Kreise und Kugeln - Fläche, Umfang und Volumen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Ein Kreis ist flach. Eine Kugel ist räumlich. Für beide brauchst Du den Radius $r$, den Durchmesser $d$ und die Kreiszahl $\pi$.

Es gilt: $d=2r$ und $r=\frac{d}{2}$.

Der Kreis

Der Umfang ist die Länge des Kreisrandes:

$U=2\pi r=\pi d$

Der Flächeninhalt ist die Größe der Kreisfläche:

$A=\pi r^2$

Datei:Area of circle and triangle.svg

Beispiel: Ein Kreis hat den Radius $r=3\text{cm}$.

$U=2\pi \cdot 3\approx \mathrm{18,85}\text{cm}$

$A=\pi \cdot 3^2\approx \mathrm{28,27}{\text{cm}}^2$

Die Kugel

Die Oberfläche ist die äußere Hülle der Kugel:

$O=4\pi r^2$

Das Volumen ist der Rauminhalt der Kugel:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Mit dem Umfang einer Kugel ist meist der Umfang eines Großkreises gemeint:

$U=2\pi r$

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Beispiel: Eine Kugel hat den Radius $r=2\text{cm}$.

$O=4\pi \cdot 2^2\approx \mathrm{50,27}{\text{cm}}^2$

$V=\frac{4}{3}\pi \cdot 2^3\approx \mathrm{33,51}{\text{cm}}^3$

Einheiten

1. Umfang: zum Beispiel $\text{cm}$ oder $\text{m}$
2. Flächeninhalt und Oberfläche: zum Beispiel ${\text{cm}}^2$ oder ${\text{m}}^2$
3. Volumen: zum Beispiel ${\text{cm}}^3$ oder ${\text{m}}^3$

Lernvideo

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Aufgaben zum Video

1. Formelsuche: Notiere beim Ansehen alle Formeln für Kreis und Kugel.
2. Rechenpause: Stoppe das Video vor einem Ergebnis und rechne selbst.
3. Begriffe erklären: Erkläre Radius, Durchmesser und Kreiszahl mit eigenen Worten.
4. Einheiten prüfen: Markiere in Deinen Notizen Längen-, Flächen- und Volumeneinheiten.
5. Alltagsaufgabe: Wähle einen runden Gegenstand, miss seinen Durchmesser und berechne den Umfang.

Merkhilfe als Musikvideo

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie berechnet man den Durchmesser aus dem Radius? (d gleich 2 mal r) (!d gleich r durch 2) (!d gleich Pi mal r) (!d gleich r hoch 2)

Welche Formel gehört zum Kreisumfang? (U gleich 2 mal Pi mal r) (!U gleich Pi mal r hoch 2) (!U gleich 4 mal Pi mal r hoch 2) (!U gleich vier Drittel mal Pi mal r hoch 3)

Welche Formel gehört zur Kreisfläche? (A gleich Pi mal r hoch 2) (!A gleich 2 mal Pi mal r) (!A gleich 4 mal Pi mal r hoch 2) (!A gleich Pi mal d)

Welche Formel gehört zur Kugeloberfläche? (O gleich 4 mal Pi mal r hoch 2) (!O gleich Pi mal r hoch 2) (!O gleich 2 mal Pi mal r) (!O gleich vier Drittel mal Pi mal r hoch 3)

Welche Formel gehört zum Kugelvolumen? (V gleich vier Drittel mal Pi mal r hoch 3) (!V gleich 4 mal Pi mal r hoch 2) (!V gleich Pi mal r hoch 2) (!V gleich 2 mal Pi mal r)

Welche Einheit passt zu einer Fläche? (Quadratzentimeter) (!Zentimeter) (!Kubikzentimeter) (!Liter pro Sekunde)

Welche Einheit passt zu einem Volumen? (Kubikzentimeter) (!Zentimeter) (!Quadratzentimeter) (!Grad)

Was geschieht mit dem Kreisumfang, wenn sich der Radius verdoppelt? (Der Umfang verdoppelt sich) (!Der Umfang vervierfacht sich) (!Der Umfang verachtfacht sich) (!Der Umfang bleibt gleich)

Was geschieht mit der Kreisfläche, wenn sich der Radius verdoppelt? (Die Fläche vervierfacht sich) (!Die Fläche verdoppelt sich) (!Die Fläche verachtfacht sich) (!Die Fläche bleibt gleich)

