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Gemischte Zahlen und unechte Brüche - aiMOOC

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Gemischte Zahlen und unechte Brüche - aiMOOC




Einleitung

Gemischte Zahlen und unechte Brüche gehören zur Bruchrechnung und helfen Dir, Anteile, Ganze und Reste sicher zu beschreiben. Du begegnest ihnen zum Beispiel beim Teilen von Pizza, Kuchen, Schokolade, Messbechern, Strecken oder Geldbeträgen. Eine gemischte Zahl verbindet eine ganze Zahl mit einem echten Bruch, zum Beispiel 213. Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler mindestens so groß ist wie der Nenner, zum Beispiel 73. Beide Schreibweisen können denselben Wert darstellen: 213=73.

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du gemischte Zahlen und unechte Brüche erkennst, umwandelst, am Zahlenstrahl einordnest, mit Bildern deutest und in Sachaufgaben verwendest. Die Formeln sind mit der MediaWiki-Extension Math geschrieben, damit mathematische Ausdrücke klar dargestellt werden.


Grundidee: Ganze und Teile

Ein Bruch beschreibt, wie viele gleich große Teile eines Ganzen betrachtet werden. In 34 ist die Zahl 3 der Zähler und die Zahl 4 der Nenner. Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird. Der Zähler sagt, wie viele dieser Teile gemeint sind.

Bei gemischten Zahlen und unechten Brüchen geht es besonders darum, dass mehr als ein Ganzes vorkommen kann. Wenn Du zum Beispiel sieben Drittel hast, dann kannst Du daraus zwei ganze Drittelgruppen und ein weiteres Drittel bilden:

73=33+33+13=2+13=213

Die Schreibweisen 73 und 213 sind gleichwertig. Sie sehen unterschiedlich aus, beschreiben aber dieselbe Zahl.


Bruch, Zähler und Nenner

Ein gemeiner Bruch wird in der Form ZN geschrieben. Dabei steht Z für den Zähler und N für den Nenner. Der Nenner darf niemals 0 sein, denn durch 0 kann man nicht teilen. Ein Bruch kann auch als Division verstanden werden:

ZN=Z:N

Beispiel: 84=8:4=2. Dieser Bruch sieht wie ein Bruch aus, hat aber den Wert einer ganzen Zahl.


Echte und unechte Brüche

Ein echter Bruch ist bei positiven Brüchen kleiner als ein Ganzes. Der Zähler ist kleiner als der Nenner:

25<1, denn 2<5.

Ein unechter Bruch ist mindestens ein Ganzes groß. Bei positiven Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner oder gleich groß wie der Nenner:

55=1

75>1

Ein unechter Bruch kann also genau eine ganze Zahl ergeben, zum Beispiel 123=4, oder eine Zahl mit einem Restanteil beschreiben, zum Beispiel 135=235.


Gemischte Zahlen

Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch. Die Schreibweise 327 bedeutet in der Bruchrechnung:

327=3+27

Sie bedeutet nicht 327. Das ist wichtig, weil das fehlende Pluszeichen leicht übersehen wird. Bei Zahlen in gemischter Schreibweise denkt man das Plus mit.

Beispiele:

112=1+12

438=4+38

056=56, wobei man hier normalerweise einfach 56 schreibt.


Umwandlung: Gemischte Zahl in unechten Bruch

Um eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln, gehst Du in drei Schritten vor:

  1. Ganze Zahl: Multipliziere die ganze Zahl mit dem Nenner.
  2. Zähler: Addiere den Zähler des Bruchteils.
  3. Nenner: Schreibe das Ergebnis über denselben Nenner.

Als Formel:

abc=ac+bc

Dabei ist a die ganze Zahl, b der Zähler des Bruchteils und c der Nenner.


Beispiel 1: Von 213 zu 73

213=23+13

23=6

6+1=7

213=73

Du kannst Dir vorstellen: Zwei Ganze bestehen bei Dritteln aus 6 Dritteln. Dazu kommt noch 1 Drittel. Insgesamt sind es 7 Drittel.


Beispiel 2: Von 435 zu 235

435=45+35

45=20

20+3=23

435=235

Der Nenner bleibt gleich, weil die Größe der Teile gleich bleibt: Es geht weiterhin um Fünftel.

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Umwandlung: Unechter Bruch in gemischte Zahl

Um einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, teilst Du den Zähler durch den Nenner. Die ganze Zahl ist das Ergebnis der Division ohne Rest. Der Rest wird zum neuen Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

Als Schema:

ZN=GRN

Dabei ist Z der Zähler, N der Nenner, G die ganze Zahl und R der Rest.


Beispiel 1: Von 114 zu 234

Teile 11 durch 4:

11:4=2 Rest 3

Also gilt:

114=234

Denn zwei Ganze sind 84, und es bleiben 34 übrig:

114=84+34=2+34


Beispiel 2: Von 175 zu 325

17:5=3 Rest 2

Also:

175=325

Prüfung durch Rückumwandlung:

325=35+25=175


Sonderfall: Kein Rest

Wenn bei der Division kein Rest bleibt, entsteht keine gemischte Zahl mit Bruchteil, sondern eine ganze Zahl.

Beispiel:

186=18:6=3

Man schreibt also 3, nicht 306.

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Darstellungen und Bedeutungen


Darstellung mit Bildern

Bilder helfen, Brüche als Anteile zu verstehen. Wenn ein Ganzes in gleich große Stücke geteilt ist, kann man zählen, wie viele Stücke vorhanden sind. Bei einem unechten Bruch sind es so viele Stücke, dass mindestens ein Ganzes voll wird. Bei 94 hast Du neun Viertel. Vier Viertel ergeben ein Ganzes, weitere vier Viertel ergeben ein zweites Ganzes, und ein Viertel bleibt übrig:

94=214


Darstellung am Zahlenstrahl

Am Zahlenstrahl kannst Du sehen, wo ein Bruch liegt. Der Bruch 73 liegt zwischen 2 und 3, weil 63=2 und 93=3. Genauer liegt er ein Drittel nach der 2:

73=213

Diese Darstellung ist besonders nützlich, wenn Du Größen vergleichen willst. Zum Beispiel ist 213 kleiner als 223, weil beide zwischen 2 und 3 liegen, aber 13 kleiner ist als 23.


Darstellung in Sachaufgaben

In Sachaufgaben musst Du oft entscheiden, welche Schreibweise günstiger ist. Eine gemischte Zahl ist anschaulich, wenn Du erzählen möchtest, wie viele Ganze und welcher Rest vorhanden sind. Ein unechter Bruch ist oft praktisch, wenn Du rechnen möchtest.

Beispiel: Du hast 312 Liter Saft und möchtest alles in halbe Liter einteilen. Dann ist die Umwandlung hilfreich:

312=32+12=72

Das bedeutet: Es sind sieben halbe Liter.


Typische Fehler und Strategien


Fehler 1: Den Nenner verändern

Beim Umwandeln einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch bleibt der Nenner gleich. Aus 235 wird nicht 1310, sondern:

235=25+35=135

Der Nenner bleibt 5, weil weiterhin Fünftel gezählt werden.


Fehler 2: Nur die ganze Zahl und den Zähler addieren

Aus 327 wird nicht 57. Die ganze Zahl muss zuerst in Siebtel umgewandelt werden:

3=217

327=217+27=237


Fehler 3: Den Rest vergessen

Beim Umwandeln von 196 darfst Du nicht nur 3 schreiben, denn 63=18. Es bleibt 1 übrig:

19:6=3 Rest 1

196=316


Strategie: Rückwärts prüfen

Du kannst jede Umwandlung prüfen, indem Du sie rückwärts rechnest. Wenn Du aus 145 die gemischte Zahl 245 gemacht hast, prüfst Du:

245=25+45=145

Da wieder der ursprüngliche Bruch entsteht, ist die Umwandlung richtig.


Rechenregeln kompakt

Situation Vorgehen Beispiel
Gemischte Zahl in unechten Bruch Ganze Zahl mit Nenner multiplizieren, Zähler addieren, Nenner beibehalten 325=35+25=175
Unechter Bruch in gemischte Zahl Zähler durch Nenner teilen, Rest als Zähler verwenden, Nenner beibehalten 175=325
Unechter Bruch ohne Rest Zähler durch Nenner teilen und ganze Zahl schreiben 204=5
Wert prüfen Umwandlung rückwärts rechnen 413=133


Übungsbeispiele mit Lösungen


Gemischte Zahlen in unechte Brüche

  1. Beispiel: 123=13+23=53
  2. Beispiel: 514=54+14=214
  3. Beispiel: 256=26+56=176
  4. Beispiel: 738=78+38=598


Unechte Brüche in gemischte Zahlen

  1. Beispiel: 83=223, denn 8:3=2 Rest 2
  2. Beispiel: 154=334, denn 15:4=3 Rest 3
  3. Beispiel: 227=317, denn 22:7=3 Rest 1
  4. Beispiel: 306=5, denn 30:6=5 ohne Rest


Interaktive Aufgaben


Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Nenner eines Bruches? (In wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt ist) (!Wie viele Ganze vorhanden sind) (!Wie oft man den Bruch kürzt) (!Welche Zahl immer größer sein muss)




Wann heißt ein positiver Bruch unechter Bruch? (Wenn der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist) (!Wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist) (!Wenn der Nenner gleich null ist) (!Wenn der Bruch keine ganze Zahl enthält)




Was bedeutet die Schreibweise 2 1 durch 3 als gemischte Zahl? (2 plus 1 durch 3) (!2 mal 1 durch 3) (!2 minus 1 durch 3) (!2 geteilt durch 1 durch 3)




Welcher unechte Bruch gehört zu 2 3 durch 5? (13 durch 5) (!5 durch 13) (!10 durch 5) (!6 durch 5)




Welche gemischte Zahl gehört zu 17 durch 4? (4 1 durch 4) (!3 5 durch 4) (!4 4 durch 1) (!1 4 durch 4)




Was passiert, wenn bei der Umwandlung eines unechten Bruches kein Rest bleibt? (Man schreibt eine ganze Zahl) (!Man schreibt immer einen Bruch mit Rest) (!Man verändert den Nenner) (!Man vertauscht Zähler und Nenner)




Was bleibt beim Umwandeln von 3 2 durch 7 in einen unechten Bruch gleich? (Der Nenner) (!Die ganze Zahl) (!Der neue Zähler) (!Der Rest)




Welche Formel passt zur Umwandlung einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch? (Ganze Zahl mal Nenner plus Zähler durch Nenner) (!Ganze Zahl plus Nenner mal Zähler durch Zähler) (!Zähler mal Nenner minus ganze Zahl durch Nenner) (!Nenner durch Zähler plus ganze Zahl durch Nenner)




Wo liegt 7 durch 3 auf dem Zahlenstrahl? (Zwischen 2 und 3) (!Zwischen 0 und 1) (!Genau bei 1) (!Zwischen 3 und 4)




Welche Aussage ist richtig? (Ein unechter Bruch kann als gemischte Zahl geschrieben werden) (!Jeder echte Bruch ist größer als 1) (!Der Nenner darf 0 sein) (!Eine gemischte Zahl ist immer kleiner als 1)





Memory

Zähler Anzahl der ausgewählten Teile
Nenner Anzahl gleich großer Teile eines Ganzen
Gemischte Zahl Ganze Zahl mit echtem Bruch
Unechter Bruch Zähler ist mindestens so groß wie der Nenner
Rest Neuer Zähler beim Umwandeln
Rückprobe Kontrolle durch Rückumwandlung





Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu. Thema
Zähler gezählte Teile
Nenner gleich große Teile eines Ganzen
Gemischte Zahl ganze Zahl mit Bruchteil
Unechter Bruch mindestens ein Ganzes
Rest verbleibender Teil nach der Division





Kreuzworträtsel

Zaehler Wie heißt die Zahl oberhalb des Bruchstrichs?
Nenner Wie heißt die Zahl unterhalb des Bruchstrichs?
Bruchstrich Welches Zeichen trennt Zähler und Nenner?
Division Welche Rechenart steckt in einem Bruch?
Rest Was bleibt beim Teilen übrig, wenn die Division nicht aufgeht?
Scheinbruch Wie heißt ein unechter Bruch, der eine ganze Zahl ergibt?





LearningApps


Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Bruch besteht aus Zähler, Bruchstrich und

. Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wird. Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer oder gleich dem

. Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem

. Um eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln, multiplizierst Du die ganze Zahl mit dem Nenner und addierst den

. Beim Umwandeln eines unechten Bruches in eine gemischte Zahl teilst Du den Zähler durch den Nenner und verwendest den

als neuen Zähler. Der Nenner bleibt bei beiden Umwandlungsrichtungen

. Eine Rückprobe hilft Dir, die Umwandlung zu

.




Offene Aufgaben


Leicht

  1. Bruchbild: Zeichne drei Bilder zu den Brüchen 54, 73 und 95 und schreibe jeweils die passende gemischte Zahl dazu.
  2. Bruchkarten: Erstelle Kartenpaare, bei denen auf einer Karte ein unechter Bruch und auf der anderen Karte die passende gemischte Zahl steht.
  3. Alltagsbruch: Suche zu Hause drei Situationen, in denen mehr als ein Ganzes und ein Rest vorkommen, und beschreibe sie als gemischte Zahl.
  4. Zahlenstrahl: Zeichne einen Zahlenstrahl von 0 bis 4 und markiere 52, 73 und 314.


