Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln - aiMOOC

Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln

Einleitung

Teilbarkeit ist ein Grundbegriff der Arithmetik. Du verwendest ihn immer dann, wenn Du prüfen willst, ob eine natürliche Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl geteilt werden kann. In diesem aiMOOC lernst Du, was Teiler, Vielfache, Primzahl, Primfaktorzerlegung, Quersumme und Teilbarkeitsregel bedeuten. Du übst außerdem, Teilbarkeit schnell zu erkennen, Teilermengen zu bestimmen und eigene Begründungen zu formulieren.

Im Alltag brauchst Du Teilbarkeit zum Beispiel beim gerechten Verteilen, beim Bilden von Gruppen, beim Kürzen von Brüchen, beim Rechnen mit Maßeinheiten, bei Mustern in Zahlenfolgen und später in der Algebra. Teilbarkeitsregeln helfen Dir, Zahlen zu untersuchen, ohne immer eine vollständige schriftliche Division durchführen zu müssen.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Teilbarkeit: erklären, wann eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist.
Teiler und Vielfache: bestimmen und unterscheiden.
Teilermenge: für einfache Zahlen vollständig angeben.
Teilbarkeitsregel: Regeln für 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 und 100 anwenden.
Quersumme: bilden und für Teilbarkeitsregeln nutzen.
Primzahl und Primfaktorzerlegung: mit Teilbarkeit verbinden.
Begründung: einfache Teilbarkeitsregeln mit dem Stellenwertsystem erklären.
Fehleranalyse: falsche Aussagen zur Teilbarkeit erkennen und verbessern.

Grundidee der Teilbarkeit

Eine Zahl $a$ ist durch eine Zahl $b$ teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt. Man schreibt:

$b ∣ a$

Das liest Du: b teilt a oder a ist durch b teilbar.

Beispiel:

$3 ∣ 18$ , denn $18 : 3 = 6$ ohne Rest.

Nicht richtig wäre:

$5 ∣ 18$ , denn $18 : 5 = 3$ Rest $3$ .

Mathematisch bedeutet Teilbarkeit:

$b ∣ a ⟺ Es gibt eine ganze Zahl k mit a = b \cdot k .$

Für Klasse 5-6 genügt oft die Formulierung: Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn das Ergebnis eine ganze Zahl ist und kein Rest bleibt.

Teiler und Vielfache

Ein Teiler einer Zahl ist eine Zahl, durch die man ohne Rest teilen kann. Ein Vielfaches einer Zahl entsteht, wenn man diese Zahl mit einer natürlichen Zahl multipliziert.

Beispiel zur Zahl $12$ :

Teiler von $12$ : $1, 2, 3, 4, 6, 12$
Vielfache von $12$ : $12, 24, 36, 48, 60, \dots$

Die Teilermenge von $12$ schreibt man:

$T_{12} = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$

Die Vielfachenmenge von $12$ beginnt so:

$V_{12} = {12, 24, 36, 48, 60, \dots}$

Der wichtigste Unterschied lautet: Eine Zahl hat nur endlich viele positive Teiler, aber unendlich viele Vielfache.

Das Bild zeigt Beziehungen zwischen Teilern der Zahl $12$ . Solche Darstellungen helfen Dir zu sehen, welche Zahlen andere Zahlen teilen.

Division mit Rest

Wenn eine Zahl nicht ohne Rest teilbar ist, entsteht bei der Division ein Rest. Jede Division natürlicher Zahlen kann so beschrieben werden:

$a = b \cdot q + r$

Dabei ist $a$ die Zahl, die geteilt wird, $b$ der Teiler, $q$ das Ergebnis ohne Rest und $r$ der Rest. Der Rest ist immer kleiner als der Teiler:

$0 \leq r < b$

Beispiel:

$29 : 6 = 4$ Rest $5$

Denn:

$29 = 6 \cdot 4 + 5$

Da der Rest nicht $0$ ist, gilt:

$6 ∤ 29$

Warum Teilbarkeitsregeln nützlich sind

Teilbarkeitsregeln sind kurze Prüfverfahren. Du musst nicht immer die ganze Division ausführen. Stattdessen schaust Du zum Beispiel auf die letzte Ziffer, die letzten zwei Ziffern oder die Quersumme.

Beispiel:

Ist $7 236$ durch $3$ teilbar?

Du bildest die Quersumme:

$7 + 2 + 3 + 6 = 18$

Da $18$ durch $3$ teilbar ist, ist auch $7 236$ durch $3$ teilbar.

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Das Stellenwertsystem als Grundlage

Unsere Zahlen werden im Dezimalsystem geschrieben. Jede Stelle hat einen Wert:

Einer: $1$
Zehner: $10$
Hunderter: $100$
Tausender: $1000$

Die Zahl $4 582$ bedeutet:

$4 582 = 4 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 2$

Viele Teilbarkeitsregeln funktionieren, weil die Zehnerpotenzen besondere Reste haben. Zum Beispiel sind $10, 100, 1000$ alle durch $2$ , $5$ und $10$ teilbar. Deshalb reicht bei diesen Regeln oft ein Blick auf die letzte Ziffer.

Wichtige Teilbarkeitsregeln

Teilbarkeit durch 2

Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist.

Gerade Endziffern sind:

$0, 2, 4, 6, 8$

Beispiele:

$846$ ist durch $2$ teilbar, weil die letzte Ziffer $6$ ist.
$913$ ist nicht durch $2$ teilbar, weil die letzte Ziffer $3$ ist.

Eine Zahl, die durch $2$ teilbar ist, nennt man gerade Zahl. Eine Zahl, die nicht durch $2$ teilbar ist, nennt man ungerade Zahl.

Teilbarkeit durch 3

Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern.

Beispiel:

$5 724$

$5 + 7 + 2 + 4 = 18$

Da $18$ durch $3$ teilbar ist, ist $5 724$ durch $3$ teilbar.

Warum funktioniert das? Im Dezimalsystem gilt:

$10 = 9 + 1$

$100 = 99 + 1$

$1000 = 999 + 1$

Die Zahlen $9, 99, 999$ sind durch $3$ teilbar. Deshalb bleibt für die Teilbarkeit durch $3$ im Grunde die Summe der Ziffern entscheidend.

Teilbarkeit durch 4

Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn die Zahl aus ihren letzten beiden Ziffern durch $4$ teilbar ist.

Beispiele:

$3 516$ ist durch $4$ teilbar, denn $16$ ist durch $4$ teilbar.
$8 734$ ist nicht durch $4$ teilbar, denn $34$ ist nicht durch $4$ teilbar.

Warum reichen die letzten beiden Ziffern? Weil $100$ , $200$ , $300$ und alle höheren Hunderter durch $4$ teilbar sind. Entscheidend bleibt daher der Rest aus Zehnern und Einern.

Teilbarkeit durch 5

Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer $0$ oder $5$ ist.

Beispiele:

$1 245$ ist durch $5$ teilbar.
$7 910$ ist durch $5$ teilbar.
$3 412$ ist nicht durch $5$ teilbar.

Teilbarkeit durch 6

Eine Zahl ist durch $6$ teilbar, wenn sie gleichzeitig durch $2$ und durch $3$ teilbar ist.

Beispiel:

$4 218$

Die letzte Ziffer ist $8$ , also ist die Zahl durch $2$ teilbar.

Die Quersumme ist:

$4 + 2 + 1 + 8 = 15$

$15$ ist durch $3$ teilbar. Also ist $4 218$ durch $6$ teilbar.

Teilbarkeit durch 8

Eine Zahl ist durch $8$ teilbar, wenn die Zahl aus ihren letzten drei Ziffern durch $8$ teilbar ist.

Beispiele:

$12 536$ ist durch $8$ teilbar, denn $536 : 8 = 67$ .
$4 218$ ist nicht durch $8$ teilbar, denn $218$ ist nicht durch $8$ teilbar.

Der Grund ist ähnlich wie bei der Regel für $4$ : Alle Tausender sind durch $8$ teilbar, denn $1000 : 8 = 125$ .

Teilbarkeit durch 9

Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist.

Beispiel:

$8 379$

$8 + 3 + 7 + 9 = 27$

Da $27$ durch $9$ teilbar ist, ist $8 379$ durch $9$ teilbar.

Die Regel ist ähnlich wie bei $3$ , weil $9, 99, 999$ durch $9$ teilbar sind.

