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Runden und Überschlagen - aiMOOC 2

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Runden und Überschlagen - aiMOOC 2




Runden und Überschlagen

Runden und Überschlagen helfen Dir, Zahlen sinnvoll zu vereinfachen, Ergebnisse schnell einzuschätzen und Fehler in Rechnungen zu entdecken. Beim Runden ersetzt Du eine Zahl durch einen passenden Näherungswert. Beim Überschlagen rechnest Du mit gerundeten Zahlen, um ungefähr zu prüfen, ob ein Ergebnis plausibel ist. In diesem aiMOOC nutzt Du die MediaWiki-Extension Math, damit Rechenwege und Formeln sauber dargestellt werden können.



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Einstieg: Warum runden und überschlagen?

Im Alltag brauchst Du selten immer die ganz genaue Zahl. Wenn ein Stadion 49.872 Plätze hat, genügt in vielen Gesprächen die Aussage: Es hat ungefähr 50.000 Plätze. Wenn ein Einkauf 19,80 € kostet und Du 20 € dabei hast, kannst Du schnell erkennen, dass das Geld reicht. Wenn eine Rechnung angeblich 3921=319 ergibt, hilft Dir ein Überschlag, den Fehler zu entdecken: 4020=800. Das genaue Ergebnis muss also in der Nähe von 800 liegen, nicht bei 319.

Runden und Überschlagen sind deshalb wichtige Werkzeuge für Kopfrechnen, Größenordnung, Schätzen, Sachaufgaben, Textaufgaben, Dezimalzahlen, Geldrechnung, Messwerte und die Kontrolle von Ergebnissen.


Grundidee des Rundens

Beim Runden wird eine Zahl durch eine einfachere Zahl ersetzt. Diese einfachere Zahl ist nicht immer exakt gleich, aber sie liegt nahe an der ursprünglichen Zahl. Das Zeichen bedeutet ungefähr gleich.

Beispiel:

3,141593,14

Die Zahl 3,14 ist eine gerundete Form von 3,14159. Sie ist kürzer, leichter zu lesen und oft ausreichend genau.


Rundungsstelle und Prüfziffer

Beim Runden entscheidest Du zuerst, auf welche Stelle gerundet werden soll. Diese Stelle heißt Rundungsstelle. Danach schaust Du auf die Ziffer direkt rechts daneben. Diese Ziffer heißt hier Prüfziffer.

  1. Rundungsstelle: Die Stelle, auf die Du runden möchtest.
  2. Prüfziffer: Die erste Ziffer rechts neben der Rundungsstelle.
  3. Abrunden: Die Rundungsstelle bleibt gleich, die folgenden Stellen werden zu null oder fallen weg.
  4. Aufrunden: Die Rundungsstelle wird um 1 erhöht, die folgenden Stellen werden zu null oder fallen weg.

Die übliche Schulregel lautet: Ist die Prüfziffer 0,1,2,3 oder 4, wird abgerundet. Ist sie 5,6,7,8 oder 9, wird aufgerundet.


Runden auf Zehner, Hunderter und Tausender

Beim Runden ganzer Zahlen auf Zehner, Hunderter oder Tausender bleiben die Stellen links von der Rundungsstelle erhalten. Die Stellen rechts davon werden durch Nullen ersetzt.

Beispiele:

472470 auf Zehner, denn die Einerziffer ist 2.

472500 auf Hunderter, denn die Zehnerziffer ist 7.

84628000 auf Tausender, denn die Hunderterziffer ist 4.

85629000 auf Tausender, denn die Hunderterziffer ist 5.


Beispiel mit Stellenwerttafel

Die Stellenwerttafel zeigt, dass jede Ziffer ihren Wert durch ihre Position erhält. In der Zahl 48735 steht die 4 für 40000, die 8 für 8000, die 7 für 700, die 3 für 30 und die 5 für 5.


Runde 48735 auf Hunderter:

  1. Schritt 1: Die Rundungsstelle ist die Hunderterstelle, also die Ziffer 7.
  2. Schritt 2: Die Prüfziffer ist die Zehnerstelle, also die Ziffer 3.
  3. Schritt 3: Weil 3<5, wird abgerundet.
  4. Ergebnis: 4873548700.

Runde 48735 auf Tausender:

  1. Schritt 1: Die Rundungsstelle ist die Tausenderstelle, also die Ziffer 8.
  2. Schritt 2: Die Prüfziffer ist die Hunderterstelle, also die Ziffer 7.
  3. Schritt 3: Weil 75, wird aufgerundet.
  4. Ergebnis: 4873549000.


