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Brüche kürzen und erweitern - aiMOOC

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Brüche kürzen und erweitern - aiMOOC




Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du Brüche sicher erweitern und kürzen kannst. Das Thema gehört zur Bruchrechnung und ist eine wichtige Grundlage für das Vergleichen von Brüchen, das Addieren von Brüchen, das Subtrahieren von Brüchen und das Rechnen mit Dezimalzahlen und Prozenten. Du arbeitest mit Zähler, Nenner, Bruchstrich, Teilern und Vielfachen und erkennst, dass ein Bruch verschiedene Schreibweisen haben kann, obwohl sein Wert gleich bleibt.

Ein Bruch beschreibt einen Anteil an einem Ganzen. Der Bruch 34 bedeutet zum Beispiel: Ein Ganzes wurde in vier gleich große Teile geteilt, und drei dieser Teile werden betrachtet. Beim Kürzen und Erweitern veränderst Du nicht den Wert des Bruchs, sondern nur seine Schreibweise. Deshalb heißen Brüche wie 12, 24, 36 und 50100 gleichwertige Brüche.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was Zähler und Nenner bedeuten, warum beim Erweitern und Kürzen der Bruchwert gleich bleibt, wie Du Brüche mit einem Faktor erweiterst, wie Du Brüche mit einem gemeinsamen Teiler kürzt und wie Du erkennst, ob ein Bruch vollständig gekürzt ist. Außerdem kannst Du Brüche durch Erweitern vergleichbar machen und typische Fehler vermeiden.


Grundlagen der Bruchschreibweise


Zähler, Nenner und Bruchstrich

Ein Bruch besteht aus drei wichtigen Bestandteilen. Der Zähler steht oben und gibt an, wie viele Teile betrachtet werden. Der Nenner steht unten und gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wurde. Der Bruchstrich bedeutet eine Division.

Beispiel: 35 bedeutet: Drei von fünf gleich großen Teilen werden betrachtet. Gleichzeitig kann man den Bruch als Division lesen: 3:5. Der Wert eines Bruchs ist also ein Quotient. Deshalb darf der Nenner nie 0 sein, denn durch 0 darf man nicht teilen.


Bruchwert und gleichwertige Brüche

Der Bruchwert ist der Wert, den ein Bruch beschreibt. Verschiedene Brüche können denselben Bruchwert haben. Solche Brüche nennt man gleichwertige Brüche. Auf dem Zahlenstrahl liegen sie an derselben Stelle.

Beispiel: 12=24=36=48

Alle diese Brüche beschreiben die Hälfte eines Ganzen. Die Schreibweise verändert sich, der Anteil bleibt gleich.


Brüche erweitern


Bedeutung des Erweiterns

Beim Erweitern eines Bruchs multiplizierst Du den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl. Diese Zahl heißt Erweiterungsfaktor. Der Erweiterungsfaktor darf nicht 0 sein. Der Wert des Bruchs bleibt gleich, weil Du den Bruch mit einer Form der Zahl 1 multiplizierst.

Allgemein gilt: ab=akbk mit b0 und k0.

Beispiel: 23=2434=812

Der Bruch 23 wurde mit dem Faktor 4 erweitert. Der neue Bruch 812 sieht anders aus, hat aber denselben Wert.


Warum bleibt der Wert gleich?

Beim Erweitern wird der Zähler und der Nenner gleich behandelt. Wenn ein Ganzes in mehr Teile zerlegt wird, werden diese Teile kleiner. Gleichzeitig braucht man entsprechend mehr Teile, um denselben Anteil darzustellen. Aus 12 wird zum Beispiel 24: Das Ganze ist nun in vier Teile geteilt, aber zwei Viertel sind immer noch eine Hälfte.

Mathematisch kann man das so begründen: 2344=812 und 44=1. Eine Zahl verändert ihren Wert nicht, wenn sie mit 1 multipliziert wird.


Erweitern auf einen vorgegebenen Nenner

Oft soll ein Bruch so erweitert werden, dass ein bestimmter Nenner entsteht. Dazu fragst Du: Mit welcher Zahl muss ich den alten Nenner multiplizieren, damit der neue Nenner entsteht?

Beispiel: 35 soll den Nenner 20 bekommen.

Da 54=20, musst Du auch den Zähler mit 4 multiplizieren: 35=3454=1220.


Erweitern beim Vergleichen von Brüchen

Brüche lassen sich besonders leicht vergleichen, wenn sie denselben Nenner haben. Solche Brüche heißen gleichnamige Brüche. Dann vergleichst Du nur die Zähler.

Beispiel: 23 und 34 sollen verglichen werden. Ein gemeinsamer Nenner ist 12.

