Binomische Formeln mit Potenzen 3, 4 und 5
Binomische Formeln mit Potenzen 3, 4 und 5
Binomische Formeln mit Potenzen 3, 4 und 5
Einleitung
Ein Binom besteht aus zwei Termen, zum Beispiel a + b. Bei höheren Potenzen helfen Dir feste Zahlenfolgen aus dem Pascalschen Dreieck.
Das Pascalsche Dreieck
Die Zeilen für die Potenzen 3, 4 und 5 lauten:
- Dritte Potenz: 1 – 3 – 3 – 1
- Vierte Potenz: 1 – 4 – 6 – 4 – 1
- Fünfte Potenz: 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1
Potenz 3
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Potenz 4
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
(a − b)⁴ = a⁴ − 4a³b + 6a²b² − 4ab³ + b⁴
Potenz 5
(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
(a − b)⁵ = a⁵ − 5a⁴b + 10a³b² − 10a²b³ + 5ab⁴ − b⁵
Merke: Die Exponenten von a werden kleiner. Die Exponenten von b werden größer. Ihre Summe bleibt immer gleich der Potenz.
Video
Das Video erklärt die binomischen Formeln mit den Potenzen 3, 4 und 5.
Aufgaben zum Video
- Koeffizienten: Notiere die drei Zahlenreihen für die Potenzen 3, 4 und 5.
- Exponenten: Erkläre, wie sich die Exponenten von a und b verändern.
- Ausmultiplizieren: Berechne mit dem Video (x + 2)³.
- Vorzeichen: Berechne (x − 1)⁴ und prüfe die wechselnden Vorzeichen.
- Videoerklärung: Erkläre in zwei Sätzen, warum bei der fünften Potenz zweimal die Zahl 10 vorkommt.
Muster entdecken
Im Pascalschen Dreieck entstehen viele weitere Muster. Markiert man gerade und ungerade Zahlen, erscheint ein Sierpinski-Dreieck.
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Welche Zahlen gehören zur dritten Potenz? (1 3 3 1) (!1 2 1) (!1 4 6 4 1) (!1 5 10 10 5 1)
Wie beginnt die Entwicklung von (a + b)⁴? (a⁴ + 4a³b) (!a⁴ + 3a³b) (!a³ + 4a²b) (!a⁴ + 6a³b)
Welcher mittlere Koeffizient gehört zur vierten Potenz? (6) (!3) (!5) (!10)
Wie lautet der letzte Term von (a + b)⁵? (b⁵) (!5b) (!ab⁴) (!a⁵b)
Wie verändern sich die Exponenten von a? (Sie werden von links nach rechts kleiner) (!Sie bleiben immer gleich) (!Sie werden von links nach rechts größer) (!Sie wechseln zwischen 1 und 2)
Welche Summe haben die Exponenten eines Terms bei der vierten Potenz? (4) (!3) (!5) (!8)
Welches Vorzeichen hat der zweite Term von (a − b)⁵? (Minus) (!Plus) (!Kein Vorzeichen) (!Mal)
Was ist (x + 1)³? (x³ + 3x² + 3x + 1) (!x³ + x² + x + 1) (!x³ + 3x + 1) (!x² + 3x + 1)
Was ist (x − 1)⁴? (x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1) (!x⁴ − 4x³ − 6x² − 4x − 1) (!x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1) (!x⁴ − x³ + x² − x + 1)
Welche Zahlen gehören zur fünften Potenz? (1 5 10 10 5 1) (!1 4 6 4 1) (!1 5 5 1) (!1 3 6 3 1)
Memory
| Dritte Potenz | 1 3 3 1 |
| Vierte Potenz | 1 4 6 4 1 |
| Fünfte Potenz | 1 5 10 10 5 1 |
| Binom | Zwei Terme |
| Koeffizient | Zahl vor einem Term |
| Pascalsches Dreieck | Zahlenmuster |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| Dritte Potenz | 1 3 3 1 |
| Vierte Potenz | 1 4 6 4 1 |
| Fünfte Potenz | 1 5 10 10 5 1 |
| Plusklammer | Nur positive Vorzeichen |
| Minusklammer | Wechselnde Vorzeichen |
Kreuzworträtsel
| Binom | Wie heißt ein Ausdruck aus zwei Termen? |
| Pascal | Nach wem ist das bekannte Zahlendreieck benannt? |
| Potenz | