Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel)

Einleitung

Mit der Mitternachtsformel löst Du quadratische Gleichungen der Form

$a x^{2} + b x + c = 0$ mit $a \neq 0$ .

Die Zahlen $a$ , $b$ und $c$ heißen Koeffizienten.

Datei:Quadratic formula.svg

Die Formel

Zuerst berechnest Du die Diskriminante:

$D = b^{2} - 4 a c$

Dann setzt Du die Werte in die Lösungsformel ein:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

Das Zeichen $\pm$ bedeutet: Rechne einmal mit Plus und einmal mit Minus.

Datei:Quadratic function graph key values.svg

Vorgehen

Normalform herstellen: Auf einer Seite muss null stehen.
Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ ablesen.
Diskriminante $D$ berechnen.
Werte in die Mitternachtsformel einsetzen.
Lösungsmenge angeben.

Bedeutung der Diskriminante

$D > 0$ : Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen.
$D = 0$ : Es gibt eine doppelte reelle Lösung.
$D < 0$ : Es gibt keine reelle Lösung.

Datei:Quadratic eq discriminant.svg

Beispiel

Gegeben ist:

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Es gilt $a = 1$ , $b = - 5$ und $c = 6$ .

$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1$

$x_{1, 2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$

Damit sind die Lösungen $x_{1} = 3$ und $x_{2} = 2$ .

Die Lösungsmenge lautet $L = {2; 3}$ .

Datei:Polynomialdeg2.svg

Verbindung zur quadratischen Ergänzung

Die Mitternachtsformel kann durch quadratische Ergänzung hergeleitet werden. Für das Anwenden der Formel reicht es zunächst, die fünf Schritte sicher zu beherrschen.

Datei:Quadratic root.svg

Video

Das folgende Video von Planet Schule / kolleg24 erklärt die Lösungsformel in kurzer Form.

Video bei Planet Schule suchen

Begleitseite von Planet Schule

Aufgaben zum Video

Vorwissen: Schreibe bei $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ die Werte für $a$ , $b$ und $c$ auf.
Beobachtungsauftrag: Notiere beim Ansehen die Arbeitsschritte in der richtigen Reihenfolge.
Diskriminante: Erkläre nach dem Video mit einem Satz, was $D$ über die Zahl der Lösungen aussagt.
Formelsprache: Sprich die Mitternachtsformel laut und erkläre das Plusminuszeichen.
Anwendung: Löse nach dem Video $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .
Vergleich: Prüfe Deine Lösung durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.
Fehleranalyse: Nenne zwei typische Fehler, die beim Einsetzen negativer Zahlen entstehen können.
Zusammenfassung: Erstelle eine Karte mit der Formel, den fünf Schritten und den drei Fällen der Diskriminante.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Form muss eine allgemeine quadratische Gleichung haben? (ax² plus bx plus c gleich null) (!ax plus b gleich null) (!ax³ plus bx gleich null) (!a geteilt durch x gleich null)

Welche Bedingung gilt für den Koeffizienten a? (a darf nicht null sein) (!a muss immer eins sein) (!a muss negativ sein) (!a muss gleich c sein)

Wie wird die Diskriminante berechnet? (D gleich b² minus 4ac) (!D gleich b² plus 4ac) (!D gleich 2a plus b) (!D gleich a² minus c)

Was bedeutet eine positive Diskriminante? (Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen) (!Es gibt keine reelle Lösung) (!Es gibt genau drei Lösungen) (!Die Gleichung ist linear)

Was bedeutet D gleich null? (Es gibt eine doppelte reelle Lösung) (!Es gibt zwei verschiedene Lösungen) (!Es gibt keine Lösung) (!Der Koeffizient a ist null)

Was bedeutet eine negative Diskriminante im Bereich der reellen Zahlen? (Es gibt keine reelle Lösung) (!Es gibt zwei positive Lösungen) (!Es gibt genau eine positive Lösung) (!Die Gleichung hat keinen x² Term)

Welche Koeffizienten hat x² minus 5x plus 6 gleich null? (a gleich 1 b gleich minus 5 c gleich 6) (!a gleich 1 b gleich 5 c gleich 6) (!a gleich minus 1 b gleich 5 c gleich 6) (!a gleich 5 b gleich 6 c gleich 1)

Welche Lösungen hat x² minus 5x plus 6 gleich null? (2 und 3) (!1 und 6) (!minus 2 und minus 3) (!0 und 5)

