Rechenregeln und Rechengesetze mit Math - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Rechenregeln und Rechengesetze helfen Dir, mathematische Ausdrücke sicher, übersichtlich und vorteilhaft zu berechnen. In diesem aiMOOC lernst Du die wichtigsten Rechenregeln und Rechengesetze kennen: die Grundrechenarten, die Operatorrangfolge, die Regel Klammern zuerst, Punktrechnung vor Strichrechnung, das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz. Außerdem übst Du, wie Du diese Regeln mit der MediaWiki-Extension Math in sauberer mathematischer Schreibweise darstellst.

Rechenregeln beantworten die Frage: In welcher Reihenfolge rechne ich? Rechengesetze beantworten die Frage: Welche Umformungen darf ich vornehmen, ohne den Wert zu verändern? Beides ist wichtig, wenn Du Terme berechnest, Gleichungen löst, Kopfrechenstrategien nutzt oder mathematische Texte in einem Wiki verständlich formulierst.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, warum Rechenregeln und Rechengesetze nicht dasselbe sind. Du kannst einfache und zusammengesetzte Terme korrekt auswerten, Klammern sinnvoll setzen, Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen verwenden und mathematische Formeln mit der MediaWiki-Extension Math schreiben.

Was Du am Ende können sollst

1. Grundrechenarten: Du kannst Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division unterscheiden und passende Fachbegriffe verwenden.
2. Operatorrangfolge: Du kannst die Reihenfolge Klammern vor Potenzen vor Punktrechnung vor Strichrechnung anwenden.
3. Kommutativgesetz: Du kannst erkennen, wann Vertauschen erlaubt ist.
4. Assoziativgesetz: Du kannst erkennen, wann Klammern anders gesetzt werden dürfen.
5. Distributivgesetz: Du kannst ausmultiplizieren und ausklammern.
6. MediaWiki-Extension Math: Du kannst mathematische Formeln in Wiki-Seiten korrekt darstellen.

Grundbegriffe

Rechenregel und Rechengesetz

Eine Rechenregel beschreibt, wie Du beim Berechnen vorgehst. Beispiel: In einem Term mit mehreren Rechenzeichen werden Klammern zuerst berechnet. Danach kommen Potenzen, dann Multiplikation und Division, zuletzt Addition und Subtraktion.

Ein Rechengesetz beschreibt eine allgemeingültige Eigenschaft einer Rechenoperation. Beispiel: Bei der Addition darfst Du die Summanden vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert. In mathematischer Schreibweise lautet das:

$a+b=b+a$

Rechenregeln sind also eher Handlungsanweisungen. Rechengesetze sind allgemeine Aussagen über Zahlen und Operationen.

Die Grundrechenarten

Die vier Grundrechenarten sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Sie besitzen unterschiedliche Fachbegriffe:

Rechenart	Zeichen	Fachbegriffe	Beispiel
Addition	$+$	Summand, Summand, Summe	$7+5=12$
Subtraktion	$-$	Minuend, Subtrahend, Differenz	$13-4=9$
Multiplikation	$\cdot$	Faktor, Faktor, Produkt	$6\cdot 8=48$
Division	$:$ oder $÷$	Dividend, Divisor, Quotient	$24:3=8$

Diese Fachbegriffe helfen Dir, Aufgaben genau zu verstehen. Wenn in einer Aufgabe steht: Bilde das Produkt aus 9 und 4, ist damit $9\cdot 4$ gemeint.

Rechenregeln: Reihenfolge beim Rechnen

Klammern zuerst

Klammern zeigen, dass ein Teil eines Terms zuerst berechnet werden muss. Vergleiche:

$3\cdot (4+5)=3\cdot 9=27$

$3\cdot 4+5=12+5=17$

Die Zahlen und Rechenzeichen sind fast gleich, aber die Klammern verändern die Reihenfolge. Deshalb ist der Wert des Terms unterschiedlich.

Potenzen vor Punktrechnung

Potenzen werden vor Multiplikation und Division berechnet, wenn keine Klammern eine andere Reihenfolge verlangen:

$2\cdot 3^2=2\cdot 9=18$

Mit Klammern kann sich das Ergebnis ändern:

$(2\cdot 3{)}^2=6^2=36$

Die Potenz bezieht sich also nur auf die unmittelbar davorstehende Basis, wenn keine Klammern gesetzt sind.