Teilbarkeit durch 10, 100 und 1000

Eine Zahl ist durch $10$ teilbar, wenn sie auf $0$ endet.

Eine Zahl ist durch $100$ teilbar, wenn sie auf $00$ endet.

Eine Zahl ist durch $1000$ teilbar, wenn sie auf $000$ endet.

Beispiele:

$5 430$ ist durch $10$ teilbar.
$72 800$ ist durch $100$ teilbar.
$91 000$ ist durch $1000$ teilbar.

Teilbarkeit durch 11

Eine Zahl ist durch $11$ teilbar, wenn die Differenz zwischen der Summe der Ziffern an ungeraden Stellen und der Summe der Ziffern an geraden Stellen durch $11$ teilbar ist. Diese Differenz darf auch $0$ sein.

Beispiel:

$2 728$

Von rechts gezählt:

Ungerade Stellen: $8$ und $7$ , Summe $15$
Gerade Stellen: $2$ und $2$ , Summe $4$

Differenz:

$15 - 4 = 11$

Da $11$ durch $11$ teilbar ist, ist $2 728$ durch $11$ teilbar.

Teilbarkeit durch 25

Eine Zahl ist durch $25$ teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern $00$ , $25$ , $50$ oder $75$ sind.

Beispiele:

$1 275$ ist durch $25$ teilbar.
$6 450$ ist durch $25$ teilbar.
$8 412$ ist nicht durch $25$ teilbar.

Übersicht wichtiger Regeln

Teiler	Regel	Beispiel
$2$	letzte Ziffer ist $0, 2, 4, 6, 8$	$438$
$3$	Quersumme ist durch $3$ teilbar	$741$ , denn $7 + 4 + 1 = 12$
$4$	letzte zwei Ziffern sind durch $4$ teilbar	$1 228$ , denn $28$ ist durch $4$ teilbar
$5$	letzte Ziffer ist $0$ oder $5$	$935$
$6$	durch $2$ und $3$ teilbar	$1 254$
$8$	letzte drei Ziffern sind durch $8$ teilbar	$5 128$
$9$	Quersumme ist durch $9$ teilbar	$6 561$ , denn $6 + 5 + 6 + 1 = 18$
$10$	letzte Ziffer ist $0$	$780$
$11$	alternierende Quersumme ist durch $11$ teilbar	$2 728$
$25$	Endung $00, 25, 50, 75$	$3 675$

Teilermengen bestimmen

Systematisches Vorgehen

Um alle Teiler einer Zahl zu finden, gehst Du geordnet vor. Du prüfst Zahlen von $1$ aufwärts. Sobald Du einen Teiler findest, gehört der passende Partnerteiler ebenfalls dazu.

Beispiel: Teilermenge von $36$

$1 \cdot 36 = 36$ , also sind $1$ und $36$ Teiler.
$2 \cdot 18 = 36$ , also sind $2$ und $18$ Teiler.
$3 \cdot 12 = 36$ , also sind $3$ und $12$ Teiler.
$4 \cdot 9 = 36$ , also sind $4$ und $9$ Teiler.
$6 \cdot 6 = 36$ , also ist $6$ ein Teiler.

Damit gilt:

$T_{36} = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}$

Achte darauf, keine Teiler zu vergessen und keine Zahl doppelt aufzuschreiben.

Partnerteiler

Partnerteiler sind zwei Zahlen, deren Produkt die gesuchte Zahl ergibt.

Für $48$ sind zum Beispiel $6$ und $8$ Partnerteiler, denn:

$6 \cdot 8 = 48$

Wer Partnerteiler nutzt, findet Teilermengen schneller und übersichtlicher.

Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen

Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler: $1$ und sich selbst.

Beispiele:

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, weil sie nur einen positiven Teiler hat.

Eine zusammengesetzte Zahl hat mehr als zwei positive Teiler. Beispiele sind $4, 6, 8, 9, 10, 12$ .

Primfaktorzerlegung

Bei der Primfaktorzerlegung zerlegst Du eine Zahl in ein Produkt aus Primzahlen.

Beispiel:

$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$

Kurzschreibweise:

$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

Die Primfaktorzerlegung zeigt Dir, aus welchen grundlegenden Bausteinen eine Zahl zusammengesetzt ist. Sie hilft beim Finden von Teilern, beim Kürzen von Brüchen und später beim kleinsten gemeinsamen Vielfachen und größten gemeinsamen Teiler.

