Zufall Wahrscheinlichkeit und einfache Experimente - aiMOOC

Einleitung

Zufall, Wahrscheinlichkeit und einfache Experimente begegnen Dir im Alltag ständig: Beim Würfeln, beim Münzwurf, beim Ziehen einer Karte, beim Wetterbericht oder bei der Frage, wie wahrscheinlich es ist, dass in der Klasse zwei Kinder im gleichen Monat Geburtstag haben. In diesem aiMOOC lernst Du, wie man zufällige Vorgänge beschreibt, Ergebnisse ordnet, einfache Wahrscheinlichkeiten berechnet und eigene Experimente auswertet.

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, dessen Ausgang Du vorher nicht sicher vorhersagen kannst, obwohl die möglichen Ausgänge bekannt sein können. Wenn Du einen normalen Würfel wirfst, weißt Du vorher nicht, welche Augenzahl oben liegt. Du weißt aber, dass nur die Zahlen 1 bis 6 möglich sind. Die Menge aller möglichen Ergebnisse nennt man Ergebnisraum oder Ergebnismenge. Ein Ereignis ist eine Auswahl aus diesen möglichen Ergebnissen, zum Beispiel „eine gerade Zahl würfeln“.

Die Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie sicher oder unsicher ein Ereignis eintritt. Sie wird als Zahl zwischen $0$ und $1$, als Bruch, als Dezimalzahl oder als Prozentwert angegeben. Eine Wahrscheinlichkeit von $0$ bedeutet, dass ein Ereignis unmöglich ist. Eine Wahrscheinlichkeit von $1$ bedeutet, dass ein Ereignis sicher eintritt. Bei einem fairen Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ $\frac{1}{2}$, also $\mathrm{0,5}$ oder $50\mathrm{\%}$.

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Grundbegriffe

Zufall und Zufallsexperiment

Ein Zufallsexperiment hat drei wichtige Merkmale: Es wird nach einer klaren Regel durchgeführt, es kann grundsätzlich wiederholt werden und sein Ergebnis steht vorher nicht sicher fest. Ein Münzwurf, ein Würfelwurf oder das Ziehen einer Kugel aus einem verdeckten Beutel sind typische Beispiele.

Beim Münzwurf gibt es zwei mögliche Ergebnisse: Kopf und Zahl. Beim Würfelwurf gibt es sechs mögliche Ergebnisse: $1,2,3,4,5,6$. Beim Ziehen einer Kugel aus einem Beutel hängt der Ergebnisraum davon ab, welche Kugeln im Beutel liegen und ob die Kugeln unterscheidbar sind.

Nicht jedes Experiment ist ein Zufallsexperiment. Wenn Du eine festgelegte Rechenaufgabe wie $7+5$ löst, ist das Ergebnis nicht zufällig. Wenn Du aber eine Münze wirfst, hängt das Ergebnis von vielen kleinen Einflüssen ab, die Du im Alltag nicht genau kontrollieren kannst.

Ergebnis und Ergebnisraum

Ein Ergebnis ist ein einzelner möglicher Ausgang eines Zufallsexperiments. Der Ergebnisraum enthält alle Ergebnisse, die auftreten können. In der Mathematik wird der Ergebnisraum häufig mit dem griechischen Buchstaben $\Omega$ bezeichnet.

Beim einmaligen Würfeln gilt:

$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$

Das Ergebnis $4$ ist ein einzelnes Element dieses Ergebnisraums. Wenn Du mit einer Münze wirfst, kann der Ergebnisraum so geschrieben werden:

$\Omega =\{\text{Kopf},\text{Zahl}\}$

Beim zweimaligen Münzwurf ist der Ergebnisraum größer, weil die Reihenfolge wichtig sein kann:

$\Omega =\{\text{KK},\text{KZ},\text{ZK},\text{ZZ}\}$

Dabei bedeutet $\text{KZ}$: zuerst Kopf, dann Zahl.

Ereignis und Gegenereignis

Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraums. Es kann aus einem oder mehreren Ergebnissen bestehen. Beim Würfeln ist das Ereignis „eine gerade Zahl würfeln“ die Menge:

$A=\{2,4,6\}$

Das Ereignis „eine Zahl größer als 4 würfeln“ ist:

$B=\{5,6\}$

Das Gegenereignis enthält alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören. Wenn $A$ das Ereignis „gerade Zahl“ ist, dann ist das Gegenereignis „keine gerade Zahl“, also:

$\bar{A}=\{1,3,5\}$

Das Gegenereignis hilft Dir, Wahrscheinlichkeiten zu verstehen. Wenn ein Ereignis selten ist, ist sein Gegenereignis oft sehr wahrscheinlich. Wenn Du zum Beispiel mit einem normalen Würfel keine 6 würfeln möchtest, ist das Gegenereignis zur 6 die Menge $\{1,2,3,4,5\}$.

Wahrscheinlichkeit als Zahl, Bruch und Prozentwert

Eine Wahrscheinlichkeit gibt an, wie groß die Chance für ein Ereignis ist. Sie liegt immer zwischen $0$ und $1$:

$0\le P(A)\le 1$

Dabei steht $P(A)$ für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$. In Klasse 5 und 6 arbeitest Du häufig mit Brüchen, Dezimalzahlen und Prozenten:

$\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}=50\mathrm{\%}$

$\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}=25\mathrm{\%}$

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}=75\mathrm{\%}$

Ein unmögliches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit $0$. Beim normalen Würfelwurf ist „eine 9 würfeln“ unmöglich. Ein sicheres Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit $1$. Beim normalen Würfelwurf ist „eine Zahl von 1 bis 6 würfeln“ sicher.

Die Laplace-Regel

Wann darfst Du die Laplace-Regel verwenden?

Die Laplace-Regel gilt, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Das ist bei einem fairen Würfel, einer fairen Münze oder einem Glücksrad mit gleich großen Feldern der Fall. Dann berechnest Du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses so:

$P(A)=\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

Kurz geschrieben:

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}$

Dabei bedeutet $|A|$: Anzahl der Ergebnisse im Ereignis $A$. $|\Omega |$ bedeutet: Anzahl aller möglichen Ergebnisse im Ergebnisraum.

Beispiel: Gerade Zahl würfeln

Beim Würfeln ist der Ergebnisraum:

$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$

Das Ereignis „gerade Zahl“ ist:

$A=\{2,4,6\}$

Es gibt 3 günstige Ergebnisse und 6 mögliche Ergebnisse. Daher gilt:

$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\mathrm{\%}$

Beispiel: Eine 6 würfeln

Das Ereignis „eine 6 würfeln“ enthält nur ein günstiges Ergebnis:

$B=\{6\}$

Also gilt:

$P(B)=\frac{1}{6}$

Das bedeutet nicht, dass bei 6 Würfen sicher einmal eine 6 kommt. Es bedeutet: Bei sehr vielen Würfen nähert sich die relative Häufigkeit der 6 ungefähr dem Wert $\frac{1}{6}$ an, wenn der Würfel fair ist.

Absolute und relative Häufigkeit

Absolute Häufigkeit

Die absolute Häufigkeit zählt, wie oft ein bestimmtes Ergebnis tatsächlich vorkommt. Wenn Du 20-mal würfelst und dabei 4-mal eine 6 erhältst, ist die absolute Häufigkeit der 6 gleich 4.

Eine Tabelle könnte so aussehen:

Augenzahl	Absolute Häufigkeit
1	3
2	2
3	4
4	3
5	4
6	4

Die Summe aller absoluten Häufigkeiten ist die Anzahl aller Durchführungen. In diesem Beispiel wurden insgesamt 20 Würfe durchgeführt.

Relative Häufigkeit

Die relative Häufigkeit beschreibt den Anteil eines Ergebnisses an allen Durchführungen. Sie wird so berechnet:

$\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl aller Versuche}}$

Für die 6 im Beispiel gilt:

$\frac{4}{20}=\frac{1}{5}=\mathrm{0,2}=20\mathrm{\%}$

Die relative Häufigkeit ist ein Beobachtungswert aus einem echten Experiment. Die Wahrscheinlichkeit ist ein Modellwert, den Du vor dem Experiment berechnen kannst, wenn das Modell passt.

Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist eine Vorhersage auf Grundlage eines mathematischen Modells. Die relative Häufigkeit ist ein Ergebnis aus Daten. Bei wenigen Versuchen können relative Häufigkeiten stark schwanken. Bei sehr vielen Wiederholungen können sie sich einer passenden Wahrscheinlichkeit annähern.

Beispiel: Bei 10 Münzwürfen kann Kopf 7-mal auftreten. Die relative Häufigkeit ist dann $\frac{7}{10}=70\mathrm{\%}$. Die theoretische Wahrscheinlichkeit für Kopf bleibt trotzdem $\frac{1}{2}=50\mathrm{\%}$, wenn die Münze fair ist.

Einfache Experimente im Unterricht

Experiment 1: Münzwurf

Für ein einfaches Münzwurf-Experiment brauchst Du eine Münze, eine Strichliste und eine Tabelle. Wirf die Münze 20-mal und notiere jedes Ergebnis. Danach berechnest Du für Kopf und Zahl die absoluten und relativen Häufigkeiten.

Ergebnis	Strichliste	Absolute Häufigkeit	Relative Häufigkeit
Kopf
Zahl

Vergleiche anschließend Deine Ergebnisse mit anderen Gruppen. Diskutiert, warum nicht jede Gruppe genau 10-mal Kopf und 10-mal Zahl erhält.

Experiment 2: Würfelwurf

Wirf einen fairen Würfel 60-mal. Notiere jede Augenzahl. Die theoretische Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Augenzahl beträgt:

$P(\text{eine bestimmte Augenzahl})=\frac{1}{6}$

Bei 60 Würfen würdest Du im Modell ungefähr 10-mal jede Augenzahl erwarten. In einem echten Experiment kann es aber Abweichungen geben. Genau diese Abweichungen machen Zufallsexperimente interessant.

Experiment 3: Kugeln aus einem Beutel ziehen

Lege zum Beispiel 3 rote, 2 blaue und 1 gelbe Kugel in einen undurchsichtigen Beutel. Ziehe eine Kugel, notiere die Farbe und lege sie zurück. Wiederhole den Versuch 30-mal.

Wenn die Kugeln nach jedem Zug zurückgelegt werden, bleibt die Zusammensetzung im Beutel gleich. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für Rot bei jedem Zug:

$P(\text{Rot})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Wenn Du die Kugel nicht zurücklegst, verändert sich die Zusammensetzung nach jedem Zug. Dann ändern sich auch die Wahrscheinlichkeiten. Das ist ein wichtiger Unterschied zwischen Ziehen mit Zurücklegen und Ziehen ohne Zurücklegen.

Experiment 4: Glücksrad

Ein Glücksrad ist besonders gut geeignet, um Wahrscheinlichkeiten zu veranschaulichen. Wenn alle Felder gleich groß sind, kannst Du die Laplace-Regel verwenden. Wenn ein Feld doppelt so groß ist wie ein anderes, ist es auch doppelt so wahrscheinlich, dass der Zeiger dort stehen bleibt.

Beispiel: Ein Glücksrad hat 4 gleich große Felder: Rot, Blau, Grün und Gelb. Dann gilt:

$P(\text{Rot})=\frac{1}{4}=25\mathrm{\%}$

Wenn Rot aber die Hälfte des Glücksrads einnimmt, gilt:

$P(\text{Rot})=\frac{1}{2}=50\mathrm{\%}$

Darstellen und Auswerten

Tabellen

Tabellen helfen Dir, Ergebnisse übersichtlich zu sammeln. Eine gute Tabelle enthält klare Überschriften, Einheiten und vollständige Angaben. Bei Zufallsexperimenten sind besonders diese Spalten nützlich: Ergebnis, absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit und Prozentwert.

Diagramme

Diagramme zeigen schnell, welche Ergebnisse häufig oder selten auftreten. Für einfache Zufallsexperimente eignen sich vor allem Säulendiagramme. Jede Säule zeigt eine Augenzahl, Farbe oder Kategorie. Die Höhe der Säule zeigt, wie oft das Ergebnis vorkam.

Baumdiagramme als Ordnungshilfe

Ein Baumdiagramm ordnet mehrstufige Zufallsexperimente. Beim zweimaligen Münzwurf verzweigt sich der Baum zuerst in Kopf und Zahl. Von jedem dieser Äste gehen wieder Kopf und Zahl ab. So entstehen vier Pfade: Kopf-Kopf, Kopf-Zahl, Zahl-Kopf und Zahl-Zahl.

Bei einfachen zweistufigen Experimenten hilft ein Baumdiagramm, kein Ergebnis zu vergessen. In Klasse 5 und 6 geht es dabei vor allem um das strukturierte Aufschreiben, Vergleichen und Zählen.

Häufige Denkfehler

Der Ausgleichsfehler

Ein häufiger Denkfehler ist die Vorstellung, der Zufall müsse sich sofort ausgleichen. Wenn Du dreimal hintereinander Kopf geworfen hast, ist Zahl beim nächsten Wurf nicht automatisch wahrscheinlicher. Bei einer fairen Münze gilt für jeden neuen Wurf:

$P(\text{Kopf})=\frac{1}{2}$

und

$P(\text{Zahl})=\frac{1}{2}$

Die Münze „merkt“ sich frühere Würfe nicht.

Kleine Versuchszahlen täuschen

Bei wenigen Wiederholungen können Ergebnisse sehr ungleich verteilt sein. Wenn Du nur sechsmal würfelst, kann es passieren, dass keine 6 vorkommt oder gleich drei 6en auftreten. Das widerspricht nicht der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$. Wahrscheinlichkeiten zeigen sich zuverlässiger, wenn ein Experiment sehr oft wiederholt wird.

Fair heißt nicht gleichmäßig in jedem kleinen Versuch

Ein fairer Würfel bedeutet, dass jede Seite im Modell gleich wahrscheinlich ist. Es bedeutet nicht, dass bei 6 Würfen jede Zahl genau einmal auftreten muss. Die Gleichverteilung beschreibt eine langfristige Erwartung, nicht jedes kurze Experiment.

Merksätze

1. Zufallsexperiment: Ein Zufallsexperiment ist ein wiederholbarer Versuch, dessen Ergebnis vorher nicht sicher feststeht.
2. Ergebnisraum: Der Ergebnisraum enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
3. Ereignis: Ein Ereignis ist eine Auswahl von Ergebnissen aus dem Ergebnisraum.
4. Wahrscheinlichkeit: Eine Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $0$ und $1$.
5. Laplace-Experiment: Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen gilt $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}$.
6. Relative Häufigkeit: Die relative Häufigkeit ist der Anteil eines Ergebnisses an allen durchgeführten Versuchen.
7. Stochastik: Die Stochastik ist der mathematische Bereich, der sich mit Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit beschäftigt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist ein Zufallsexperiment? (Ein wiederholbarer Versuch mit nicht sicher vorhersagbarem Ausgang) (!Eine Rechnung mit immer demselben Ergebnis) (!Eine Zeichnung ohne mathematische Bedeutung) (!Eine Messung, bei der alle Werte verboten sind)

Wie heißt die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments? (Ergebnisraum) (!Gegenprobe) (!Rechenweg) (!Zufallszahl)

Welche Wahrscheinlichkeit hat ein unmögliches Ereignis? (0) (!1) (!50 Prozent) (!100 Prozent)

Welche Wahrscheinlichkeit hat ein sicheres Ereignis? (1) (!0) (!Ein Sechstel) (!Ein Viertel)

Welche Ergebnisse gehören beim Würfeln zum Ereignis gerade Zahl? (2 4 6) (!1 3 5) (!1 2 3) (!4 5 6)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen Würfel eine 6 zu würfeln? (Ein Sechstel) (!Ein Zweitel) (!Ein Drittel) (!Fünf Sechstel)

Wann darfst Du die Laplace-Regel verwenden? (Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind) (!Wenn nur ein Ergebnis möglich ist) (!Wenn die Ergebnisse vorher feststehen) (!Wenn keine Ergebnisse bekannt sind)

Was beschreibt die absolute Häufigkeit? (Wie oft ein Ergebnis tatsächlich vorkommt) (!Den Anteil eines Ergebnisses als Bruch) (!Die sichere Vorhersage des nächsten Ergebnisses) (!Die Größe eines Würfels)

Was beschreibt die relative Häufigkeit? (Den Anteil eines Ergebnisses an allen Versuchen) (!Die Farbe eines Ergebnisses) (!Die Anzahl aller möglichen Würfel) (!Den Namen eines Experiments)

Was ist das Gegenereignis zu eine 6 würfeln? (Keine 6 würfeln) (!Immer eine 6 würfeln) (!Eine Zahl größer als 6 würfeln) (!Eine Münze werfen)

Memory

Zufallsexperiment	Ausgang vorher nicht sicher
Ergebnisraum	Menge aller möglichen Ergebnisse
Ereignis	Auswahl passender Ergebnisse
Laplace-Regel	günstige durch mögliche Ergebnisse
Relative Häufigkeit	Anteil nach der Durchführung
Gegenereignis	alles was nicht zum Ereignis gehört

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Münzwurf	zwei mögliche Seiten
Würfelwurf	sechs mögliche Augenzahlen
Glücksrad	Felder mit Flächenanteilen
Kugelziehen	Farben oder Kugeln aus einem Beutel
Baumdiagramm	mehrstufige Ergebnisse ordnen
Strichliste	Beobachtungen übersichtlich zählen

Kreuzworträtsel

Zufall	Was wirkt bei einem nicht sicher vorhersagbaren Ausgang mit?
Würfel	Welcher Gegenstand hat im Schulmodell meist sechs gleich wahrscheinliche Seiten?
Ereignis	Wie nennt man eine Auswahl von Ergebnissen aus dem Ergebnisraum?
Laplace	Nach welcher Regel rechnest Du günstige durch mögliche Ergebnisse?
Häufigkeit	Welcher Begriff beschreibt, wie oft ein Ergebnis vorkommt?
Ergebnisraum	Wie heißt die Menge aller möglichen Ergebnisse?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, dessen Ausgang vom abhängt. Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt . Ein Ereignis ist eine Auswahl aus dem . Beim fairen Würfel sind alle sechs Augenzahlen . Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Augenzahl beträgt . Die absolute Häufigkeit zählt, wie oft ein Ergebnis . Die relative Häufigkeit beschreibt den Anteil eines Ergebnisses an allen . Bei sehr vielen Wiederholungen kann sich die relative Häufigkeit einer passenden annähern.

}

Offene Aufgaben

Leicht

1. Münzwurf: Wirf eine Münze 20-mal, erstelle eine Strichliste und berechne die relative Häufigkeit für Kopf und Zahl.
2. Würfel: Notiere den Ergebnisraum eines normalen Würfels und finde drei verschiedene Ereignisse, zum Beispiel gerade Zahl oder größer als 3.
3. Alltagszufall: Sammle fünf Situationen aus Deinem Alltag, in denen Zufall eine Rolle spielt, und erkläre kurz, warum das Ergebnis nicht sicher vorhersagbar ist.
4. Prozentrechnung: Wandle die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{4}$ in Prozentwerte um.