Was musst Du vor dem Einsetzen in die Formel prüfen? (Eine Seite der Gleichung muss null sein) (!Der Koeffizient c muss null sein) (!Die Gleichung muss eine Bruchgleichung sein) (!Alle Koeffizienten müssen positiv sein)

Was steht im Nenner der Mitternachtsformel? (2a) (!2b) (!4a) (!a plus c)

Memory

Quadratische Gleichung	Gleichung mit x² als höchster Potenz
Koeffizient a	Faktor vor x²
Koeffizient b	Faktor vor x
Konstante c	Term ohne x
Diskriminante	Ausdruck b² minus 4ac
Nullstelle	Lösung der Gleichung f von x gleich null
Parabel	Graph einer quadratischen Funktion

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Normalform	ax² plus bx plus c gleich null
Positive Diskriminante	zwei verschiedene reelle Lösungen
Diskriminante null	eine doppelte reelle Lösung
Negative Diskriminante	keine reelle Lösung
Plusminuszeichen	zwei getrennte Rechenwege

Kreuzworträtsel

Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Koeffizient	Wie heißt eine Zahl vor einer Variablen?
Diskriminante	Welcher Ausdruck entscheidet über die Zahl der Lösungen?
Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
Normalform	Wie heißt die Form ax² plus bx plus c gleich null?
Wurzel	Welche Rechenart kommt in der Lösungsformel vor?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Formelkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit der Mitternachtsformel.
Koeffizienten: Markiere in fünf Gleichungen die Werte $a$ , $b$ und $c$ .
Fehlerdetektiv: Erfinde einen typischen Vorzeichenfehler und verbessere ihn.
Erklärtext: Erkläre die Diskriminante in höchstens vier einfachen Sätzen.

Standard

Quadratische Gleichung: Löse drei Gleichungen mit positiver, nuller und negativer Diskriminante.
Parabel: Zeichne zu einer gelösten Gleichung den Graphen und markiere die Nullstellen.
Videoanalyse: Erstelle ein Ablaufdiagramm zum Planet-Schule-Video.
Sachaufgabe: Erfinde eine kurze Aufgabe, in der eine Flugbahn oder ein Brückenbogen durch eine Parabel beschrieben wird.

Schwer

Quadratische Ergänzung: Leite die Mitternachtsformel aus der Normalform her.
Parameter: Untersuche, für welche Werte von $p$ die Gleichung $x^{2} + p x + 1 = 0$ zwei, eine oder keine reelle Lösung besitzt.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo mit Beispiel, Probe und Fehlerhinweisen.
Lösungsverfahren: Vergleiche Mitternachtsformel, pq-Formel, Faktorisieren und quadratische Ergänzung.

Lernkontrolle

Zusammenhang: Begründe, warum vor dem Ablesen der Koeffizienten eine Seite der Gleichung null sein muss.
Graphische Deutung: Erkläre den Zusammenhang zwischen Diskriminante und Schnittpunkten einer Parabel mit der x-Achse.
Fehleranalyse: Eine Person liest bei $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ den Wert $c = 2$ ab. Erkläre den Fehler und seine Folgen.
Transfer: Eine Parabel beschreibt die Höhe eines Balls. Erkläre, welche Bedeutung ihre positiven Nullstellen in diesem Modell haben können.
Methodenwahl: Entscheide bei $x^{2} - 9 = 0$ , ob die Mitternachtsformel oder Wurzelziehen günstiger ist, und begründe Deine Wahl.
Parameteraufgabe: Verändere den Wert $c$ in $x^{2} - 4 x + c = 0$ und untersuche, wann die Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

eine quadratische Gleichung in die Normalform bringen kannst,
die Koeffizienten richtig abliest,
die Diskriminante fehlerfrei berechnest,
die Mitternachtsformel sicher anwendest,
die Zahl der Lösungen begründest,
eine Probe durch Einsetzen durchführen kannst,
den Zusammenhang zwischen Lösungen und Nullstellen erklärst.

Lernbereiche

Mathematik: Algebra, Gleichungen und quadratische Funktionen.
Sekundarstufe I: Sicheres Anwenden der Lösungsformel und Deuten der Diskriminante.
Sekundarstufe II: Herleitung, Parameteraufgaben und Vergleich verschiedener Lösungsverfahren.
Digitale Bildung: Lernvideo auswerten und eigene Erklärmedien erstellen.

OERs zum Thema

Links

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel)

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.