Punktrechnung vor Strichrechnung

Multiplikation und Division heißen auch Punktrechnung. Addition und Subtraktion heißen Strichrechnung. Ohne Klammern gilt:

$5+4\cdot 3=5+12=17$

Nicht korrekt wäre:

$5+4\cdot 3\ne 9\cdot 3$

Die Regel Punktrechnung vor Strichrechnung ist eine Konvention der Operatorrangfolge. Sie macht mathematische Ausdrücke kürzer und eindeutiger.

Von links nach rechts bei gleicher Rangstufe

Wenn nur gleichrangige Rechenarten vorkommen, rechnest Du normalerweise von links nach rechts. Das ist besonders wichtig bei Subtraktion und Division:

$20-6-4=(20-6)-4=14-4=10$

Nicht dasselbe ist:

$20-(6-4)=20-2=18$

Auch bei Divisionen ist die Reihenfolge wichtig:

$48:4:3=(48:4):3=12:3=4$

Aber:

$48:(4:3)=48:\frac{4}{3}=36$

Merkschema der Rechenreihenfolge

1. Klammern: Berechne zuerst, was in Klammern steht.
2. Potenzen: Berechne danach Potenzen.
3. Punktrechnung: Berechne Multiplikation und Division.
4. Strichrechnung: Berechne Addition und Subtraktion.
5. Linksassoziativität: Rechne bei gleicher Rangstufe von links nach rechts, wenn nichts anderes angegeben ist.

Rechengesetze: Erlaubte Umformungen

Rechengesetze gelten nicht für jede Rechenart gleich. Besonders wichtig ist: Addition und Multiplikation verhalten sich anders als Subtraktion und Division. Viele Fehler entstehen, wenn man ein Gesetz auf eine Rechenart anwendet, für die es nicht gilt.

Kommutativgesetz: Vertauschungsgesetz

Das Kommutativgesetz besagt: Bei Addition und Multiplikation darfst Du die Reihenfolge der Zahlen vertauschen.

$a+b=b+a$

$a\cdot b=b\cdot a$

Beispiele:

$17+8=8+17=25$

$4\cdot 9=9\cdot 4=36$

Das Kommutativgesetz gilt nicht für Subtraktion:

$9-4=5$

$4-9=-5$

Also gilt:

$9-4\ne 4-9$

Es gilt auch nicht für Division:

$12:3=4$

$3:12=\frac{1}{4}$

Also gilt:

$12:3\ne 3:12$

Assoziativgesetz: Verbindungsgesetz

Das Assoziativgesetz besagt: Bei Addition und Multiplikation darfst Du Klammern anders setzen, ohne dass sich der Wert verändert.

$(a+b)+c=a+(b+c)$

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Beispiele:

$(6+14)+8=20+8=28$

$6+(14+8)=6+22=28$

Bei der Multiplikation:

$(2\cdot 5)\cdot 7=10\cdot 7=70$

$2\cdot (5\cdot 7)=2\cdot 35=70$

Das Assoziativgesetz gilt nicht allgemein für Subtraktion:

$(10-4)-3=6-3=3$

$10-(4-3)=10-1=9$

Also gilt:

$(10-4)-3\ne 10-(4-3)$

Distributivgesetz: Verteilungsgesetz

Das Distributivgesetz verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion. Es erlaubt Dir, eine Zahl auf eine Klammer zu verteilen:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

$a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$

Beispiel:

$4\cdot (10+3)=4\cdot 10+4\cdot 3=40+12=52$

Du kannst das Gesetz auch rückwärts verwenden. Dann heißt es Ausklammern:

$6\cdot 8+6\cdot 2=6\cdot (8+2)=6\cdot 10=60$

Das Distributivgesetz ist besonders nützlich beim Kopfrechnen:

$7\cdot 98=7\cdot (100-2)=700-14=686$

Zusammenspiel der Gesetze

Beim vorteilhaften Rechnen kombinierst Du oft mehrere Gesetze. Beispiel:

$25\cdot 17\cdot 4$

Mit dem Kommutativgesetz darfst Du die Faktoren vertauschen:

