Gleichungen Mathematik - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, in der zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Das Gleichheitszeichen bedeutet nicht: „Jetzt kommt das Ergebnis“, sondern: Beide Seiten haben denselben Wert. Eine Gleichung wie $3x+2=14$ behauptet also, dass der linke Term $3x+2$ denselben Wert hat wie der rechte Term $14$. Die Aufgabe besteht häufig darin, die unbekannte Zahl zu finden, für die diese Aussage wahr ist. Diese unbekannte Zahl wird meist mit einer Variablen wie $x$, $y$ oder $a$ bezeichnet.

Das Bild einer Waage hilft beim Verstehen: Eine Gleichung ist im Gleichgewicht. Was Du auf der einen Seite veränderst, musst Du auch auf der anderen Seite verändern, damit die Gleichung gültig bleibt. Dieses Prinzip nennt man Äquivalenzumformung. Es ist die wichtigste Grundidee beim Lösen von Gleichungen.

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In diesem aiMOOC lernst Du, wie Gleichungen aufgebaut sind, wie Du sie löst, wie Du Lösungen überprüfst und wie Gleichungen in Alltag, Naturwissenschaft, Technik und Wirtschaft verwendet werden. Du arbeitest mit einfachen Gleichungen, Gleichungen mit Klammern, Gleichungen mit Brüchen, Sachaufgaben und ersten Gleichungssystemen.

Grundbegriffe

Gleichung, Term und Variable

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, zum Beispiel $5x-3$, $7+2$ oder $\frac{x}{4}$. Eine Variable steht für eine Zahl, die noch unbekannt ist oder veränderlich sein kann. Eine Gleichung entsteht, wenn zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden werden. Beispiele sind $x+5=12$, $2a-7=9$ oder $3(y+2)=21$.

Die Lösungsmenge einer Gleichung enthält alle Zahlen, die man für die Variable einsetzen kann, sodass eine wahre Aussage entsteht. Bei $x+5=12$ ist die Lösung $x=7$, weil $7+5=12$ wahr ist. Die Lösungsmenge ist also $L=\{7\}$. Manche Gleichungen haben genau eine Lösung, andere haben keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Linke Seite, rechte Seite und Gleichheitszeichen

Jede Gleichung hat eine linke Seite und eine rechte Seite. Bei $4x-1=11$ ist $4x-1$ die linke Seite und $11$ die rechte Seite. Das Gleichheitszeichen ist eine Aussage über Gleichwertigkeit. Deshalb darf eine Gleichung nur so umgeformt werden, dass beide Seiten weiterhin denselben Wert haben.

Eine häufige Fehlvorstellung ist, das Gleichheitszeichen als Aufforderung zum Rechnen zu verstehen. In der Algebra bedeutet es jedoch eine Beziehung zwischen zwei Ausdrücken. Deshalb können auch Gleichungen wie $12=3x+6$ oder $2x+1=x+8$ sinnvoll sein.

Lösung und Probe

Eine Zahl ist eine Lösung, wenn sie die Gleichung erfüllt. Die Probe ist ein wichtiger Schritt: Du setzt die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein und prüfst, ob auf beiden Seiten derselbe Wert entsteht. Bei $2x+3=15$ erhältst Du $x=6$. Die Probe lautet: $2\cdot 6+3=12+3=15$. Die rechte Seite ist ebenfalls $15$, also stimmt die Lösung.

Die Probe schützt Dich vor Rechenfehlern. Besonders bei Klammern, Brüchen und negativen Zahlen ist sie sehr nützlich.

Äquivalenzumformungen

Grundidee der Äquivalenzumformung

Eine Äquivalenzumformung verändert eine Gleichung so, dass sie dieselbe Lösungsmenge behält. Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren, dieselbe Zahl subtrahieren, mit derselben von null verschiedenen Zahl multiplizieren oder durch dieselbe von null verschiedene Zahl dividieren. Dadurch bleibt das Gleichgewicht der Gleichung erhalten.

Beispiel: $x+4=11$. Wenn Du auf beiden Seiten $4$ subtrahierst, erhältst Du $x=7$. Die Gleichung wurde einfacher, aber die Lösung blieb dieselbe.

Zulässige Umformungen

1. Addition: Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addieren, zum Beispiel $x-5=9|+5$.
2. Subtraktion: Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term subtrahieren, zum Beispiel $x+8=20|-8$.
3. Multiplikation: Du darfst beide Seiten mit derselben Zahl ungleich null multiplizieren, zum Beispiel $\frac{x}{3}=4|\cdot 3$.
4. Division: Du darfst beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich null dividieren, zum Beispiel $5x=30|:5$.