Was geschieht mit dem Kugelvolumen, wenn sich der Radius verdoppelt? (Das Volumen verachtfacht sich) (!Das Volumen verdoppelt sich) (!Das Volumen vervierfacht sich) (!Das Volumen bleibt gleich)

Memory

Radius	Abstand vom Mittelpunkt zum Rand
Durchmesser	Strecke durch den Mittelpunkt
Kreisumfang	2 mal Pi mal r
Kreisfläche	Pi mal r hoch 2
Kugeloberfläche	4 mal Pi mal r hoch 2
Kugelvolumen	Vier Drittel mal Pi mal r hoch 3

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Radius	Abstand vom Mittelpunkt zum Rand
Durchmesser	Doppelte Länge des Radius
Umfang	Länge des Randes
Oberfläche	Äußere Hülle einer Kugel
Volumen	Rauminhalt eines Körpers

Kreuzworträtsel

Radius	Wie heißt der Abstand vom Mittelpunkt zum Rand?
Durchmesser	Welche Strecke führt durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand?
Kreiszahl	Wie heißt Pi als mathematischer Fachbegriff?
Oberfläche	Wie heißt die äußere Hülle einer Kugel?
Volumen	Welche Größe beschreibt den Rauminhalt?
Einheit	Was muss bei jedem Messergebnis angegeben werden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Abstand vom Mittelpunkt zum Kreisrand heißt .

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der .

Die Zahl Pi heißt auch .

Der Kreisumfang wird mit zwei mal Pi mal berechnet.

Die Kreisfläche wird in einer angegeben.

Die äußere Hülle einer Kugel heißt .

Der Rauminhalt einer Kugel heißt .

Ein Volumen wird in einer angegeben.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kreise finden: Fotografiere drei kreisförmige Gegenstände.
2. Messen: Miss Radius und Durchmesser eines Bechers.
3. Formelkarte: Gestalte eine kleine Karte mit den vier Hauptformeln.
4. Kreis zeichnen: Zeichne mit einem Zirkel drei Kreise mit verschiedenen Radien.

Standard

1. Pizza vergleichen: Vergleiche die Flächen von zwei unterschiedlich großen Pizzen.
2. Ball untersuchen: Miss den Durchmesser eines Balls und berechne seinen Großkreisumfang.
3. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zur Kreisfläche.
4. Fehlersuche: Erfinde eine falsche Rechnung und erkläre den Fehler.

Schwer

1. Modellversuch: Untersuche mit verschieden großen Kugeln, wie Oberfläche und Volumen wachsen.
2. Kosten berechnen: Schätze die Kosten für das Bemalen einer kugelförmigen Skulptur.
3. Kugel und Zylinder: Vergleiche das Volumen einer Kugel mit dem Volumen ihres umgebenden Zylinders.
4. Forschungsfrage: Erkläre, warum große Kugeln im Verhältnis weniger Oberfläche als kleine Kugeln besitzen.

Lernkontrolle

1. Pizzaentscheidung: Zwei Pizzen haben verschiedene Durchmesser und Preise. Berechne die Fläche pro Euro und begründe Deine Wahl.
2. Verpackungsproblem: Eine kugelförmige Lampe soll lackiert werden. Erkläre, welche Größe Du berechnen musst und warum.
3. Füllmenge: Ein kugelförmiger Behälter wird vergrößert. Beurteile, wie sich die Füllmenge bei doppeltem Radius verändert.
4. Fehleranalyse: Jemand verwendet für eine Kreisfläche die Formel $2\pi r$. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
5. Einheitenwechsel: Ein Radius ist in Zentimetern gegeben, das Ergebnis soll in Metern stehen. Beschreibe eine sichere Rechenstrategie.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. Grundbegriffe sicher erklären,
2. Formeln passend auswählen,
3. Radius und Durchmesser umrechnen,
4. mit $\pi$ rechnen,
5. passende Einheiten angeben,
6. Rechenwege verständlich darstellen,
7. Ergebnisse auf Plausibilität prüfen.

Links

Kreise und Kugeln - Fläche, Umfang und Volumen Kreis Kugel Radius Durchmesser Kreiszahl Umfang Flächeninhalt Oberfläche Volumen Geometrie