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Teilbarkeit begründen

Beispiel: Warum funktioniert die Regel für 2?

Jede Zahl kann in Zehner und Einer zerlegt werden. Zum Beispiel:

$4 386 = 438 \cdot 10 + 6$

Da $10$ durch $2$ teilbar ist, ist auch $438 \cdot 10$ durch $2$ teilbar. Für die Teilbarkeit der ganzen Zahl entscheidet nur noch der Einer. Deshalb reicht die letzte Ziffer.

Beispiel: Warum funktioniert die Regel für 5?

Auch hier gilt:

$4 385 = 438 \cdot 10 + 5$

Da $10$ durch $5$ teilbar ist, entscheidet die letzte Ziffer. Nur $0$ und $5$ ergeben bei einer Zahl im Dezimalsystem eine Teilbarkeit durch $5$ .

Beispiel: Warum funktioniert die Regel für 3?

Nimm die Zahl $a b c$ als dreistellige Zahl. Sie bedeutet:

$100 a + 10 b + c$

Nun kann man schreiben:

$100 a + 10 b + c = 99 a + 9 b + a + b + c$

Die Teile $99 a$ und $9 b$ sind durch $3$ teilbar. Übrig bleibt für die Prüfung die Quersumme:

$a + b + c$

Darum ist eine Zahl genau dann durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Fehler 1: Teiler und Vielfache verwechseln

Falsch: $48$ ist ein Teiler von $6$ .

Richtig: $48$ ist ein Vielfaches von $6$ , denn $6 \cdot 8 = 48$ . Die Zahl $6$ ist ein Teiler von $48$ .

Fehler 2: Nur die letzte Ziffer betrachten, obwohl das nicht reicht

Für Teilbarkeit durch $3$ oder $9$ reicht die letzte Ziffer nicht. Du brauchst die Quersumme.

Beispiel:

$123$ endet auf $3$ , aber die Regel lautet nicht: Ende $3$ . Du bildest:

$1 + 2 + 3 = 6$

Da $6$ durch $3$ teilbar ist, ist $123$ durch $3$ teilbar.

Fehler 3: Die Regel für 6 unvollständig anwenden

Eine Zahl ist nicht schon durch $6$ teilbar, wenn sie nur durch $2$ teilbar ist. Sie muss durch $2$ und $3$ teilbar sein.

Beispiel:

$14$ ist durch $2$ teilbar, aber nicht durch $3$ . Also ist $14$ nicht durch $6$ teilbar.

Fehler 4: Bei Teilbarkeit durch 4 nur die letzte Ziffer prüfen

Für $4$ prüfst Du die letzten beiden Ziffern.

Beispiel:

$312$ endet auf $2$ . Die letzte Ziffer allein hilft nicht. Die letzten zwei Ziffern sind $12$ . Da $12$ durch $4$ teilbar ist, ist $312$ durch $4$ teilbar.

Beispiele zum Mitdenken

Beispiel 1: Ist 8 145 durch 5 teilbar?

Die letzte Ziffer ist $5$ . Deshalb ist $8 145$ durch $5$ teilbar.

Beispiel 2: Ist 6 732 durch 9 teilbar?

Quersumme:

$6 + 7 + 3 + 2 = 18$

Da $18$ durch $9$ teilbar ist, ist $6 732$ durch $9$ teilbar.

Beispiel 3: Ist 12 348 durch 6 teilbar?

Die Zahl endet auf $8$ , also ist sie durch $2$ teilbar.

Quersumme:

$1 + 2 + 3 + 4 + 8 = 18$

Da $18$ durch $3$ teilbar ist, ist die Zahl auch durch $3$ teilbar. Deshalb ist $12 348$ durch $6$ teilbar.

Beispiel 4: Bestimme die Teilermenge von 24

Partnerteiler:

$1 \cdot 24$ , $2 \cdot 12$ , $3 \cdot 8$ , $4 \cdot 6$

Also:

$T_{24} = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann ist eine Zahl durch 2 teilbar? (Wenn ihre letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist) (!Wenn ihre Quersumme gerade ist) (!Wenn sie mindestens zwei Ziffern hat) (!Wenn sie auf 5 endet)

Welche Aussage zur Teilbarkeit ist richtig? (24 ist durch 6 teilbar) (!24 ist durch 7 teilbar) (!24 ist durch 5 teilbar) (!24 ist durch 9 teilbar)

Welche Quersumme hat die Zahl 5 418? (18) (!17) (!19) (!20)

Wann ist eine Zahl durch 3 teilbar? (Wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist) (!Wenn ihre letzte Ziffer 3 ist) (!Wenn sie drei Stellen hat) (!Wenn ihre erste Ziffer durch 3 teilbar ist)

Welche Zahl ist durch 5 teilbar? (740) (!742) (!743) (!746)

Welche Teilermenge gehört zur Zahl 10? (1, 2, 5, 10) (!1, 3, 5, 10) (!2, 4, 6, 10) (!1, 2, 4, 10)

Wann ist eine Zahl durch 4 teilbar? (Wenn die letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden) (!Wenn die letzte Ziffer durch 4 teilbar ist) (!Wenn die Quersumme durch 4 teilbar ist) (!Wenn die Zahl auf 4 endet)

Welche Zahl ist eine Primzahl? (13) (!1) (!15) (!21)

Welche Regel prüft Teilbarkeit durch 9? (Die Quersumme muss durch 9 teilbar sein) (!Die letzte Ziffer muss 9 sein) (!Die letzten zwei Ziffern müssen 09 sein) (!Die Zahl muss ungerade sein)

Wann ist eine Zahl durch 6 teilbar? (Wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist) (!Wenn sie auf 6 endet) (!Wenn ihre Quersumme 6 ist) (!Wenn ihre letzte Ziffer gerade ist)

Memory

Teiler	Zahl, durch die ohne Rest geteilt werden kann
Vielfaches	Ergebnis einer Multiplikation mit einer natürlichen Zahl
Quersumme	Summe aller Ziffern einer Zahl
Primzahl	Zahl mit genau zwei positiven Teilern
Rest	Übrigbleibender Teil bei einer nicht aufgehenden Division
Teilermenge	Menge aller positiven Teiler einer Zahl

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Endziffer gerade	Teilbarkeit durch 2
Quersumme durch 3 teilbar	Teilbarkeit durch 3
Letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar	Teilbarkeit durch 4
Endziffer 0 oder 5	Teilbarkeit durch 5
Quersumme durch 9 teilbar	Teilbarkeit durch 9

Kreuzworträtsel

Teiler	Wie nennt man eine Zahl, durch die ohne Rest geteilt werden kann?
Rest	Was bleibt bei einer nicht aufgehenden Division übrig?
Quersumme	Wie nennt man die Summe aller Ziffern einer Zahl?
Primzahl	Wie nennt man eine Zahl mit genau zwei positiven Teilern?
Vielfaches	Wie nennt man ein Ergebnis einer Multiplikation mit einer Zahl?
Division	Wie heißt die Rechenart des Teilens?

LearningApps

Lückentext

Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn beim Teilen kein

bleibt. Die Summe aller Ziffern einer Zahl nennt man

. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer

ist. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder

endet. Für die Teilbarkeit durch 3 prüfst Du, ob die Quersumme durch

teilbar ist. Für die Teilbarkeit durch 4 betrachtest Du die letzten

Ziffern. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch

teilbar ist. Eine Primzahl hat genau

positive Teiler.

Offene Aufgaben

Leicht

Teilbarkeitsregeln-Karte: Gestalte eine übersichtliche Lernkarte mit den Regeln für $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $9$ und $10$ . Schreibe zu jeder Regel ein eigenes Beispiel.
Teilermengen finden: Bestimme die Teilermengen von $12$ , $18$ , $20$ und $30$ . Markiere jeweils die Partnerteiler.
Quersummen-Training: Erfinde zehn vierstellige Zahlen und prüfe jeweils, ob sie durch $3$ und durch $9$ teilbar sind.
Gerade und ungerade Zahlen: Suche in Deiner Umgebung Zahlen, zum Beispiel Hausnummern, Preise oder Seitenzahlen, und ordne sie in gerade und ungerade Zahlen.