$25\cdot 4\cdot 17$

Mit dem Assoziativgesetz darfst Du Klammern sinnvoll setzen:

$(25\cdot 4)\cdot 17$

Dann rechnest Du:

$100\cdot 17=1700$

Das Ergebnis ist schnell gefunden, weil Du nicht stur von links nach rechts rechnest, sondern die Struktur des Terms erkennst.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Fehler 1: Klammern übersehen

Falsch wäre:

$2\cdot (3+7)=2\cdot 3+7=13$

Richtig ist:

$2\cdot (3+7)=2\cdot 10=20$

Oder mit Distributivgesetz:

$2\cdot (3+7)=2\cdot 3+2\cdot 7=6+14=20$

Fehler 2: Punkt vor Strich vergessen

Falsch wäre:

$6+2\cdot 5=8\cdot 5=40$

Richtig ist:

$6+2\cdot 5=6+10=16$

Fehler 3: Kommutativgesetz bei Subtraktion anwenden

Falsch wäre:

$15-9=9-15$

Richtig ist:

$15-9=6$

$9-15=-6$

Fehler 4: Assoziativgesetz bei Division anwenden

Falsch wäre:

$(24:6):2=24:(6:2)$

Richtig ist:

$(24:6):2=4:2=2$

$24:(6:2)=24:3=8$

Rechenregeln mit der MediaWiki-Extension Math schreiben

Die MediaWiki-Extension Math stellt mathematische Formeln in Wiki-Seiten dar. Viele Befehle orientieren sich an TeX beziehungsweise LaTeX. Wichtig ist, dass die Formel klar lesbar ist und Zwischenschritte sinnvoll gegliedert werden.

Grundformen

Gewünschte Darstellung	Bedeutung	Ausgabe
Addition	Summe aus zwei Termen	$a+b=c$
Multiplikation	Produkt aus zwei Faktoren	$a\cdot b=c$
Bruch	Quotient in Bruchschreibweise	$\frac{a}{b}$
Potenz	Basis mit Exponent	$a^2$
Klammern	Sichtbare Gruppierung eines Terms	$(a+b)\cdot c$

Formeln zu den Rechengesetzen in Math-Schreibweise

Rechengesetz	Mathematische Formel	Beispielidee
Kommutativgesetz der Addition	$a+b=b+a$	Summanden dürfen vertauscht werden.
Kommutativgesetz der Multiplikation	$a\cdot b=b\cdot a$	Faktoren dürfen vertauscht werden.
Assoziativgesetz der Addition	$(a+b)+c=a+(b+c)$	Klammern dürfen bei Summen anders gesetzt werden.
Assoziativgesetz der Multiplikation	$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$	Klammern dürfen bei Produkten anders gesetzt werden.
Distributivgesetz	$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$	Ein Faktor wird auf eine Summe verteilt.

Tipps für gute Formelnotation

1. Formelsprache: Verwende Variablen wie $a$, $b$ und $c$, wenn eine Regel allgemein gelten soll.
2. Multiplikationszeichen: Verwende in Formeln ein deutliches Multiplikationszeichen, damit es nicht mit einer Variable verwechselt wird.
3. Klammern: Setze Klammern bewusst, wenn die Rechenreihenfolge sichtbar werden soll.
4. Bruchrechnung: Verwende Bruchschreibweise, wenn ein Quotient übersichtlich dargestellt werden soll.
5. Lesbarkeit: Schreibe Zwischenschritte, damit andere Deinen Rechenweg nachvollziehen können.

Beispiele mit vollständigem Rechenweg

Beispiel 1: Punkt vor Strich

Berechne:

$8+3\cdot 6$

Zuerst die Multiplikation:

$3\cdot 6=18$

Dann die Addition:

$8+18=26$

Also:

$8+3\cdot 6=26$

Beispiel 2: Klammern verändern den Wert

Berechne:

$(8+3)\cdot 6$

Zuerst die Klammer:

$8+3=11$

Dann die Multiplikation:

$11\cdot 6=66$

Also:

$(8+3)\cdot 6=66$

Beispiel 3: Vorteilhaft rechnen mit Distributivgesetz

Berechne:

$12\cdot 49$

Zerlege $49$ in $50-1$:

$12\cdot 49=12\cdot (50-1)$

Wende das Distributivgesetz an:

$12\cdot (50-1)=12\cdot 50-12\cdot 1$

Rechne:

$600-12=588$

Also:

$12\cdot 49=588$

Beispiel 4: Ausklammern

Berechne:

$9\cdot 23+9\cdot 77$

Der gemeinsame Faktor ist $9$. Klammere ihn aus:

$9\cdot 23+9\cdot 77=9\cdot (23+77)$

Berechne die Klammer:

$23+77=100$

Dann:

$9\cdot 100=900$

Also:

$9\cdot 23+9\cdot 77=900$

Erklärvideo

Das folgende Video erklärt Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz anhand von Beispielen. Nutze es, um die Begriffe zu wiederholen und die Rechenwege mit den Beispielen im aiMOOC zu vergleichen.

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Regel bestimmt, dass Klammern zuerst berechnet werden? (Klammerregel) (!Kommutativgesetz) (!Rundungsregel) (!Primzahlregel)

Welche Rechenarten gehören zur Punktrechnung? (Multiplikation und Division) (!Addition und Subtraktion) (!Addition und Division) (!Subtraktion und Potenzieren)

Für welche Rechenarten gilt das Kommutativgesetz in den reellen Zahlen allgemein? (Addition und Multiplikation) (!Subtraktion und Division) (!Division und Addition) (!Subtraktion und Multiplikation)

Was beschreibt das Assoziativgesetz? (Klammern dürfen bei Addition oder Multiplikation anders gesetzt werden) (!Zahlen dürfen immer gerundet werden) (!Potenzen werden immer zuletzt berechnet) (!Subtraktion darf immer vertauscht werden)

Welches Gesetz nutzt man beim Ausmultiplizieren? (Distributivgesetz) (!Kommutativgesetz) (!Assoziativgesetz) (!Vorzeichenregel)

Was ist das Ergebnis von 5 plus 4 mal 3? (17) (!27) (!36) (!15)

Was ist das Ergebnis von 2 mal Klammer 3 plus 7? (20) (!13) (!17) (!24)

Welche Aussage über Subtraktion ist richtig? (Subtraktion ist nicht kommutativ) (!Subtraktion ist immer kommutativ) (!Subtraktion ist immer assoziativ) (!Subtraktion ist dasselbe wie Multiplikation)

Was bedeutet Ausklammern? (Einen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer schreiben) (!Eine Klammer ohne Rechnung löschen) (!Alle Zahlen vertauschen) (!Eine Potenz in eine Summe verwandeln)

Wozu dient die MediaWiki-Extension Math? (Zur Darstellung mathematischer Formeln) (!Zur automatischen Lösung aller Aufgaben) (!Zur Erstellung von Bildern ohne Datei) (!Zur Übersetzung von Texten)

Memory

Kommutativgesetz	Vertauschen
Assoziativgesetz	Klammern setzen
Distributivgesetz	Verteilen
Punktrechnung	Multiplikation und Division
Strichrechnung	Addition und Subtraktion
Math-Formel	Darstellung im Wiki

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Klammerregel	Zuerst berechnen, was in Klammern steht
Potenzregel	Potenzen vor Punktrechnung auswerten
Punktrechnung	Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion
Kommutativgesetz	Summanden oder Faktoren vertauschen
Distributivgesetz	Einen Faktor auf eine Summe verteilen

Kreuzworträtsel

Kommutativ	Wie heißt die Eigenschaft, bei der man Zahlen vertauschen darf?
Assoziativ	Wie heißt die Eigenschaft, bei der Klammern anders gesetzt werden dürfen?
Distributiv	Wie heißt das Gesetz, mit dem man einen Faktor auf eine Summe verteilt?
Klammern	Was verändert in einem Term oft die Rechenreihenfolge?
Potenzen	Was wird vor Punktrechnung berechnet?
Faktoren	Wie heißen die Zahlen einer Multiplikation?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Rechenregel beschreibt die beim Berechnen eines Terms.

Ein Rechengesetz beschreibt eine allgemein gültige einer Rechenoperation.

Bei der Regel Punkt vor Strich wird die vor der Addition berechnet.

Klammern zeigen an, dass ein Teil des Terms berechnet wird.

Das Kommutativgesetz erlaubt bei Addition und Multiplikation das .