Vorsicht bei nicht äquivalenten Umformungen

Nicht jede Umformung ist automatisch erlaubt. Wenn man zum Beispiel durch einen Term dividiert, der null sein könnte, kann eine Lösung verloren gehen. Auch das Quadrieren beider Seiten kann zusätzliche Scheinlösungen erzeugen. Deshalb ist die Probe besonders wichtig, wenn eine Gleichung komplizierter ist.

Für die Schulalgebra gilt als sichere Grundregel: Führe dieselbe zulässige Rechenoperation auf beiden Seiten aus und notiere die Umformung klar.

Lineare Gleichungen

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine lineare Gleichung mit einer Variablen lässt sich in die Form $ax+b=0$ bringen. Dabei sind $a$ und $b$ Zahlen und $a$ ist nicht null. Die Variable kommt nur in der ersten Potenz vor, also zum Beispiel $x$, aber nicht $x^2$ oder $\sqrt{x}$.

Lineare Gleichungen sind ein zentrales Werkzeug der Algebra. Sie treten in Sachaufgaben auf, zum Beispiel bei Preisen, Strecken, Zeiten, Mischungen, Rabatten oder Altersaufgaben.

Beispiel mit einer Variablen

Löse $3x+5=20$.

Zuerst soll der Term mit der Variablen allein auf einer Seite stehen. Du subtrahierst auf beiden Seiten $5$: $3x=15$. Danach dividierst Du beide Seiten durch $3$: $x=5$. Die Probe zeigt: $3\cdot 5+5=15+5=20$. Die Lösung ist also $L=\{5\}$.

Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten

Bei Gleichungen wie $4x+3=2x+11$ kommt die Variable auf beiden Seiten vor. Dann bringst Du zuerst alle Variablenterme auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite. Subtrahiere $2x$ auf beiden Seiten: $2x+3=11$. Subtrahiere dann $3$: $2x=8$. Dividiere durch $2$: $x=4$.

Die Reihenfolge ist nicht starr, aber sie sollte übersichtlich sein. Wichtig ist, dass Du jede Umformung auf beide Seiten anwendest.

Gleichungen mit Klammern und Brüchen

Klammern auflösen

Bei Gleichungen mit Klammern verwendest Du das Distributivgesetz. Beispiel: $2(x+3)=14$. Zuerst löst Du die Klammer auf: $2x+6=14$. Dann subtrahierst Du $6$: $2x=8$. Danach dividierst Du durch $2$: $x=4$.

Achte besonders auf Minuszeichen vor Klammern. Aus $-(x-5)$ wird $-x+5$. Viele Fehler entstehen, weil nur der erste Term in der Klammer beachtet wird.

Brüche beseitigen

Bei Gleichungen mit Brüchen kannst Du oft mit dem gemeinsamen Nenner multiplizieren. Beispiel: $\frac{x}{3}+2=6$. Subtrahiere zuerst $2$: $\frac{x}{3}=4$. Multipliziere dann mit $3$: $x=12$.

Bei mehreren Brüchen hilft das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Beispiel: Bei Nennern $2$, $3$ und $6$ ist $6$ ein gemeinsamer Nenner. Wenn Du die ganze Gleichung mit $6$ multiplizierst, verschwinden alle Nenner.

Besondere Lösungsfälle

Genau eine Lösung

Die meisten einfachen linearen Gleichungen haben genau eine Lösung. Beispiel: $5x-10=0$ hat die Lösung $x=2$. Die Lösungsmenge enthält genau eine Zahl.

Keine Lösung

Manche Gleichungen führen zu einer falschen Aussage. Beispiel: $2x+3=2x+8$. Wenn Du $2x$ auf beiden Seiten subtrahierst, erhältst Du $3=8$. Das ist falsch. Deshalb hat die Gleichung keine Lösung: $L=\{\}$.

Unendlich viele Lösungen

Manche Gleichungen führen zu einer immer wahren Aussage. Beispiel: $3(x+2)=3x+6$. Nach dem Auflösen der Klammer steht $3x+6=3x+6$. Das ist für jede Zahl $x$ wahr. Die Gleichung hat daher unendlich viele Lösungen.

Gleichungen aufstellen

Aus Texten Gleichungen bilden

Bei Sachaufgaben musst Du zuerst verstehen, welche Größe unbekannt ist. Diese Größe bezeichnest Du mit einer Variablen. Danach übersetzt Du die sprachlichen Informationen in mathematische Terme. Wörter wie „zusammen“, „mehr als“, „weniger als“, „das Doppelte“, „die Hälfte“ oder „gleich viel“ geben Hinweise auf Rechenoperationen.

Beispiel: „Eine Zahl wird verdoppelt und dann um 7 erhöht. Das Ergebnis ist 25.“ Die unbekannte Zahl heißt $x$. Verdoppeln bedeutet $2x$, um 7 erhöhen bedeutet $2x+7$, und das Ergebnis ist $25$. Die Gleichung lautet $2x+7=25$. Daraus folgt $x=9$.

