Schriftliche Addition und Subtraktion - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Schriftliche Addition und Subtraktion

Einleitung

Die schriftliche Addition und die schriftliche Subtraktion gehören zu den wichtigsten Rechenverfahren der Arithmetik. Sie helfen Dir, auch große Zahlen sicher, übersichtlich und überprüfbar zu berechnen. Im Mittelpunkt steht das Stellenwertsystem: Einer stehen unter Einern, Zehner unter Zehnern, Hunderter unter Hundertern und so weiter. Wenn die Stellen richtig ausgerichtet sind, kannst Du die Rechnung Schritt für Schritt von rechts nach links ausführen.

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du schriftlich addierst und subtrahierst, wie ein Übertrag entsteht, wie das Entbündeln bei der Subtraktion funktioniert, wie Du Rechenfehler erkennst und wie Du die Ergebnisse durch Überschlagsrechnung, Probe und Umkehraufgabe kontrollierst. Die Beispiele nutzen die MediaWiki-Extension Math, damit Rechenverfahren sauber dargestellt werden können.

Der Abakus zeigt anschaulich, warum Addieren und Subtrahieren mit Stellenwerten zusammenhängen: Einzelne Plättchen oder Perlen werden zusammengezählt, gebündelt oder weggenommen. Genau diese Idee steckt auch hinter den schriftlichen Rechenverfahren.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, warum die schriftliche Addition und Subtraktion funktionieren. Du kannst Zahlen stellengerecht untereinander schreiben, Überträge sicher beachten, bei der Subtraktion entbündeln, Rechnungen mit natürlichen Zahlen und Dezimalzahlen durchführen sowie Ergebnisse sinnvoll kontrollieren.

Grundbegriffe

Bei einer Addition heißen die Zahlen, die addiert werden, Summanden. Das Ergebnis heißt Summe.

$Summand+Summand=Summe$

Beispiel:

$347+128=475$

Bei einer Subtraktion heißt die Zahl, von der etwas abgezogen wird, Minuend. Die Zahl, die abgezogen wird, heißt Subtrahend. Das Ergebnis heißt Differenz.

$Minuend-Subtrahend=Differenz$

Beispiel:

$475-128=347$

Die Addition und die Subtraktion sind Umkehroperationen. Das bedeutet: Du kannst eine Subtraktion oft durch eine passende Addition kontrollieren.

$475-128=347$

Probe:

$347+128=475$

Das Stellenwertsystem als Grundlage

Im Dezimalsystem hat jede Ziffer einen Wert, der von ihrer Position abhängt. Die Zahl $5284$ besteht aus:

1. Tausender: $5\cdot 1000=5000$
2. Hunderter: $2\cdot 100=200$
3. Zehner: $8\cdot 10=80$
4. Einer: $4\cdot 1=4$

Die schriftlichen Rechenverfahren nutzen diese Stellenwerte aus. Deshalb ist es wichtig, die Zahlen exakt untereinander zu schreiben:

$\begin{array}{ccccc}& T& H& Z& E\end{array}$

Bei Dezimalzahlen muss das Komma unter dem Komma stehen. Fehlende Nachkommastellen kannst Du mit Nullen ergänzen, ohne den Wert der Zahl zu verändern.

$\mathrm{8,7}=\mathrm{8,70}$

Schriftliche Addition ohne Übertrag

Bei der schriftlichen Addition addierst Du von rechts nach links. Du beginnst also bei den Einern, gehst dann zu den Zehnern, dann zu den Hundertern und so weiter.

Beispiel:

$\begin{array}{cccc}& 2& 3& 4\\ +& 1& 2& 5\\ & 3& 5& 9\end{array}$

Erklärung:

1. Einer: $4+5=9$
2. Zehner: $3+2=5$
3. Hunderter: $2+1=3$

Das Ergebnis ist:

$234+125=359$

Schriftliche Addition mit Übertrag

Ein Übertrag entsteht, wenn die Summe in einer Stelle mindestens $10$ ergibt. Dann schreibst Du die Einerziffer in die Ergebniszeile und überträgst den Zehner in die nächste Stelle.

Beispiel:

$\begin{array}{cccc}& {}^1& {}^1& \\ & 3& 8& 7\\ +& 2& 7& 6\\ & 6& 6& 3\end{array}$

Erklärung:

1. Einer: $7+6=13$. Schreibe $3$, übertrage $1$ Zehner.
2. Zehner: $8+7+1=16$. Schreibe $6$, übertrage $1$ Hunderter.
3. Hunderter: $3+2+1=6$. Schreibe $6$.