Das Assoziativgesetz erlaubt bei Addition und Multiplikation eine andere .

Das Distributivgesetz wird beim Ausmultiplizieren und beim verwendet.

Subtraktion und Division sind im Allgemeinen nicht .

In MediaWiki werden mathematische Formeln mit der Erweiterung dargestellt.

Ein gemeinsamer Faktor kann beim Ausklammern vor die gesetzt werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Rechenreihenfolge: Erstelle fünf eigene Aufgaben zur Regel Klammern vor Punkt vor Strich und löse sie mit vollständigen Zwischenschritten.
2. Fachbegriffe: Schreibe zu jeder Grundrechenart ein Beispiel und benenne Summanden, Faktoren, Differenz oder Quotient.
3. Fehlersuche: Erfinde drei falsche Rechnungen, in denen jemand Punkt vor Strich vergessen hat, und korrigiere sie.
4. Math-Syntax: Schreibe fünf einfache Rechnungen als dargestellte Math-Formeln in MediaWiki-Schreibweise.

Standard

1. Kommutativgesetz: Untersuche an jeweils drei Beispielen, warum das Vertauschen bei Addition und Multiplikation funktioniert, bei Subtraktion und Division aber nicht.
2. Assoziativgesetz: Erstelle ein Lernplakat, das zeigt, wie Klammern bei Addition und Multiplikation vorteilhaft gesetzt werden können.
3. Distributivgesetz: Entwickle zehn Kopfrechenaufgaben, bei denen das Zerlegen einer Zahl das Rechnen erleichtert.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo oder eine Audio-Erklärung zu einem Rechengesetz und verwende mindestens zwei eigene Beispiele.

Schwer

1. Termumformung: Vergleiche zwei verschiedene Lösungswege für denselben Term und erkläre, welches Rechengesetz jeweils verwendet wurde.
2. Fehleranalyse: Sammle typische Rechenfehler aus Schulheften, Arbeitsblättern oder eigenen Aufgaben und ordne sie den passenden Regeln zu.
3. Mathematische Begründung: Begründe allgemein mit Variablen, warum $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ gilt, und veranschauliche dies mit einem Rechteckmodell.
4. Wiki-Projekt: Erstelle eine kleine Wiki-Seite zum Thema Rechengesetze mit mindestens drei Formeln, einem Beispiel, einer Übung und einer Musterlösung.

Lernkontrolle

1. Transferaufgabe: Ein Mitschüler behauptet, $18-7=7-18$. Erkläre mit einem Gegenbeispiel und mit Worten, warum diese Aussage falsch ist.
2. Strategieaufgabe: Berechne $25\cdot 36\cdot 4$ auf zwei Arten. Vergleiche, welche Methode schneller ist und begründe Deine Entscheidung.
3. Struktur erkennen: Erkläre, warum $8\cdot 97$ mit dem Distributivgesetz leichter im Kopf berechnet werden kann als durch schriftliche Multiplikation.
4. Darstellungswechsel: Stelle $6\cdot (20+5)$ als Rechenweg, als Worterklärung und als Flächenmodell dar.
5. Fehlerdiagnose: Analysiere die Rechnung $3+5\cdot 2=16$. Beschreibe den Fehler, korrigiere ihn und formuliere eine Regel, die den Fehler verhindert.
6. Math-Kompetenz: Schreibe das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz als Math-Formeln und erkläre jeweils kurz die Bedeutung.

Lernnachweis

Für den Lernnachweis erstellst Du ein eigenes Aufgabenblatt mit Musterlösung. Es soll mindestens eine Aufgabe zur Rechenreihenfolge, eine Aufgabe zum Kommutativgesetz, eine Aufgabe zum Assoziativgesetz, eine Aufgabe zum Distributivgesetz und eine Fehleranalyse enthalten. Jede Musterlösung muss mindestens einen Zwischenschritt und eine kurze Begründung enthalten. Verwende bei mindestens drei Lösungen die Schreibweise der MediaWiki-Extension Math.

Links

Rechenregeln und Rechengesetze Grundrechenarten Addition Subtraktion Multiplikation Division Operatorrangfolge Punktrechnung vor Strichrechnung Klammerrechnung Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz Term Variable MediaWiki-Extension Math