Strategien für Sachaufgaben

1. Variable festlegen: Bestimme genau, wofür die Variable steht.
2. Information übersetzen: Formuliere Terme für die Angaben im Text.
3. Gleichung aufstellen: Verbinde gleichwertige Ausdrücke mit dem Gleichheitszeichen.
4. Gleichung lösen: Verwende Äquivalenzumformungen.
5. Probe und Antwortsatz: Prüfe die Lösung und beantworte die Frage in Worten.

Gleichungen im Alltag und in anderen Fächern

Gleichungen werden nicht nur im Mathematikunterricht verwendet. In der Physik beschreiben sie Zusammenhänge wie $s=v\cdot t$ für Strecke, Geschwindigkeit und Zeit. In der Chemie werden Reaktionsgleichungen genutzt, um Stoffumwandlungen darzustellen. In der Wirtschaft helfen Gleichungen bei Kosten, Gewinn, Preisnachlässen und Zinsen. In der Informatik tauchen Gleichungen in Algorithmen, Tabellenkalkulationen und Modellierungen auf.

Eine Gleichung ist damit ein Werkzeug, um unbekannte Größen systematisch zu bestimmen. Wer Gleichungen sicher lösen kann, versteht viele Probleme genauer und kann Lösungen nachvollziehbar begründen.

Typische Fehler und gute Strategien

Häufige Fehler

1. Gleichheitszeichen: Das Gleichheitszeichen wird als Rechenaufforderung statt als Gleichwertigkeit verstanden.
2. Minuszeichen: Vorzeichen werden beim Umformen oder beim Auflösen von Klammern falsch übernommen.
3. Klammerrechnung: Das Distributivgesetz wird nur teilweise angewendet.
4. Bruchrechnung: Beim Multiplizieren mit dem Nenner wird nicht die ganze Gleichung berücksichtigt.
5. Probe: Die Lösung wird nicht in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt.

Hilfreiche Vorgehensweise

Arbeite langsam, übersichtlich und in Zeilen. Schreibe jede Umformung rechts neben die Gleichung, zum Beispiel $|-5$ oder $|:3$. Fasse zuerst gleichartige Terme zusammen. Löse Klammern sorgfältig auf. Beseitige Brüche, wenn dadurch die Gleichung einfacher wird. Prüfe am Ende immer die Lösung.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet das Gleichheitszeichen in einer Gleichung? (Beide Seiten haben denselben Wert) (!Jetzt muss addiert werden) (!Die linke Seite ist immer größer) (!Die rechte Seite ist das Ergebnis einer Aufgabe)

Welche Zahl löst die Gleichung x plus 5 gleich 12? (7) (!5) (!12) (!17)

Welche Umformung ist bei einer Gleichung grundsätzlich erlaubt? (Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren) (!Nur auf der linken Seite subtrahieren) (!Eine Seite vertauschen und die andere nicht ändern) (!Durch null dividieren)

Welche Gleichung ist linear? (3x plus 4 gleich 10) (!x hoch 2 gleich 9) (!Wurzel aus x gleich 5) (!1 durch x gleich 2)

Was ist die Lösung von 4x gleich 20? (5) (!4) (!16) (!24)

Welche Aussage beschreibt eine Probe? (Die gefundene Lösung wird in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt) (!Die Gleichung wird ohne Rechnen abgeschrieben) (!Die Variable wird durch ein Fragezeichen ersetzt) (!Nur die rechte Seite wird berechnet)

Was entsteht beim Auflösen von 2 mal Klammer x plus 3 Klammer zu? (2x plus 6) (!2x plus 3) (!x plus 6) (!2x minus 6)

Welche Lösungsmenge hat die Gleichung 2x plus 3 gleich 2x plus 8? (Keine Lösung) (!Genau eine Lösung) (!Unendlich viele Lösungen) (!Alle natürlichen Zahlen außer null)

Welche Gleichung hat unendlich viele Lösungen? (3x plus 6 gleich 3x plus 6) (!3x plus 6 gleich 3x plus 7) (!x plus 2 gleich 9) (!4x gleich 12)

Was ist ein guter erster Schritt bei einer Sachaufgabe mit Gleichungen? (Die unbekannte Größe als Variable festlegen) (!Sofort eine beliebige Zahl raten) (!Nur den letzten Satz abschreiben) (!Alle Zahlen addieren)

Memory

Variable	Unbekannte Zahl
Lösungsmenge	Alle passenden Werte
Probe	Einsetzen der Lösung
Äquivalenzumformung	Erlaubte beidseitige Veränderung
Term	Mathematischer Ausdruck
Gleichheitszeichen	Zeichen für gleichen Wert