Das Ergebnis ist:

$387+276=663$

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Schriftliche Addition mehrerer Zahlen

Du kannst auch mehr als zwei Zahlen schriftlich addieren. Dabei ist die stellengerechte Anordnung besonders wichtig.

Beispiel:

$\begin{array}{ccccc}& 1& 2& 4& 8\\ & & 3& 7& 6\\ +& 2& 0& 5& 9\\ & 3& 6& 8& 3\end{array}$

Kontrolle durch Zerlegung:

$1248+376+2059=3683$

Wenn mehrere Überträge entstehen, hilft es, sie klein und deutlich über die passende Stelle zu schreiben. Achte darauf, jeden Übertrag genau einmal mitzuzählen.

Schriftliche Subtraktion ohne Entbündeln

Bei der schriftlichen Subtraktion ziehst Du ebenfalls von rechts nach links ab. Du beginnst bei den Einern.

Beispiel:

$\begin{array}{cccc}& 6& 8& 5\\ -& 2& 3& 4\\ & 4& 5& 1\end{array}$

Erklärung:

1. Einer: $5-4=1$
2. Zehner: $8-3=5$
3. Hunderter: $6-2=4$

Das Ergebnis ist:

$685-234=451$

Schriftliche Subtraktion mit Entbündeln

Manchmal ist die obere Ziffer kleiner als die untere Ziffer. Dann musst Du aus der nächsthöheren Stelle eine Einheit entbündeln. Ein Zehner wird zu zehn Einern, ein Hunderter zu zehn Zehnern und so weiter.

Beispiel:

$\begin{array}{cccc}& 7& 5& 3\\ -& 4& 9& 1\\ & 2& 6& 2\end{array}$

Erklärung:

1. Einer: $3-1=2$
2. Zehner: $5-9$ geht nicht. Du entbündelst einen Hunderter: Aus $7$ Hundertern werden $6$ Hunderter, und aus $5$ Zehnern werden $15$ Zehner. Dann gilt $15-9=6$.
3. Hunderter: Nach dem Entbündeln bleiben $6$ Hunderter. Also $6-4=2$.

Das Ergebnis ist:

$753-491=262$

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Subtraktion mit mehreren Entbündelungen

Bei Zahlen mit Nullen muss oft über mehrere Stellen hinweg entbündelt werden.

Beispiel:

$\begin{array}{cccc}& 5& 0& 2\\ -& 2& 7& 8\\ & 2& 2& 4\end{array}$

Erklärung:

1. Bei den Einern ist $2-8$ nicht möglich.
2. Der Zehner ist $0$, deshalb kann dort nichts direkt entbündelt werden.
3. Du entbündelst einen Hunderter: Aus $5$ Hundertern werden $4$ Hunderter und aus $0$ Zehnern werden $10$ Zehner.
4. Dann entbündelst Du einen dieser Zehner: Aus $10$ Zehnern werden $9$ Zehner und aus $2$ Einern werden $12$ Einer.
5. Nun rechnest Du $12-8=4$, $9-7=2$ und $4-2=2$.

Das Ergebnis ist:

$502-278=224$

Ergänzungsverfahren als alternative Sichtweise

Die schriftliche Subtraktion kann auch als Ergänzen verstanden werden. Statt zu fragen „Was bleibt übrig?“, fragst Du: „Wie viel fehlt vom Subtrahenden bis zum Minuenden?“

Beispiel:

$753-491$

Du kannst denken:

$491+◻=753$

Dann suchst Du die fehlende Zahl. Die fehlende Zahl ist $262$, denn:

$491+262=753$

Beide Sichtweisen führen zum gleichen Ergebnis. Welche Methode im Unterricht verwendet wird, kann je nach Schule oder Lehrwerk unterschiedlich sein. Wichtig ist, dass Du verstehst, warum der Rechenschritt erlaubt ist.

Addition und Subtraktion mit Dezimalzahlen

Bei Dezimalzahlen ist die wichtigste Regel: Das Komma muss unter dem Komma stehen. Fehlende Nachkommastellen darfst Du durch Nullen ergänzen.