23=812 und 34=912. Weil 8<9, gilt 23<34.


Brüche kürzen


Bedeutung des Kürzens

Beim Kürzen eines Bruchs dividierst Du den Zähler und den Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler. Der Bruchwert bleibt gleich. Kürzen ist also das Gegenteil des Erweiterns.

Allgemein gilt: ab=a:cb:c, wenn c ein gemeinsamer Teiler von a und b ist, b0 und c0.

Beispiel: 1218=12:618:6=23

Der Bruch 1218 wurde durch 6 gekürzt. Der vollständig gekürzte Bruch ist 23.


Gemeinsame Teiler finden

Ein Teiler einer Zahl ist eine Zahl, durch die man ohne Rest teilen kann. Um einen Bruch zu kürzen, suchst Du eine Zahl, die sowohl den Zähler als auch den Nenner teilt.

Beispiel: 18 und 24 haben unter anderem die gemeinsamen Teiler 2, 3 und 6. Deshalb kann man 1824 durch 6 kürzen: 1824=34.


Der größte gemeinsame Teiler

Der größte gemeinsame Teiler wird oft mit ggT abgekürzt. Wenn Du mit dem ggT kürzt, erhältst Du den vollständig gekürzten Bruch in einem Schritt.

Beispiel: Die Teiler von 30 sind 1,2,3,5,6,10,15,30. Die Teiler von 42 sind 1,2,3,6,7,14,21,42. Der größte gemeinsame Teiler ist 6. Deshalb gilt: 3042=30:642:6=57.


Schrittweise kürzen

Du musst nicht immer sofort den größten gemeinsamen Teiler erkennen. Du darfst auch schrittweise kürzen.

Beispiel: 2436

Zuerst durch 2 kürzen: 2436=1218

Noch einmal durch 2 kürzen: 1218=69

Jetzt durch 3 kürzen: 69=23

Das Ergebnis ist wieder 23. Schrittweises Kürzen ist erlaubt, solange Du Zähler und Nenner immer durch denselben Teiler teilst.


Vollständig gekürzte Brüche

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 mehr haben. Dann sind Zähler und Nenner teilerfremd.

Beispiele: 35 ist vollständig gekürzt, weil 3 und 5 keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben. 68 ist nicht vollständig gekürzt, weil beide Zahlen durch 2 teilbar sind. Es gilt 68=34.


Kürzen und Erweitern im Zusammenhang


Umkehraufgaben erkennen

Erweitern und Kürzen sind Umkehroperationen. Wenn Du einen Bruch erweiterst, kannst Du ihn durch denselben Faktor wieder kürzen.

Beispiel: 37 wird mit 5 erweitert: 37=1535.

Wenn Du 1535 durch 5 kürzt, erhältst Du wieder: 1535=37.


Brüche auf denselben Nenner bringen

Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen brauchst Du häufig einen gemeinsamen Nenner. Dafür nutzt Du das Erweitern.

Beispiel: 14+16

Ein gemeinsamer Nenner ist 12. Deshalb erweiterst Du: 14=312 und 16=212.

Dann kannst Du addieren: 312+212=512.


Brüche ordnen und vergleichen

Beim Ordnen von Brüchen hilft ein gemeinsamer Nenner. So kannst Du mehrere Brüche auf eine gemeinsame Schreibweise bringen.

Beispiel: Ordne 12, 23 und 34.

Ein gemeinsamer Nenner ist 12: 12=612, 23=812, 34=912.

Also gilt: 12<23<34.


Typische Fehler und wie Du sie vermeidest


Nur Zähler oder nur Nenner verändern

Ein häufiger Fehler ist, nur den Zähler oder nur den Nenner zu verändern. Das verändert den Bruchwert.

Falsch: 2545

Richtig: 25=410, weil Zähler und Nenner mit 2 multipliziert wurden.


Mit verschiedenen Zahlen rechnen

Beim Kürzen und Erweitern müssen Zähler und Nenner immer mit derselben Zahl behandelt werden.

Falsch: 34612, wenn man oben mit 2 und unten mit 3 rechnet.

Richtig: 34=68, wenn man mit 2 erweitert.


Kürzen über Plus oder Minus hinweg

Kürzen bedeutet, gemeinsame Faktoren zu teilen. Du darfst nicht einfach einzelne Summanden streichen, wenn ein Plus oder Minus dazwischensteht.

Bei Brüchen wie 6+42 musst Du zuerst den Zähler berechnen oder die Rechenregeln genau beachten. Für Klasse 5-6 ist wichtig: Kürze nur, wenn Du sicher bist, dass Zähler und Nenner durch denselben Faktor teilbar sind.


