eine Bewegung um einen festen Punkt. Dieser Punkt heißt Drehzentrum. Der Winkel, um den die Figur gedreht wird, heißt Drehwinkel. Außerdem muss klar sein, ob die Drehung im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn erfolgt.

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Bei einer Drehung bleibt das Drehzentrum an seiner Stelle. Jeder andere Punkt bewegt sich auf einer Kreislinie um das Drehzentrum. Je weiter ein Punkt vom Drehzentrum entfernt ist, desto größer ist der Weg auf dieser Kreislinie. Der Drehwinkel bleibt aber für alle Punkte gleich.


Bestandteile einer Drehung

Für eine eindeutige Drehung brauchst Du drei Angaben:

  1. Drehzentrum: Der feste Punkt, um den gedreht wird.
  2. Drehwinkel: Die Größe des Winkels, zum Beispiel 90, 180 oder 270.
  3. Drehrichtung: Die Richtung der Drehung, also im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn.

Die mathematische Bedingung für einen Punkt P und seinen Bildpunkt P lautet:

|ZP|=|ZP|

PZP=α

Dabei ist Z das Drehzentrum und α der Drehwinkel.


Konstruktion einer Drehung

Um eine Figur zu drehen, drehst Du jeden wichtigen Eckpunkt einzeln. Danach verbindest Du die Bildpunkte in derselben Reihenfolge.

  1. Drehzentrum: Markiere das Drehzentrum Z.
  2. Abstand: Miss den Abstand vom Drehzentrum zum Punkt, zum Beispiel |ZA|.
  3. Drehwinkel: Trage am Drehzentrum den vorgegebenen Winkel in der richtigen Drehrichtung ab.
  4. Kreislinie: Der Bildpunkt A liegt auf der Kreislinie um Z mit dem Radius |ZA|.
  5. Bildfigur: Wiederhole das für alle Eckpunkte und verbinde die Bildpunkte.


Drehungen um besondere Winkel

In Klasse 5 und 6 kommen besonders häufig Drehungen um 90, 180 und 270 vor. Eine Drehung um 180 nennt man auch Punktspiegelung, wenn das Drehzentrum als Spiegelpunkt betrachtet wird. Eine Drehung um 360 bringt die Figur wieder in ihre Ausgangslage zurück.


Verschiebung und Drehung im Vergleich


Gemeinsamkeiten

Verschiebung und Drehung sind Kongruenzabbildungen. Sie verändern die Lage einer Figur, aber nicht ihre Form und nicht ihre Größe. Deshalb kannst Du nach einer Verschiebung oder Drehung prüfen, ob die Seitenlängen und Winkel gleich geblieben sind.

  1. Strecke: Eine Strecke bleibt gleich lang.
  2. Winkel: Ein Winkel bleibt gleich groß.
  3. Flächeninhalt: Der Flächeninhalt bleibt gleich.
  4. Umfang: Der Umfang bleibt gleich.
  5. Kongruenz: Urfigur und Bildfigur sind kongruent.


Unterschiede

Bei einer Verschiebung bewegen sich alle Punkte in dieselbe Richtung und um dieselbe Strecke. Bei einer Drehung bewegen sich die Punkte um ein gemeinsames Drehzentrum. Die einzelnen Punkte legen dabei unterschiedlich lange Wege auf Kreislinien zurück, wenn sie unterschiedlich weit vom Drehzentrum entfernt sind.

Merkmal Verschiebung Drehung
Wichtige Angabe Verschiebungspfeil oder Vektor Drehzentrum, Drehwinkel und Drehrichtung
Bewegung der Punkte Alle Punkte bewegen sich parallel gleich weit. Alle Punkte bewegen sich auf Kreislinien um das Drehzentrum.
Orientierung Die Figur bleibt gleich ausgerichtet. Die Figur wird um einen Winkel gedreht.
Typisches Werkzeug Lineal, Geodreieck, kariertes Papier Zirkel, Lineal, Geodreieck


Arbeiten mit der MediaWiki-Extension Math

In diesem aiMOOC werden mathematische Schreibweisen mit der MediaWiki-Extension Math dargestellt. So können Koordinaten, Winkel und Abbildungsvorschriften übersichtlich notiert werden.

Eine Verschiebung um den Vektor v=(ab) kann so geschrieben werden:

P(x|y)P(x+a|y+b)

Eine Drehung um das Zentrum Z mit dem Winkel α kann so beschrieben werden:

DZ,α(P)=P

Dabei gilt:

|ZP|=|ZP|

PZP=α

Für Klasse 5 und 6 ist besonders wichtig, dass Du die Formeln nicht auswendig aufsagen musst, sondern ihre Bedeutung verstehst: Punkte werden nach einer festen Regel auf Bildpunkte abgebildet.


