Quelltext der Seite Binomische Formeln mit Potenzen 3, 4 und 5

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{{BR}}
= Binomische Formeln mit Potenzen 3, 4 und 5 =

{{BR}}
= Einleitung =

Ein [[Binom]] besteht aus zwei Termen, zum Beispiel '''a + b'''. Bei höheren [[Potenz|Potenzen]] helfen Dir feste Zahlenfolgen aus dem [[Pascalsches Dreieck|Pascalschen Dreieck]].

[[Datei:Binomial theorem visualisation.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Das Pascalsche Dreieck ==

Die Zeilen für die Potenzen 3, 4 und 5 lauten:

# [[Dritte Potenz]]: 1 – 3 – 3 – 1
# [[Vierte Potenz]]: 1 – 4 – 6 – 4 – 1
# [[Fünfte Potenz]]: 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1

[[Datei:Pascal triangle.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:PascalTriangleAnimated2.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Potenz 3 ==

'''(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³'''

'''(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³'''

{{BR}}
== Potenz 4 ==

'''(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴'''

'''(a − b)⁴ = a⁴ − 4a³b + 6a²b² − 4ab³ + b⁴'''

{{BR}}
== Potenz 5 ==

'''(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵'''

'''(a − b)⁵ = a⁵ − 5a⁴b + 10a³b² − 10a²b³ + 5ab⁴ − b⁵'''

'''Merke:''' Die [[Exponent|Exponenten]] von a werden kleiner. Die Exponenten von b werden größer. Ihre Summe bleibt immer gleich der Potenz.

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== Video ==

Das Video erklärt die binomischen Formeln mit den Potenzen 3, 4 und 5.

{{#ev:youtube|   https://www.youtube.com/watch?v=ALH0HoiwSPc   |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Koeffizient|Koeffizienten]]: Notiere die drei Zahlenreihen für die Potenzen 3, 4 und 5.
# [[Exponent|Exponenten]]: Erkläre, wie sich die Exponenten von a und b verändern.
# [[Ausmultiplizieren|Ausmultiplizieren]]: Berechne mit dem Video (x + 2)³.
# [[Vorzeichen|Vorzeichen]]: Berechne (x − 1)⁴ und prüfe die wechselnden Vorzeichen.
# [[Erklärvideo|Videoerklärung]]: Erkläre in zwei Sätzen, warum bei der fünften Potenz zweimal die Zahl 10 vorkommt.

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== Muster entdecken ==

Im Pascalschen Dreieck entstehen viele weitere Muster. Markiert man gerade und ungerade Zahlen, erscheint ein [[Sierpinski-Dreieck]].

[[Datei:Sierpinski Pascal triangle.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Zahlen gehören zur dritten Potenz?'''
(1 3 3 1)
(!1 2 1)
(!1 4 6 4 1)
(!1 5 10 10 5 1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie beginnt die Entwicklung von (a + b)⁴?'''
(a⁴ + 4a³b)
(!a⁴ + 3a³b)
(!a³ + 4a²b)
(!a⁴ + 6a³b)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher mittlere Koeffizient gehört zur vierten Potenz?'''
(6)
(!3)
(!5)
(!10)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet der letzte Term von (a + b)⁵?'''
(b⁵)
(!5b)
(!ab⁴)
(!a⁵b)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie verändern sich die Exponenten von a?'''
(Sie werden von links nach rechts kleiner)
(!Sie bleiben immer gleich)
(!Sie werden von links nach rechts größer)
(!Sie wechseln zwischen 1 und 2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Summe haben die Exponenten eines Terms bei der vierten Potenz?'''
(4)
(!3)
(!5)
(!8)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches Vorzeichen hat der zweite Term von (a − b)⁵?'''
(Minus)
(!Plus)
(!Kein Vorzeichen)
(!Mal)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist (x + 1)³?'''
(x³ + 3x² + 3x + 1)
(!x³ + x² + x + 1)
(!x³ + 3x + 1)
(!x² + 3x + 1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist (x − 1)⁴?'''
(x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1)
(!x⁴ − 4x³ − 6x² − 4x − 1)
(!x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1)
(!x⁴ − x³ + x² − x + 1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahlen gehören zur fünften Potenz?'''
(1 5 10 10 5 1)
(!1 4 6 4 1)
(!1 5 5 1)
(!1 3 6 3 1)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Dritte Potenz || 1 3 3 1
|-
| Vierte Potenz || 1 4 6 4 1
|-
| Fünfte Potenz || 1 5 10 10 5 1
|-
| Binom || Zwei Terme
|-
| Koeffizient || Zahl vor einem Term
|-
| Pascalsches Dreieck || Zahlenmuster
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable" 
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Dritte Potenz'''
| 1 3 3 1
|-
| '''Vierte Potenz'''
| 1 4 6 4 1
|-
| '''Fünfte Potenz'''
| 1 5 10 10 5 1
|-
| '''Plusklammer'''
| Nur positive Vorzeichen
|-
| '''Minusklammer'''
| Wechselnde Vorzeichen