Standard

1. Würfelexperiment: Wirf einen Würfel 60-mal, erstelle eine Tabelle mit absoluten und relativen Häufigkeiten und vergleiche Deine Daten mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit.
2. Glücksrad: Zeichne ein Glücksrad mit vier Feldern, bei dem Rot die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ hat, und begründe Deine Zeichnung.
3. Kugelziehen: Erfinde ein Beutel-Experiment mit mindestens drei Farben und berechne die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe beim Ziehen mit Zurücklegen.
4. Baumdiagramm: Zeichne ein Baumdiagramm für zwei Münzwürfe und markiere das Ereignis genau einmal Kopf.

Schwer

1. Experimentvergleich: Vergleiche die Ergebnisse von mindestens drei Gruppen beim Münzwurf und erkläre, warum die relativen Häufigkeiten unterschiedlich sein können.
2. Modellkritik: Prüfe, ob ein selbst gebautes Glücksrad fair ist, indem Du es mindestens 50-mal drehst und Deine Daten auswertest.
3. Gegenereignis: Löse mehrere Aufgaben mithilfe des Gegenereignisses, zum Beispiel mindestens eine 6 bei zwei Würfen, und erkläre Deinen Lösungsweg.
4. Zufallsprojekt: Plane ein eigenes Zufallsexperiment, formuliere eine Vermutung, führe es durch, werte die Daten aus und präsentiere Deine Ergebnisse mit Tabelle und Diagramm.

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Lernkontrolle

1. Transferaufgabe Würfel: Ein Kind behauptet, nach fünf Würfen ohne 6 müsse beim nächsten Wurf sicher eine 6 kommen. Erkläre, warum diese Aussage falsch ist.
2. Experiment auswerten: In einer Klasse wird eine Münze 100-mal geworfen. Kopf tritt 58-mal auf. Beurteile, ob dieses Ergebnis beweist, dass die Münze unfair ist.
3. Glücksrad beurteilen: Zwei Glücksräder haben beide vier Farben. Beim ersten sind alle Felder gleich groß, beim zweiten ist Rot doppelt so groß wie Blau. Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten.
4. Beutelmodell entwickeln: Erstelle ein Beutelmodell, bei dem Rot die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$, Blau die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$ und Gelb die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ hat.
5. Daten und Modell: Erkläre den Unterschied zwischen einer berechneten Wahrscheinlichkeit und einer gemessenen relativen Häufigkeit an einem selbst gewählten Beispiel.
6. Darstellung wechseln: Übersetze die Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{8}$ in eine Dezimalzahl, einen Prozentwert und eine passende Alltagssituation.
7. Entscheidung begründen: Wähle für ein zweistufiges Zufallsexperiment eine geeignete Darstellung, zum Beispiel Tabelle oder Baumdiagramm, und begründe Deine Wahl.

Lernnachweis

Für den Lernnachweis gestaltest Du eine kurze Forscherseite zum Thema Zufallsexperiment. Deine Forscherseite enthält eine klare Fragestellung, eine Beschreibung des Experiments, eine Tabelle mit absoluten Häufigkeiten, eine Berechnung relativer Häufigkeiten und einen Vergleich mit einer passenden theoretischen Wahrscheinlichkeit. Abschließend erklärst Du, was Du aus den Daten gelernt hast und wo Zufallsergebnisse im Alltag falsch eingeschätzt werden können.

Links

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Zusammenfassung

Zufall bedeutet, dass ein Ergebnis vorher nicht sicher feststeht. In der Mathematik untersuchst Du Zufall mit klar beschriebenen Zufallsexperimenten. Der Ergebnisraum enthält alle möglichen Ergebnisse. Ein Ereignis ist eine Auswahl daraus. Mit der Laplace-Regel berechnest Du Wahrscheinlichkeiten, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Mit absoluten Häufigkeiten und relativen Häufigkeiten wertest Du echte Experimente aus. So lernst Du, Daten und Modelle zu unterscheiden und Zufallsaussagen kritisch zu prüfen.

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Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026

Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

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