Beispiel Addition:

$\begin{array}{ccccc}& 1& \mathrm{2,}& 4& 5\\ +& & \mathrm{8,}& 7& 0\\ & 2& \mathrm{1,}& 1& 5\end{array}$

Also:

$\mathrm{12,45}+\mathrm{8,70}=\mathrm{21,15}$

Beispiel Subtraktion:

$\begin{array}{ccccc}& 1& \mathrm{5,}& 0& 0\\ -& & \mathrm{6,}& 8& 5\\ & & \mathrm{8,}& 1& 5\end{array}$

Also:

$\mathrm{15,00}-\mathrm{6,85}=\mathrm{8,15}$

Überschlagsrechnung und Plausibilität

Eine Überschlagsrechnung hilft Dir, grobe Fehler zu erkennen. Dabei rundest Du Zahlen auf sinnvolle Werte und rechnest im Kopf.

Beispiel:

$3987+2104$

Überschlag:

$4000+2100=6100$

Exakte Rechnung:

$3987+2104=6091$

Das exakte Ergebnis liegt nahe beim Überschlag. Es ist also plausibel.

Bei der Subtraktion:

$8052-3978$

Überschlag:

$8000-4000=4000$

Exakte Rechnung:

$8052-3978=4074$

Auch dieses Ergebnis passt zum Überschlag.

Kontrolle durch Umkehraufgabe

Die Umkehraufgabe ist eine sichere Methode, um Subtraktionen zu prüfen.

Wenn gilt:

$835-468=367$

Dann muss auch gelten:

$367+468=835$

Für Additionen kannst Du mit einer Subtraktion prüfen:

$429+286=715$

Probe:

$715-286=429$

oder:

$715-429=286$

Typische Fehler und Strategien gegen Fehler

Typische Fehler entstehen meistens nicht durch mangelnde Rechenfähigkeit, sondern durch ungenaue Schreibweise oder fehlende Kontrolle.

1. Stellenwertfehler: Einer, Zehner oder Hunderter stehen nicht korrekt untereinander.
2. Übertragsfehler: Ein Übertrag wird vergessen, doppelt gezählt oder an die falsche Stelle geschrieben.
3. Entbündelungsfehler: Beim Subtrahieren wird zwar ausgeliehen, aber die nächsthöhere Stelle nicht verringert.
4. Kommafehler: Bei Dezimalzahlen steht das Komma nicht unter dem Komma.
5. Vorzeichenfehler: Addition und Subtraktion werden verwechselt.

Strategien:

1. Schreibe sauber und nutze Kästchenpapier.
2. Rechne von rechts nach links.
3. Markiere Überträge klein und eindeutig.
4. Nutze bei Dezimalzahlen Nullen als Platzhalter.
5. Prüfe das Ergebnis durch Überschlag und Umkehraufgabe.

Warum funktionieren die Verfahren?

Die Verfahren funktionieren, weil das Dezimalsystem auf Bündelungen zu Zehnern beruht. Zehn Einer bilden einen Zehner, zehn Zehner bilden einen Hunderter, zehn Hunderter bilden einen Tausender.

$10E=1Z$

$10Z=1H$

$10H=1T$

Bei der Addition wird gebündelt: Wenn $13$ Einer entstehen, werden daraus $1$ Zehner und $3$ Einer. Bei der Subtraktion wird entbündelt: Wenn nicht genug Einer vorhanden sind, wird ein Zehner in $10$ Einer zerlegt.

Das Verfahren ist also kein Trick. Es ist eine systematische Anwendung des Stellenwertsystems.

Beispielaufgaben mit Lösung

Aufgabe 1: Addition

Berechne:

$4582+3679$

Rechnung:

$\begin{array}{ccccc}& 4& 5& 8& 2\\ +& 3& 6& 7& 9\\ & 8& 2& 6& 1\end{array}$

Ergebnis:

$4582+3679=8261$

Aufgabe 2: Subtraktion

Berechne:

$6003-2847$

Rechnung:

$\begin{array}{ccccc}& 6& 0& 0& 3\\ -& 2& 8& 4& 7\\ & 3& 1& 5& 6\end{array}$

Ergebnis:

$6003-2847=3156$

Probe:

$3156+2847=6003$

Aufgabe 3: Dezimalzahlen

Berechne:

$\mathrm{45,8}+\mathrm{7,36}$

Ergänze:

$\mathrm{45,8}=\mathrm{45,80}$

Dann:

$\mathrm{45,80}+\mathrm{7,36}=\mathrm{53,16}$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie heißen die Zahlen, die bei einer Addition addiert werden? (Summanden) (!Faktoren) (!Divisoren) (!Differenzen)

Wie heißt das Ergebnis einer Subtraktion? (Differenz) (!Summe) (!Produkt) (!Quotient)