Typische Fehler und Strategien


Häufige Fehler bei Verschiebungen

Ein häufiger Fehler besteht darin, nur einen Punkt richtig zu verschieben und die übrigen Punkte nach Gefühl zu setzen. Dann wird die Bildfigur oft verzerrt. Ein anderer Fehler ist, den Verschiebungspfeil unterschiedlich lang zu übertragen.

Nutze diese Strategie: Kontrolliere bei jedem Punkt, ob der Pfeil vom Urpunkt zum Bildpunkt gleich lang, parallel und gleich gerichtet ist. Wenn das für alle Eckpunkte stimmt, ist die Verschiebung korrekt.


Häufige Fehler bei Drehungen

Bei Drehungen wird oft die Drehrichtung verwechselt. Außerdem wird manchmal der Abstand vom Drehzentrum zum Bildpunkt nicht eingehalten. Dann liegt der Bildpunkt nicht auf der richtigen Kreislinie.

Nutze diese Strategie: Prüfe zuerst die Richtung, dann den Winkel und zuletzt den Abstand. Für jeden Punkt muss gelten: Abstand zum Drehzentrum gleich, Drehwinkel richtig.


Anwendungen im Alltag

Verschiebungen und Drehungen begegnen Dir in vielen Situationen. Ein Aufzug bewegt sich näherungsweise durch Verschiebung nach oben oder unten. Ein Schachstein wird auf dem Brett verschoben. Ein Uhrzeiger führt eine Drehung um das Zentrum der Uhr aus. Ein Karussell dreht sich um seine Mittelachse. Auch Muster auf Fliesen, Tapeten oder Stoffen nutzen Verschiebungen, Drehungen und manchmal zusätzlich Spiegelungen.

In der Informatik werden Figuren in Computerspielen, Zeichenprogrammen und Animationen verschoben und gedreht. In der Technik sind Drehungen wichtig bei Rädern, Zahnrädern, Robotern und Maschinen. In der Kunst entstehen durch wiederholte Verschiebungen und Drehungen Muster, Ornamente und Mandalas.


Interaktive Aufgaben


Quiz: Teste Dein Wissen

Was geschieht bei einer Verschiebung mit allen Punkten einer Figur? (Sie werden gleich weit in dieselbe Richtung bewegt) (!Sie werden alle um verschiedene Winkel gedreht) (!Sie werden an einer Achse gespiegelt) (!Sie werden vergrößert)




Welche Angabe brauchst Du unbedingt für eine Drehung? (Drehzentrum) (!Verschiebungspfeil) (!Maßstab) (!Spiegelachse)




Was bleibt bei einer Verschiebung erhalten? (Form und Größe der Figur) (!Nur die Lage des linken Eckpunkts) (!Nur die Farbe der Figur) (!Nur die Beschriftung der Figur)




Wie nennt man den Punkt, um den eine Figur gedreht wird? (Drehzentrum) (!Verschiebungsrichtung) (!Bildstrecke) (!Koordinatenursprung in jeder Aufgabe)




Was beschreibt ein Verschiebungsvektor? (Richtung und Länge der Verschiebung) (!Größe eines Drehwinkels) (!Lage einer Spiegelachse) (!Flächeninhalt einer Figur)




Welche Aussage passt zu einer Drehung? (Jeder Punkt bewegt sich auf einer Kreislinie um das Drehzentrum) (!Jeder Punkt bewegt sich parallel gleich weit) (!Jeder Punkt wird auf eine Spiegelachse geklappt) (!Jeder Punkt bekommt neue Seitenlängen)




Was ist die Bildfigur? (Die Figur nach der Bewegung) (!Die Figur vor der Bewegung) (!Nur der erste Eckpunkt einer Figur) (!Nur der Verschiebungspfeil)




Was bedeutet kongruent? (Gleich in Form und Größe) (!Gleich in Farbe und Muster) (!Gleich in Lage und Beschriftung) (!Gleich in Anzahl der Aufgaben)




Wie schreibt man häufig den Bildpunkt zu A? (A Strich) (!A Punkt) (!A Kreis) (!A Linie)




Was ist bei einer Drehung um 360 Grad richtig? (Die Figur liegt wieder in ihrer Ausgangslage) (!Die Figur wird doppelt so groß) (!Die Figur wird gespiegelt) (!Die Figur verschwindet)





Memory

Verschiebung Alle Punkte gleich weit in dieselbe Richtung
Drehung Bewegung um ein festes Zentrum
Drehzentrum Fester Punkt der Drehbewegung
Drehwinkel Winkel der Drehbewegung
Bildpunkt Punkt nach der Transformation
Urfigur Figur vor der Transformation
Kongruenz Gleiche Form und gleiche Größe
Verschiebungsvektor Richtung und Länge einer Verschiebung





Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu. Thema
Verschiebung Bewegung parallel und gleich weit
Drehung Bewegung um ein Zentrum
Drehzentrum Fester Punkt beim Drehen
Drehwinkel Größe der Drehbewegung
Bildfigur Figur nach der Bewegung
Kongruenz Gleiche Form und Größe