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Binom || Wie heißt ein Ausdruck aus zwei Termen?
|-
| Pascal || Nach wem ist das bekannte Zahlendreieck benannt?
|-
| Potenz || Wie heißt eine Hochzahl mit ihrer Rechenoperation?
|-
| Exponent || Wie heißt die Hochzahl?
|-
| Vorzeichen || Was wechselt bei einer Minusklammer?
|-
| Koeffizient || Wie heißt die Zahl vor einem Term?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Binomische+Formeln+mit+Potenzen+3+4+und+5 </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein Ausdruck aus zwei Termen heißt { Binom }. Die Zahlen vor den Termen heißen { Koeffizienten }. Für die dritte Potenz lautet die Zahlenreihe { 1 3 3 1 }. Bei der vierten Potenz steht in der Mitte die Zahl { 6 }. Bei der fünften Potenz kommen zweimal die Zahlen { 5 und 10 } vor. Bei einer Minusklammer wechseln die { Vorzeichen }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Lernkarte]]: Gestalte eine Lernkarte mit den drei Zahlenreihen.
# [[Farbcodierung]]: Markiere fallende und steigende Exponenten in zwei Farben.
# [[Rechenbeispiel]]: Berechne (x + 1)³.
# [[Fehlersuche]]: Finde einen Fehler in einer selbst erfundenen falschen Formel.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Erklärplakat]]: Erstelle ein Plakat zur vierten Potenz.
# [[Partnerarbeit]]: Erklärt Euch gegenseitig die wechselnden Vorzeichen.
# [[Aufgabenentwicklung]]: Erfinde drei Aufgaben zu Potenzen 3, 4 und 5.
# [[Videoanalyse]]: Schreibe eine kurze Zusammenfassung des Videos.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Beweis]]: Zeige durch wiederholtes Multiplizieren, dass die Formel für (a + b)³ stimmt.
# [[Vergleich]]: Vergleiche das Pascalsche Dreieck mit den Binomialkoeffizienten.
# [[Transfer]]: Entwickle (2x − y)⁵ vollständig.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein eigenes kurzes Lernvideo mit Beispiel und Kontrolle.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Strategie]]: Erkläre, wie Du ohne Auswendiglernen die Koeffizienten für Potenz 5 findest.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person schreibt (a − b)⁴ = a⁴ − 4a³b − 6a²b² − 4ab³ − b⁴. Korrigiere und begründe.
# [[Transferaufgabe]]: Entwickle (2x + 3)³ und beschreibe jeden Schritt.
# [[Zusammenhang]]: Begründe, warum die Exponentensumme in jedem Term gleich bleibt.
# [[Anwendung]]: Entscheide, ob das Pascalsche Dreieck oder wiederholtes Multiplizieren für (x + 2)⁵ günstiger ist.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du:

# die Zahlenreihen für die Potenzen 3, 4 und 5 sicher nutzen,
# Plus- und Minusklammern richtig entwickeln,
# Exponenten und Vorzeichen prüfen,
# eigene Beispiele vollständig berechnen,
# Rechenwege verständlich erklären.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Binomische Formeln mit Potenzen 3, 4 und 5]]'''
# [[Binomische Formel]]
# [[Binomischer Lehrsatz]]
# [[Pascalsches Dreieck]]
# [[Binomialkoeffizient]]
# [[Potenz]]
# [[Polynom]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]
[[Kategorie:Klasse 9-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}