Standard

  1. Rechenweg erklären: Erkläre schriftlich an zwei Beispielen, warum beim Umwandeln einer gemischten Zahl der Nenner gleich bleibt.
  2. Fehler finden: Erfinde fünf falsche Umwandlungen und schreibe jeweils eine Erklärung, worin der Fehler besteht.
  3. Sachaufgabe: Schreibe eine eigene Sachaufgabe zu Pizza, Saft oder Stofflängen, in der ein unechter Bruch in eine gemischte Zahl umgewandelt werden muss.
  4. Partnerinterview: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler, wie sie oder er 194 umwandelt, und vergleiche den Lösungsweg mit Deinem eigenen.


Schwer

  1. Erklärvideo: Plane ein kurzes Lernvideo, in dem Du beide Umwandlungsrichtungen mit Bildern, Zahlen und Formeln erklärst.
  2. Mathematischer Beweis: Begründe allgemein mit abc, warum die Formel abc=ac+bc funktioniert.
  3. Forscherauftrag: Untersuche, welche unechten Brüche mit dem Nenner 6 zwischen 2 und 5 liegen, und ordne sie als gemischte Zahlen.
  4. Lernplakat: Gestalte ein Plakat mit Definitionen, Beispielen, typischen Fehlern und einer Rückprobe zu gemischten Zahlen und unechten Brüchen.



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Lernkontrolle

  1. Darstellungen vergleichen: Erkläre, warum 134, 314 und eine Zeichnung mit drei Ganzen und einem Viertel denselben Wert beschreiben.
  2. Fehleranalyse: Eine Schülerin schreibt 425=65. Erkläre den Denkfehler und verbessere die Lösung mit einem vollständigen Rechenweg.
  3. Sachzusammenhang: In einer Klasse werden 236 Meter Band gebraucht. Begründe, warum die gemischte Schreibweise für den Einkauf hilfreicher sein kann als der unechte Bruch.
  4. Strategiewahl: Entscheide bei drei selbst gewählten Aufgaben, ob eine gemischte Zahl oder ein unechter Bruch zum Rechnen günstiger ist, und begründe Deine Entscheidung.
  5. Transfer: Übertrage das Umwandlungsprinzip auf eine Uhrzeit- oder Messbechersituation und erkläre, welche Rolle Ganze, Nenner, Zähler und Rest spielen.
  6. Vergleichsaufgabe: Vergleiche 235 und 145, ohne zuerst Dezimalzahlen zu bilden, und begründe mit einer Umwandlung.


Lernnachweis

Bearbeite für Deinen Lernnachweis ein eigenes Aufgabenblatt zum Thema Gemischte Zahlen und unechte Brüche. Es soll mindestens vier Umwandlungen von gemischten Zahlen in unechte Brüche, vier Umwandlungen von unechten Brüchen in gemischte Zahlen, zwei Sachaufgaben, eine Fehleranalyse und eine eigene Erklärung mit Bild enthalten. Ergänze zu jeder Aufgabe den Rechenweg und eine kurze Rückprobe.




OERs zum Thema



Links


Zusammenfassung

Gemischte Zahlen und unechte Brüche sind zwei Schreibweisen für Zahlen, die größer als oder gleich einem Ganzen sein können. Eine gemischte Zahl zeigt besonders anschaulich, wie viele Ganze und welcher Rest vorhanden sind. Ein unechter Bruch ist oft praktisch zum Rechnen. Beim Umwandeln einer gemischten Zahl in einen unechten Bruch rechnest Du abc=ac+bc. Beim Umwandeln eines unechten Bruches in eine gemischte Zahl teilst Du den Zähler durch den Nenner und nutzt den Rest als neuen Zähler. Der Nenner bleibt in beiden Richtungen gleich.

aiMOOC-Projekte





Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland Bücher Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Mittlere Reife

  1. Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler
  2. Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert

Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).

Bayern

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.

Berlin/Brandenburg

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Woyzeck - Georg Büchner
  3. Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann
  4. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.

Bremen

Abitur

  1. Nach Mitternacht - Irmgard Keun
  2. Mario und der Zauberer - Thomas Mann
  3. Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing

Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).

Hamburg

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun

Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).

Hessen

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Woyzeck - Georg Büchner
  3. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck
  4. Der Prozess - Franz Kafka

Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.

Niedersachsen

Abitur

  1. Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist
  2. Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun
  3. Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist
  4. Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist

Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).

Nordrhein-Westfalen

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.

Saarland

Abitur

  1. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck
  2. Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz
  3. Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann

Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).

Sachsen (berufliches Gymnasium)

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Woyzeck - Georg Büchner
  3. Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane
  4. Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht
  5. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck
  6. Der Trafikant - Robert Seethaler

Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.

Sachsen-Anhalt

Abitur

  1. (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)

Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.

Schleswig-Holstein

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.

Thüringen

Abitur

  1. (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)

Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.

Mecklenburg-Vorpommern

Abitur

  1. (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)

Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.

Rheinland-Pfalz

Abitur

  1. (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)

Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.




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