In welcher Richtung rechnet man bei der schriftlichen Addition normalerweise? (Von rechts nach links) (!Von links nach rechts) (!Von oben nach unten) (!Von der größten Zahl zur kleinsten Zahl)

Was ist bei schriftlichen Rechnungen mit Dezimalzahlen besonders wichtig? (Das Komma steht unter dem Komma) (!Die größte Zahl steht immer unten) (!Die Nachkommastellen werden weggelassen) (!Man beginnt immer links vom Komma)

Wann entsteht bei der schriftlichen Addition ein Übertrag? (Wenn die Summe einer Stelle mindestens zehn ergibt) (!Wenn zwei Zahlen gleich groß sind) (!Wenn eine Zahl kleiner als null ist) (!Wenn das Ergebnis eine gerade Zahl ist)

Was bedeutet Entbündeln bei der schriftlichen Subtraktion? (Eine Einheit der nächsthöheren Stelle wird in zehn Einheiten der niedrigeren Stelle zerlegt) (!Alle Ziffern werden addiert) (!Die kleinere Zahl wird nach oben geschrieben) (!Das Komma wird verschoben)

Welche Rechnung ist die passende Probe zu 842 minus 357 gleich 485? (485 plus 357 gleich 842) (!842 plus 357 gleich 485) (!485 minus 357 gleich 842) (!357 minus 842 gleich 485)

Welche Aussage beschreibt das Stellenwertsystem richtig? (Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Position ab) (!Jede Ziffer hat immer denselben Wert) (!Nur gerade Zahlen haben Stellenwerte) (!Das Komma hat keinen Einfluss auf den Wert)

Wozu dient eine Überschlagsrechnung? (Sie hilft, die Größenordnung eines Ergebnisses zu prüfen) (!Sie ersetzt immer die genaue Rechnung) (!Sie macht Überträge überflüssig) (!Sie verändert die Aufgabe in eine Multiplikation)

Welche Zahl darf man bei 8,7 ergänzen, ohne den Wert zu verändern? (8,70) (!8,07) (!87,0) (!0,87)

Memory

Summand	Zahl bei der Addition
Summe	Ergebnis einer Addition
Minuend	Zahl, von der abgezogen wird
Subtrahend	Zahl, die abgezogen wird
Differenz	Ergebnis einer Subtraktion
Übertrag	Bündelung zur nächsten Stelle
Entbündeln	Zerlegen einer höheren Stelle

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Einer	rechte Stelle einer ganzen Zahl
Zehner	Bündel aus zehn Einern
Hunderter	Bündel aus zehn Zehnern
Übertrag	entsteht beim Bündeln in der Addition
Probe	Kontrolle durch die Umkehraufgabe

Ziehe die Begriffe so, dass jede Erklärung zum passenden Begriff steht.

Kreuzworträtsel

Summand	Wie heißt eine Zahl, die bei einer Addition addiert wird?
Summe	Wie heißt das Ergebnis einer Addition?
Minuend	Wie heißt die Zahl, von der bei einer Subtraktion etwas abgezogen wird?
Subtrahend	Wie heißt die Zahl, die bei einer Subtraktion abgezogen wird?
Differenz	Wie heißt das Ergebnis einer Subtraktion?
Uebertrag	Wie heißt die Weitergabe eines Zehners in die nächste Stelle?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei der schriftlichen Addition und Subtraktion müssen gleiche genau untereinander stehen. Man beginnt die Rechnung normalerweise bei den und arbeitet sich nach links weiter. Wenn bei der Addition in einer Stelle mindestens zehn entsteht, notierst Du einen . Bei der Subtraktion musst Du manchmal eine höhere Stelle , damit Du weiterrechnen kannst. Bei Dezimalzahlen steht das immer unter dem Komma. Eine gute Kontrolle ist die , weil Addition und Subtraktion zusammenhängen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Rechenplakat: Gestalte ein Plakat, auf dem Du die schriftliche Addition mit einem eigenen Beispiel erklärst. Markiere Stellenwerte und Überträge deutlich.
2. Fehlersuche: Erfinde drei schriftliche Additionen, in denen jeweils ein typischer Fehler steckt. Tausche sie mit einer Partnerin oder einem Partner und lasst den Fehler finden.
3. Alltagsaufgabe: Suche zu Hause oder in der Schule drei Situationen, in denen man addieren oder subtrahieren muss, zum Beispiel beim Einkaufen, Messen oder Planen.
4. Rechenweg erklären: Nimm mit einem Smartphone oder Tablet ein kurzes Erklärvideo auf, in dem Du eine schriftliche Subtraktion ohne Entbündeln erklärst.