Kreuzworträtsel

Translation Fachwort für Verschiebung
Rotation Fachwort für Drehung
Drehzentrum Fester Punkt bei einer Drehung
Drehwinkel Winkel, um den gedreht wird
Vektor Pfeil mit Richtung und Länge
Kongruenz Gleiche Form und gleiche Größe





LearningApps


Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Verschiebung werden alle Punkte einer Figur gleich weit in dieselbe

bewegt. Die ursprüngliche Figur heißt

. Die Figur nach der Bewegung heißt

. Ein Verschiebungsvektor gibt die

und die Richtung der Verschiebung an. Bei einer Drehung braucht man ein

. Außerdem muss der

bekannt sein. Jeder Punkt bewegt sich bei einer Drehung auf einer

um das Zentrum. Verschiebungen und Drehungen verändern die

einer Figur nicht. Deshalb sind Urfigur und Bildfigur

. Im Koordinatensystem kann eine Verschiebung durch Änderungen der

beschrieben werden.




Offene Aufgaben


Leicht

  1. Verschiebung im Heft: Zeichne ein Dreieck auf kariertes Papier und verschiebe es um vier Kästchen nach rechts und zwei Kästchen nach oben. Beschrifte Urpunkte und Bildpunkte.
  2. Drehung entdecken: Suche in Deinem Alltag drei Gegenstände, die sich drehen, und beschreibe jeweils das Drehzentrum.
  3. Bildpunkte zuordnen: Zeichne ein Viereck und seine verschobene Bildfigur. Lass eine andere Person die passenden Punktpaare finden.
  4. Geometrische Sprache: Erkläre in fünf Sätzen den Unterschied zwischen einer Verschiebung und einer Drehung.


Standard

  1. Koordinatenaufgabe: Wähle drei Punkte im Koordinatensystem und verschiebe sie mit dem Vektor (32). Notiere alle Bildpunkte.
  2. Drehkonstruktion: Zeichne ein Dreieck und drehe es um einen Punkt Z um 90 gegen den Uhrzeigersinn.
  3. Fehleranalyse: Erfinde eine falsch verschobene Figur und markiere, woran man den Fehler erkennt.
  4. Muster gestalten: Erstelle ein Muster, in dem dieselbe Figur mehrfach verschoben wird. Beschreibe die verwendete Verschiebung.


Schwer

  1. Kombinierte Bewegung: Verschiebe zuerst ein Dreieck und drehe die Bildfigur anschließend um 90. Vergleiche Anfangsfigur und Endfigur.
  2. Konstruktionsanleitung: Schreibe eine genaue Anleitung, mit der jemand ohne Zeichnung eine Drehung um 180 konstruieren kann.
  3. Ornament untersuchen: Fotografiere oder zeichne ein Ornament und untersuche, ob darin Verschiebungen oder Drehungen vorkommen.
  4. Mathematisches Erklärvideo: Erstelle ein kurzes Lernvideo, in dem Du eine Verschiebung und eine Drehung an einem Beispiel erklärst.



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Lernkontrolle

  1. Begründen statt Rechnen: Erkläre, warum eine verschobene Figur denselben Flächeninhalt wie die Urfigur hat.
  2. Vergleich von Bewegungen: Beschreibe an einem selbst gewählten Beispiel, woran Du erkennst, ob eine Bewegung eine Verschiebung oder eine Drehung ist.
  3. Konstruktionsprüfung: Du siehst eine gedrehte Figur. Entwickle eine Methode, mit der Du prüfen kannst, ob das Drehzentrum korrekt gewählt wurde.
  4. Transfer in den Alltag: Vergleiche die Bewegung eines Aufzugs mit der Bewegung eines Uhrzeigers und nutze dabei die Fachbegriffe Verschiebung, Drehung, Richtung, Zentrum und Winkel.
  5. Koordinaten verstehen: Erkläre, warum bei einer Verschiebung im Koordinatensystem bei allen Punkten dieselbe Änderung der Koordinaten auftritt.
  6. Fehler begründen: Eine Schülerin sagt: „Bei einer Drehung bewegen sich alle Punkte gleich weit.“ Nimm begründet Stellung zu dieser Aussage.


Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis erstellst Du ein kleines Portfolio mit drei Teilen. Zeichne zuerst eine korrekt verschobene Figur mit beschrifteten Urpunkten und Bildpunkten. Konstruiere danach eine Drehung mit Drehzentrum, Drehwinkel und Drehrichtung. Schreibe abschließend eine kurze Erklärung, warum beide Bildfiguren zur jeweiligen Urfigur kongruent sind. Verwende dabei die Fachbegriffe Verschiebung, Drehung, Bildpunkt, Drehzentrum, Drehwinkel und Kongruenz.




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