Rechenstrategien


Strategie zum Erweitern

  1. Nenner prüfen: Überlege, welcher neue Nenner entstehen soll.
  2. Erweiterungsfaktor finden: Teile den neuen Nenner durch den alten Nenner.
  3. Zähler und Nenner multiplizieren: Multipliziere beide mit demselben Faktor.
  4. Ergebnis kontrollieren: Prüfe, ob der Bruchwert plausibel gleich geblieben ist.


Strategie zum Kürzen

  1. Teilbarkeit prüfen: Suche gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner.
  2. Gemeinsamen Teiler wählen: Nutze möglichst den größten gemeinsamen Teiler.
  3. Zähler und Nenner dividieren: Teile beide durch denselben Teiler.
  4. Endform prüfen: Kontrolliere, ob noch ein gemeinsamer Teiler größer als 1 vorhanden ist.


Beispiele mit Lösungen


Beispiel 1: Einen Bruch erweitern

Erweitere 49 mit 3.

49=4393=1227

Der erweiterte Bruch lautet 1227.


Beispiel 2: Einen Bruch kürzen

Kürze 1525 vollständig.

Der größte gemeinsame Teiler von 15 und 25 ist 5.

1525=15:525:5=35

Der vollständig gekürzte Bruch lautet 35.


Beispiel 3: Eine fehlende Zahl ergänzen

Ergänze die fehlende Zahl: 27=?35

Da 75=35, musst Du den Zähler ebenfalls mit 5 multiplizieren: 25=10.

Also gilt: 27=1035.


Beispiel 4: Zwei Brüche vergleichen

Vergleiche 58 und 34.

Erweitere 34 auf den Nenner 8: 34=68.

Nun vergleichst Du: 58<68.

Also gilt: 58<34.


Interaktive Aufgaben


Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet es, einen Bruch zu erweitern? (Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren) (!Nur den Zähler vergrößern) (!Nur den Nenner vergrößern) (!Zähler und Nenner addieren)




Welcher Bruch entsteht, wenn man 2/3 mit 4 erweitert? (8/12) (!6/7) (!2/12) (!8/3)




Welcher Bruch entsteht, wenn man 6/9 durch 3 kürzt? (2/3) (!3/2) (!6/3) (!9/6)




Warum bleibt der Bruchwert beim Erweitern gleich? (Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert) (!Nur der Zähler verändert sich) (!Der Nenner wird immer kleiner) (!Der Bruch wird automatisch größer)




Wann ist ein Bruch vollständig gekürzt? (Zähler und Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1) (!Der Zähler ist größer als der Nenner) (!Der Nenner ist eine gerade Zahl) (!Der Bruch enthält keine Zahl kleiner als 10)




Wozu ist ein gemeinsamer Nenner besonders nützlich? (Zum Vergleichen und Addieren von Brüchen) (!Zum Weglassen des Zählers) (!Zum Verändern des Bruchwerts) (!Zum Teilen durch null)




Wie lautet 12/18 vollständig gekürzt? (2/3) (!3/2) (!6/9) (!4/6)




Wie heißt die Zahl oberhalb des Bruchstrichs? (Zähler) (!Nenner) (!Teiler) (!Faktor)




Wie heißt die Zahl unterhalb des Bruchstrichs? (Nenner) (!Zähler) (!Summand) (!Differenz)




Welcher Bruch ist gleichwertig zu 3/5? (6/10) (!3/10) (!6/5) (!5/3)





Memory

Zähler Zahl oberhalb des Bruchstrichs
Nenner Zahl unterhalb des Bruchstrichs
Erweitern Multiplikation mit demselben Faktor
Kürzen Division durch denselben Teiler
Gleichwertige Brüche Gleicher Punkt auf dem Zahlenstrahl
ggT Größter gemeinsamer Teiler





Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu. Thema
Erweitern Zähler und Nenner multiplizieren
Kürzen Zähler und Nenner dividieren
Gleichwertig gleicher Bruchwert
Hauptnenner gemeinsamer Nenner
Vollständig gekürzt kein gemeinsamer Teiler außer eins






Kreuzworträtsel

Zaehler Wie heißt die Zahl oberhalb des Bruchstrichs?
Nenner Wie heißt die Zahl unterhalb des Bruchstrichs?
Kuerzen Wie heißt das Vereinfachen eines Bruchs durch Division?
Erweitern Wie heißt das Verändern eines Bruchs durch Multiplikation?
Teiler Wie heißt eine Zahl, durch die eine andere Zahl ohne Rest teilbar ist?
Bruchwert Wie nennt man den Wert eines Bruchs unabhängig von seiner Schreibweise?