Standard

1. Übertrag untersuchen: Sammle fünf Additionsaufgaben mit Übertrag und beschreibe bei jeder Aufgabe genau, an welcher Stelle der Übertrag entsteht.
2. Subtraktion mit Null: Erstelle eine Lernkarte zu Subtraktionsaufgaben mit Nullen, zum Beispiel $7004-2689$. Erkläre, warum mehrere Entbündelungen nötig sein können.
3. Dezimalzahlen-Projekt: Entwickle drei Sachaufgaben mit Geldbeträgen oder Längenangaben, bei denen schriftlich mit Dezimalzahlen gerechnet wird.
4. Partnerinterview: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler, welche Fehler beim schriftlichen Rechnen häufig passieren. Formuliere daraus fünf Tipps.

Schwer

1. Mathematische Begründung: Erkläre in einem kurzen Text, warum der Übertrag bei der Addition mathematisch korrekt ist. Nutze die Begriffe Stellenwert, Bündelung und Dezimalsystem.
2. Methodenvergleich: Vergleiche das Entbündelungsverfahren und das Ergänzungsverfahren bei der Subtraktion. Zeige an einem Beispiel, dass beide zum gleichen Ergebnis führen.
3. Diagnoseaufgabe: Entwickle eine kleine Lernkontrolle mit vier Aufgaben und einem Bewertungsbogen, mit dem Du nicht nur das Ergebnis, sondern auch den Rechenweg prüfst.
4. Erklärmodell bauen: Baue mit Plättchen, Streichhölzern oder Papierstreifen ein Modell, das Entbündeln sichtbar macht. Dokumentiere das Modell mit Fotos und Erklärtext.

Lernkontrolle

1. Transferaufgabe Einkauf: Du planst einen Klassenausflug. Drei Kostenposten betragen $\mathrm{248,75}$ Euro, $\mathrm{319,40}$ Euro und $\mathrm{87,90}$ Euro. Erkläre, wie Du schriftlich die Gesamtkosten berechnest und wie Du Dein Ergebnis kontrollierst.
2. Fehleranalyse Übertrag: Eine Schülerin berechnet $486+278=654$. Finde den Fehler, beschreibe ihn fachsprachlich und rechne richtig.
3. Subtraktion begründen: Erkläre an der Aufgabe $1000-468$, warum beim Entbündeln mehrere Stellen verändert werden müssen.
4. Methodenwahl: Entscheide, ob Du bei $703-698$ schriftlich subtrahieren, ergänzen oder im Kopf rechnen würdest. Begründe Deine Entscheidung.
5. Plausibilitätsprüfung: Jemand behauptet, $5216-2987=4229$. Prüfe diese Aussage mit Überschlag und Umkehraufgabe und formuliere eine begründete Antwort.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis kannst Du ein kleines Portfolio erstellen. Es soll zeigen, dass Du nicht nur Ergebnisse berechnen, sondern auch Rechenwege erklären und prüfen kannst.

1. Pflichtteil: Löse drei schriftliche Additionen, drei schriftliche Subtraktionen und zwei Aufgaben mit Dezimalzahlen.
2. Erklärungsteil: Erkläre an einem Beispiel, wie ein Übertrag entsteht.
3. Begründungsteil: Erkläre an einem Beispiel, wie Entbündeln funktioniert.
4. Kontrollteil: Prüfe mindestens zwei Aufgaben mit einer Umkehraufgabe.
5. Reflexion: Beschreibe, welcher Fehlertyp Dir besonders leicht passieren kann und welche Strategie Dir dagegen hilft.

Links

Schriftliche Addition und Subtraktion Addition Subtraktion Grundrechenart Stellenwertsystem Dezimalsystem Übertrag Entbündeln Summe Differenz Überschlagsrechnung Probe Dezimalzahl

Weiterführende Themen

1. Schriftliche Multiplikation: Nutzt die schriftliche Addition als Grundlage für Teilprodukte.
2. Schriftliche Division: Verwendet Subtraktion als wiederholten Rechenschritt.
3. Kopfrechnen: Hilft beim Überschlag und bei einfachen Kontrollrechnungen.
4. Sachrechnen: Verbindet Rechenverfahren mit realen Situationen.
5. Rechenstrategien: Unterstützen Dich dabei, flexibel und sicher zu rechnen.