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Variable festlegen	Unbekannte Größe bestimmen
Gleichung aufstellen	Text in mathematische Sprache übersetzen
Äquivalenzumformung anwenden	Beide Seiten gleich verändern
Lösung berechnen	Wert der Variablen finden
Probe durchführen	Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen

Kreuzworträtsel

Variable	Wie nennt man einen Platzhalter für eine unbekannte Zahl?
Gleichung	Wie nennt man zwei Terme, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind?
Probe	Wie heißt das Einsetzen der gefundenen Lösung in die ursprüngliche Aufgabe?
Term	Wie heißt ein mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen?
Waage	Welches Modell zeigt anschaulich das Gleichgewicht einer Gleichung?
Algebra	Welcher Teilbereich der Mathematik arbeitet besonders mit Variablen und Gleichungen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Gleichung verbindet zwei mit einem Gleichheitszeichen. Eine steht für eine unbekannte oder veränderliche Zahl. Beim Lösen einer Gleichung verwendest Du , damit die Lösungsmenge erhalten bleibt. Eine lineare Gleichung enthält die Variable nur in der Potenz. Bei einer Gleichung mit Klammern hilft das . Am Ende solltest Du eine durchführen, indem Du die Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Gleichungs-Waage: Zeichne eine Waage zu einer einfachen Gleichung wie $x+3=8$ und erkläre in eigenen Worten, warum auf beiden Seiten gleich viel verändert werden muss.
2. Probe erklären: Löse drei einfache Gleichungen und schreibe zu jeder Gleichung eine vollständige Probe auf.
3. Gleichungsbegriffe: Erstelle ein Lernplakat mit den Begriffen Gleichung, Term, Variable, Lösung, Lösungsmenge und Probe.
4. Fehler finden: Erfinde eine falsch gelöste Gleichung und markiere genau, an welcher Stelle der Fehler passiert.

Standard

1. Sachaufgaben entwickeln: Schreibe drei Alltagssituationen, die sich mit linearen Gleichungen lösen lassen, und formuliere jeweils die passende Gleichung.
2. Klammer-Gleichungen: Erstelle fünf Gleichungen mit Klammern, löse sie und erkläre jeweils, wie Du das Distributivgesetz angewendet hast.
3. Bruch-Gleichungen: Löse drei Gleichungen mit Brüchen und beschreibe, wie Du die Nenner beseitigt hast.
4. Erklärvideo planen: Entwirf ein kurzes Drehbuch für ein Lernvideo, in dem Du eine Gleichung Schritt für Schritt löst.

Schwer

1. Gleichungen vergleichen: Vergleiche drei Gleichungen mit genau einer Lösung, keiner Lösung und unendlich vielen Lösungen und erkläre die Unterschiede.
2. Mathematisches Modellieren: Untersuche eine reale Preis- oder Kostenfrage und stelle ein Gleichungsmodell auf, mit dem Du eine unbekannte Größe berechnest.
3. Gleichungssysteme erkunden: Recherchiere, was ein lineares Gleichungssystem ist, und löse ein einfaches Beispiel mit zwei Gleichungen und zwei Variablen.
4. Fehleranalyse Unterricht: Sammle typische Fehler beim Lösen von Gleichungen, ordne sie nach Fehlerart und entwickle Tipps zur Vermeidung.

Lernkontrolle

1. Begründung von Umformungen: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum eine Äquivalenzumformung die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändert.
2. Transfer auf Sachprobleme: Formuliere zu einer Alltagssituation mit Preisen, Rabatten oder Eintrittskarten eine Gleichung und begründe, warum sie zur Situation passt.
3. Fehlerdiagnose: Analysiere eine fehlerhafte Lösung einer Gleichung mit Klammern, korrigiere sie und erkläre, welche Regel verletzt wurde.
4. Vergleich von Lösungsfällen: Entwickle je ein Beispiel für eine Gleichung mit keiner Lösung, genau einer Lösung und unendlich vielen Lösungen und erkläre die Unterschiede ohne nur zu rechnen.
5. Mathematische Kommunikation: Beschreibe einem jüngeren Lernenden in verständlicher Sprache, warum man bei Gleichungen beide Seiten gleich behandeln muss.
6. Modell und Wirklichkeit: Beurteile, wann eine Gleichung ein geeignetes Modell für ein reales Problem ist und wann zusätzliche Bedingungen berücksichtigt werden müssen.

Links

Gleichungen Gleichung Term Variable Lösungsmenge Äquivalenzumformung Lineare Gleichung Distributivgesetz Bruchrechnung Sachaufgabe Algebra

Medienhinweise

Die verwendete Waage veranschaulicht das Gleichheitsprinzip einer Gleichung. Das eingebettete Video unterstützt das schrittweise Lösen linearer Gleichungen. Weitere freie Materialien können über Wikimedia Commons, Serlo und die Wikipedia recherchiert werden.