LearningApps


Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Zahl oberhalb des Bruchstrichs heißt

. Die Zahl unterhalb des Bruchstrichs heißt

. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben

multipliziert. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch denselben

dividiert. Der Bruchwert bleibt erhalten, weil sich der Quotient

ändert. Zwei gleichwertige Brüche markieren auf dem Zahlenstrahl denselben

. Ein vollständig gekürzter Bruch hat keinen gemeinsamen Teiler größer als

. Ein gemeinsamer Nenner hilft besonders beim Vergleichen und

von Brüchen. Mit dem größten gemeinsamen Teiler kann man einen Bruch oft in einem Schritt

.




Offene Aufgaben


Leicht

  1. Bruchbilder zeichnen: Zeichne drei Rechtecke oder Kreise und stelle jeweils 12, 24 und 48 dar. Beschreibe, warum alle drei Bilder denselben Anteil zeigen.
  2. Kürzungswege sammeln: Finde fünf Brüche, die man kürzen kann, und notiere jeweils den gemeinsamen Teiler.
  3. Erweiterungstabelle erstellen: Erstelle eine Tabelle zu 25 mit den Erweiterungsfaktoren 2, 3, 4 und 10.
  4. Alltagsbrüche suchen: Fotografiere oder zeichne drei Situationen aus dem Alltag, in denen Brüche vorkommen, zum Beispiel Pizza, Tafel Schokolade oder Messbecher.


Standard

  1. Zahlenstrahl gestalten: Zeichne einen Zahlenstrahl von 0 bis 1 und trage mindestens acht gleichwertige Brüche ein.
  2. Partnerinterview Brüche: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler, wie sie oder er beim Kürzen vorgeht, und vergleiche diese Strategie mit Deiner eigenen.
  3. Fehlerdetektiv: Erfinde sechs fehlerhafte Rechnungen zum Kürzen oder Erweitern und schreibe jeweils eine verständliche Korrektur dazu.
  4. Bruchvergleich erklären: Erkläre schriftlich, wie man 35 und 710 durch Erweitern vergleichen kann.


Schwer

  1. Erklärvideo produzieren: Erstelle ein kurzes Video, in dem Du den Unterschied zwischen Kürzen und Erweitern mit einem selbst gewählten Beispiel erklärst.
  2. Lernplakat entwickeln: Gestalte ein Lernplakat mit Definitionen, Beispielen, typischen Fehlern und einer Merkhilfe zum Thema.
  3. Spiel zu Bruchfamilien: Entwickle ein Kartenspiel, bei dem gleichwertige Brüche gefunden und begründet werden müssen.
  4. Forscherauftrag ggT: Untersuche, wie der größte gemeinsame Teiler beim vollständigen Kürzen hilft, und erkläre Deine Methode an mindestens fünf Beispielen.



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Lernkontrolle

  1. Begründung des Bruchwerts: Erkläre an einem selbst gewählten Bild, warum 23 und 812 denselben Bruchwert haben.
  2. Transfer auf Alltagssituationen: Eine Schokolade hat 24 Stücke. Jemand isst 6 Stücke. Stelle den Anteil als Bruch dar und kürze ihn. Erkläre, was das Ergebnis bedeutet.
  3. Strategievergleich: Vergleiche schrittweises Kürzen mit dem Kürzen durch den größten gemeinsamen Teiler. Nenne Vorteile und mögliche Schwierigkeiten.
  4. Fehleranalyse: Eine Person schreibt 34=612. Erkläre, warum das falsch ist, und formuliere die richtige Erweiterung mit dem Faktor 2.
  5. Anwendung beim Vergleichen: Entscheide, ob 56 oder 79 größer ist. Nutze einen gemeinsamen Nenner und begründe Deinen Weg.
  6. Eigene Regel formulieren: Formuliere eine Merkhilfe, mit der jüngere Lernende den Unterschied zwischen Kürzen und Erweitern verstehen können.


Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis erstellst Du ein kleines Portfolio zum Thema Brüche kürzen und erweitern. Es enthält eine eigene Erklärung mit mindestens zwei Beispielen, ein selbst gezeichnetes Bruchbild, eine Fehleranalyse und eine kurze Reflexion darüber, welche Strategie Dir beim Kürzen am besten hilft. Achte darauf, dass jede Rechnung nachvollziehbar und jede Begründung in eigenen Worten formuliert ist.


OERs zum Thema



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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
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Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).

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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
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Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).

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  1. Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist
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  2. Woyzeck - Georg Büchner
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  4. Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht
  5. Heimsuchung - Jenny Erpenbeck
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