Runden von Dezimalzahlen

Bei Dezimalzahlen kannst Du auf Einer, Zehntel, Hundertstel, Tausendstel oder weitere Stellen runden. Wichtig ist, dass Du genau weißt, welche Stelle gefragt ist.

Beispiel:

7,486 soll auf Hundertstel gerundet werden.

Die Hundertstelstelle ist die zweite Stelle nach dem Komma: 7,486_. Die Prüfziffer ist die dritte Stelle nach dem Komma, also 6. Weil 65, wird aufgerundet:

7,4867,49

Weitere Beispiele:

12,34112,3 auf Zehntel.

12,34112,34 auf Hundertstel.

12,34912,35 auf Hundertstel.

0,9991,00 auf Hundertstel.


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Achtung bei Nullen nach dem Komma

Wenn Du auf Hundertstel rundest, kann es wichtig sein, zwei Nachkommastellen zu schreiben. So bedeuten 1,5 und 1,50 als Zahlen denselben Wert, aber 1,50 zeigt, dass auf Hundertstel genau angegeben wurde.

Beispiel:

1,4961,50 auf Hundertstel.

Die Schreibweise 1,50 macht sichtbar: Die Zahl wurde auf zwei Nachkommastellen gerundet.


Runden auf sinnvolle Genauigkeit

Nicht jede gerundete Zahl ist automatisch sinnvoll. Die Genauigkeit muss zur Situation passen. Wenn Du die Länge eines Klassenzimmers misst, kann 7,83m sinnvoll sein. Für eine grobe Planung genügt vielleicht 8m. Für eine technische Zeichnung könnte eine noch genauere Messung nötig sein. Runden bedeutet also nicht nur Rechnen, sondern auch Entscheiden.

  1. Geldbetrag: Preise werden meistens auf Cent angegeben, also auf zwei Nachkommastellen.
  2. Entfernung: Eine Autofahrt kann ungefähr 120km lang sein; eine Sportstrecke wird genauer gemessen.
  3. Einwohnerzahl: Große Städte werden oft auf Tausender oder Zehntausender gerundet.
  4. Messwert: Eine Küchenwaage gibt vielleicht ganze Gramm an; eine Laborwaage kann genauer messen.


Grundidee des Überschlagens

Beim Überschlagen rundest Du Zahlen so, dass Du schnell und einfach im Kopf rechnen kannst. Der Überschlag liefert kein exaktes Ergebnis, sondern eine brauchbare Schätzung.

Beispiel:

398+602

Du rundest:

398400

602600

Dann rechnest Du:

400+600=1000

Der Überschlag zeigt: Das genaue Ergebnis liegt ungefähr bei 1000. Tatsächlich gilt:

398+602=1000

Hier trifft der Überschlag sogar genau.


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Überschlagen bei Addition und Subtraktion

Bei Addition und Subtraktion rundest Du die Zahlen häufig auf Zehner, Hunderter oder Tausender.

Beispiel Addition:

1987+3104

Überschlag:

2000+3100=5100

Das genaue Ergebnis ist:

1987+3104=5091

Der Überschlag 5100 ist sehr nahe am genauen Ergebnis.

Beispiel Subtraktion:

98742963

Überschlag:

99003000=6900

Genau:

98742963=6911

Auch hier ist der Überschlag gut geeignet, um die Größenordnung zu prüfen.


Überschlagen bei Multiplikation

Bei der Multiplikation ist der Überschlag besonders nützlich, weil kleine Fehler große Auswirkungen haben können.

Beispiel:

4921

Überschlag:

5020=1000

Genau:

4921=1029

Das Ergebnis 1029 passt gut zum Überschlag 1000.


Überschlagen bei Division

Bei der Division ist es hilfreich, Zahlen so zu runden, dass sie gut teilbar sind.

Beispiel:

4812:6

Überschlag:

4800:6=800

Genau:

4812:6=802

Der Überschlag zeigt, dass das Ergebnis ungefähr 800 sein muss.


Geeignet runden: nicht immer mechanisch

Beim Überschlagen musst Du nicht immer nach einer festen Regel runden. Du darfst Zahlen so verändern, dass die Rechnung einfacher wird, solange die Schätzung sinnvoll bleibt.