Standard

Teilbarkeit erklären: Erkläre schriftlich, warum bei der Teilbarkeit durch $4$ die letzten beiden Ziffern genügen.
Zahlenrätsel entwickeln: Erfinde fünf Zahlenrätsel, bei denen Teilbarkeitsregeln genutzt werden müssen. Schreibe auch Musterlösungen.
Fehler finden: Formuliere drei falsche Aussagen zur Teilbarkeit und verbessere sie mit einer Begründung.
Primzahlen untersuchen: Erstelle eine Tabelle der Zahlen von $1$ bis $50$ . Markiere Primzahlen, zusammengesetzte Zahlen und die Zahl $1$ jeweils unterschiedlich.

Schwer

Eigene Teilbarkeitsregel begründen: Begründe mit dem Stellenwertsystem, warum die Regel für die Teilbarkeit durch $9$ funktioniert.
Teilermengen vergleichen: Vergleiche die Teilermengen von $24$ , $36$ und $48$ . Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede.
Primfaktorzerlegung anwenden: Zerlege $72$ , $84$ , $96$ und $120$ in Primfaktoren und leite daraus jeweils mehrere Teiler ab.
Mathe-Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zu einer Teilbarkeitsregel. Nutze ein eigenes Beispiel und erkläre auch, warum die Regel funktioniert.

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Lernkontrolle

Transferaufgabe Teilbarkeit: Eine Klasse mit $28$ Lernenden soll Gruppen gleicher Größe bilden. Untersuche alle möglichen Gruppengrößen ohne Rest und erkläre, wie Du sie gefunden hast.
Begründung statt Merksatz: Erkläre an der Zahl $3 456$ , warum sie durch $3$ teilbar ist, und begründe Deine Entscheidung mit der Quersumme.
Fehleranalyse Teilbarkeitsregel: Eine Schülerin sagt: „Eine Zahl ist durch $4$ teilbar, wenn sie gerade ist.“ Widerlege die Aussage mit einem Gegenbeispiel und formuliere die richtige Regel.
Zahlen konstruieren: Konstruiere eine vierstellige Zahl, die durch $2$ , $3$ und $5$ teilbar ist, aber nicht durch $9$ . Begründe Deine Wahl.
Alltagsproblem Verteilung: Für ein Schulfest sollen $96$ Getränke gleichmäßig auf Kisten verteilt werden. Vergleiche mehrere mögliche Kistengrößen und erkläre, welche ohne Rest funktionieren.
Regeln kombinieren: Prüfe, ob $12 870$ durch $6$ , $9$ , $10$ und $25$ teilbar ist. Notiere zu jeder Entscheidung die passende Regel.

Lernnachweis

Bearbeite die folgenden Aufgaben schriftlich in ganzen Sätzen. Verwende bei Rechnungen sinnvolle mathematische Schreibweisen und begründe jede Entscheidung.

Teilbarkeit nachweisen: Zeige mit einer Rechnung der Form $a = b \cdot k$ , dass $84$ durch $7$ teilbar ist.
Teilbarkeit widerlegen: Zeige mit einer Division mit Rest, dass $95$ nicht durch $6$ teilbar ist.
Teilermenge bilden: Bestimme die vollständige Teilermenge von $42$ und beschreibe Dein Vorgehen.
Regelanwendung: Prüfe die Zahl $7 425$ auf Teilbarkeit durch $3$ , $5$ , $9$ und $25$ .
Eigene Begründung: Erkläre, warum jede Zahl, die durch $10$ teilbar ist, auch durch $2$ und durch $5$ teilbar ist.

OERs zum Thema

Links

Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln

Zusammenfassung

Teilbarkeit bedeutet, dass beim Teilen kein Rest bleibt. Eine Zahl $a$ ist durch eine Zahl $b$ teilbar, wenn es eine ganze Zahl $k$ gibt mit $a = b \cdot k$ . Teiler sind Zahlen, durch die eine Zahl ohne Rest geteilt werden kann. Vielfache entstehen durch Multiplikation. Teilbarkeitsregeln helfen Dir, schnell zu prüfen, ob eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist. Besonders wichtig sind die Regeln über Endziffern, letzte zwei oder drei Ziffern und die Quersumme. Wer Teilbarkeit versteht, kann besser mit Brüchen, Primzahlen, gemeinsamen Teilern und Vielfachen arbeiten.

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.