Beispiel:

19851

Ein guter Überschlag ist:

20050=10000

Du rundest also 198 nach oben und 51 nach unten. Das ist sinnvoll, weil die Rechnung im Kopf sehr einfach wird und das Ergebnis nahe am genauen Ergebnis liegt.

Genau:

19851=10098


Runden, Überschlagen und Fehlerkontrolle

Mit einem Überschlag kannst Du prüfen, ob ein Ergebnis stimmen kann. Das ist besonders wichtig bei schriftlichen Rechnungen, Taschenrechnern und Tabellenkalkulationen. Ein Zahlendreher, ein vergessenes Komma oder eine falsche Rechenart fällt oft sofort auf.

Beispiel:

Eine Rechnung ergibt:

29743=12771

Überschlag:

30040=12000

Das Ergebnis sollte ungefähr bei 12000 liegen. Die Schreibweise 12771 ist offensichtlich problematisch. Gemeint sein könnte 12771.

Genau:

29743=12771


Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

  1. Rundungsstelle verwechseln: Du rundest auf Zehner, obwohl Hunderter gefragt sind.
  2. Prüfziffer übersehen: Du schaust auf die falsche Ziffer rechts neben der Rundungsstelle.
  3. Zu früh runden: Du rundest Zwischenergebnisse so stark, dass das Endergebnis unbrauchbar wird.
  4. Kommafehler: Du vergisst bei Dezimalzahlen, an welcher Stelle das Komma steht.
  5. Scheingenauigkeit: Du gibst ein Ergebnis genauer an, als die Messung es erlaubt.

Ein guter Merksatz lautet: Runde so genau wie nötig und so einfach wie möglich.


Unterschied zwischen Runden und Abschneiden

Beim Abschneiden werden Stellen einfach weggelassen. Beim Runden wird zusätzlich geprüft, ob auf- oder abgerundet werden muss.

Beispiel:

4,789 auf zwei Nachkommastellen.

Abschneiden:

4,7894,78

Runden:

4,7894,79

Der Unterschied entsteht durch die dritte Nachkommastelle 9. Sie führt beim Runden zum Aufrunden.


Darstellung mit der MediaWiki-Extension Math

In diesem aiMOOC werden mathematische Ausdrücke mit der MediaWiki-Extension Math dargestellt. Die Formeln stehen als echte Math-Elemente im Wikitext und werden dadurch übersichtlich angezeigt.

Beispiel:

398+602400+600=1000

Nützliche Schreibweisen in Math-Formeln sind für ungefähr gleich, für Multiplikation, für kleiner gleich und für größer gleich.


Ausführliche Beispiele


Beispiel 1: Runden auf Zehner

Runde 6347 auf Zehner. Die Zehnerstelle ist 4. Die Prüfziffer ist 7. Weil 75, wird aufgerundet.

63476350


Beispiel 2: Runden auf Hunderter

Runde 6347 auf Hunderter. Die Hunderterstelle ist 3. Die Prüfziffer ist 4. Weil 4<5, wird abgerundet.

63476300


Beispiel 3: Runden auf Tausender

Runde 6347 auf Tausender. Die Tausenderstelle ist 6. Die Prüfziffer ist 3. Weil 3<5, wird abgerundet.

63476000


Beispiel 4: Runden einer Dezimalzahl

Runde 18,756 auf Zehntel. Die Zehntelstelle ist 7. Die Prüfziffer ist 5. Weil 55, wird aufgerundet.

18,75618,8


Beispiel 5: Überschlag einer Sachaufgabe

Eine Klasse fährt ins Museum. Ein Ticket kostet Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 7{,}90\,€} . Es fahren 28 Schülerinnen und Schüler mit. Überschlage die Gesamtkosten.

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 7{,}90\,€ \approx 8\,€}

2830

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 8\,€ \cdot 30 = 240\,€}

Die Tickets kosten also überschlagsweise etwa Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 240\,€} . Genau sind es:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 7{,}90\,€ \cdot 28 = 221{,}20\,€}


Strategien für gute Überschläge

  1. Runde passend zur Rechenart: Bei Multiplikation und Division wählst Du oft Zahlen, mit denen Du leicht rechnen kannst.
  2. Behalte die Größenordnung im Blick: Ein Ergebnis kann um einige Einer oder Zehner abweichen, aber nicht um eine ganze Zehnerpotenz.
  3. Vergleiche mit dem genauen Ergebnis: Nach dem Rechnen prüfst Du, ob das Ergebnis zum Überschlag passt.
  4. Nutze glatte Zahlen: Zahlen wie 10, 50, 100, 500 oder 1000 sind oft gut geeignet.
  5. Runde nicht unnötig grob: Aus 149 sollte bei einer genaueren Schätzung vielleicht 150 werden, nicht immer 100.


Interaktive Aufgaben


Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet Runden in der Mathematik? (Eine Zahl wird durch einen nahe liegenden Näherungswert ersetzt) (!Eine Zahl wird immer größer gemacht) (!Eine Zahl wird immer exakt berechnet) (!Eine Zahl wird ohne Regel gelöscht)




Welche Ziffer entscheidet beim Runden direkt rechts neben der Rundungsstelle? (Die Prüfziffer) (!Die Ergebnisziffer) (!Die Startziffer) (!Die Kontrollsumme)




Wie wird 348 auf Zehner gerundet? (350) (!340) (!300) (!400)




Wie wird 2,764 auf Hundertstel gerundet? (2,76) (!2,77) (!2,7) (!3,00)




Wie wird 2,765 nach der üblichen Schulregel auf Hundertstel gerundet? (2,77) (!2,76) (!2,70) (!2,80)




Was ist ein sinnvoller Überschlag für 398 plus 602? (400 plus 600) (!300 plus 600) (!398 plus 600) (!400 plus 602)




Warum ist ein Überschlag nützlich? (Er hilft beim Prüfen der Größenordnung eines Ergebnisses) (!Er ersetzt immer jede genaue Rechnung) (!Er macht jedes Ergebnis exakt) (!Er verhindert, dass man rechnen muss)




Welcher Überschlag passt gut zu 49 mal 21? (50 mal 20) (!40 mal 10) (!90 mal 20) (!49 mal 2)




Was zeigt das Zeichen ungefähr gleich an? (Dass ein Wert gerundet oder näherungsweise angegeben ist) (!Dass zwei Werte immer exakt gleich sind) (!Dass eine Zahl negativ ist) (!Dass eine Division nicht erlaubt ist)




Was ist beim Runden von Geldbeträgen meistens sinnvoll? (Auf Cent runden) (!Immer auf Tausender runden) (!Alle Nachkommastellen abschneiden) (!Nie runden)





Memory

Runden Näherungswert bilden
Überschlag Ergebnis grob prüfen
Rundungsstelle Stelle der gewünschten Genauigkeit
Prüfziffer Ziffer rechts daneben
Aufrunden Rundungsstelle wird erhöht
Abrunden Rundungsstelle bleibt gleich





Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu. Thema
Rundungsstelle Stelle, auf die gerundet wird
Prüfziffer Ziffer direkt rechts neben der Rundungsstelle
Näherungswert Gerundete Ersatz-Zahl
Überschlag Grobe Rechnung zur Kontrolle
Größenordnung Bereich, in dem ein Ergebnis ungefähr liegt






Kreuzworträtsel

Runden Wie heißt das Ersetzen einer Zahl durch einen passenden Näherungswert?
Zehner Auf welche Stelle wird 347 gerundet, wenn das Ergebnis 350 lautet?
Hunderter Auf welche Stelle wird 2.864 gerundet, wenn das Ergebnis 2.900 lautet?
Pruefziffer Wie heißt die Ziffer direkt rechts neben der Rundungsstelle ohne Umlaut geschrieben?
Naeherung Wie nennt man einen ungefähren Wert ohne Umlaut geschrieben?
Komma Welches Zeichen trennt bei Dezimalzahlen den ganzen Teil vom Nachkommateil?





LearningApps


Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim

ersetzt Du eine Zahl durch einen passenden Näherungswert. Die Stelle, auf die gerundet wird, heißt

. Die Ziffer direkt rechts daneben heißt

. Ist diese Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4, wird in der üblichen Schulregel

. Ist diese Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9, wird

. Beim

rechnest Du mit vereinfachten Zahlen. Ein Überschlag hilft Dir, die

eines Ergebnisses zu prüfen. Das Zeichen bedeutet

gleich. Bei Dezimalzahlen musst Du besonders auf das

achten.




Offene Aufgaben


Leicht

  1. Zahlen runden: Suche in einer Zeitung, auf einer Website oder in einem Prospekt fünf große Zahlen und runde sie jeweils auf Zehner, Hunderter und Tausender.
  2. Zahlengerade zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade von 0 bis 100 und markiere, ob 47, 52 und 85 näher an einem Zehner links oder rechts liegen.
  3. Rundungsplakat: Gestalte ein kleines Lernplakat mit der Regel: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.
  4. Alltagsrunden: Schreibe drei Alltagssätze, in denen gerundete Zahlen vorkommen, zum Beispiel bei Entfernungen, Preisen oder Besucherzahlen.


Standard

  1. Einkaufsüberschlag: Erstelle einen Beispiel-Einkauf mit mindestens sechs Preisen und überschlage vor der genauen Rechnung, wie teuer der Einkauf ungefähr wird.
  2. Fehler finden: Erfinde fünf falsche Rechnungen und zeige jeweils mit einem Überschlag, warum das Ergebnis nicht plausibel ist.
  3. Dezimalzahlen runden: Miss drei Gegenstände in Zentimetern möglichst genau und runde Deine Messwerte auf Einer, Zehntel und Hundertstel.
  4. Rechenweg erklären: Erkläre einer jüngeren Person schriftlich, wie man 8765 auf Hunderter und Tausender rundet.


Schwer

  1. Rundungsstrategie vergleichen: Vergleiche zwei verschiedene Überschläge zu derselben Rechnung, zum Beispiel 19851, und entscheide, welcher Überschlag besser ist.
  2. Sachaufgabe entwickeln: Erfinde eine realistische Sachaufgabe, in der zuerst ein Überschlag und danach eine genaue Rechnung nötig sind.
  3. Scheingenauigkeit untersuchen: Suche ein Beispiel, bei dem eine Zahl genauer wirkt, als sie wirklich gemessen wurde, und erkläre das Problem.
  4. Math-Formeln im Wiki: Schreibe fünf eigene Rechenbeispiele mit echten Math-Formeln, darunter mindestens eine Addition, eine Multiplikation und eine Dezimalzahl.



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Lernkontrolle

  1. Plausibilität prüfen: Eine Person behauptet, 5941=1419. Nutze einen Überschlag, um zu erklären, ob das Ergebnis plausibel ist, und finde anschließend das genaue Ergebnis.
  2. Rundungsentscheidung begründen: Begründe, warum 7,96 auf eine Nachkommastelle zu 8,0 wird und warum die Null nach dem Komma hier sinnvoll sein kann.
  3. Sachkontext bewerten: Entscheide für drei Situationen, ob man eher exakt rechnen oder überschlagen sollte: Klassenfahrtkosten, Medikamentendosis, Besucherzahl eines Konzerts.
  4. Fehleranalyse: Erkläre, warum beim frühen Runden in mehreren Rechenschritten ein ungenaues Endergebnis entstehen kann.
  5. Transferaufgabe: Plane überschlagsweise die Kosten für eine Schulveranstaltung mit Eintritt, Fahrt und Verpflegung. Zeige, welche Zahlen Du rundest und warum.
  6. Genauigkeit reflektieren: Erkläre an einem selbst gewählten Messbeispiel, warum eine Angabe wie 3,728496m manchmal weniger sinnvoll ist als 3,7m oder 3,73m.




OERs zum Thema




Links


Zusammenfassung

Runden bedeutet, eine Zahl durch einen nahe liegenden Näherungswert zu ersetzen. Dazu bestimmst Du die Rundungsstelle und schaust auf die Prüfziffer. In der üblichen Schulregel wird bei 0 bis 4 abgerundet und bei 5 bis 9 aufgerundet. Beim Überschlagen nutzt Du gerundete Zahlen, um schnell eine Größenordnung zu erhalten. So kannst Du Ergebnisse prüfen, Rechenfehler entdecken und in Alltagssituationen schneller entscheiden. Mit der MediaWiki-Extension Math lassen sich Rechenwege wie 398+602400+600=1000 übersichtlich darstellen.


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Schulfach+

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Baden-Württemberg

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

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  1. Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler
  2. Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert

Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).

Bayern

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
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Berlin/Brandenburg

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Hamburg

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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun

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Hessen

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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
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  4. Der Prozess - Franz Kafka

Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.

Niedersachsen

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  1. Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist
  2. Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun
  3. Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist
  4. Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist

Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).

Nordrhein-Westfalen

Abitur

  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.

Saarland

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  1. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck
  2. Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz
  3. Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann

Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).

Sachsen (berufliches Gymnasium)

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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
  2. Woyzeck - Georg Büchner
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  4. Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht
  5. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck
  6. Der Trafikant - Robert Seethaler

Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.

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  1. (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)

Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.

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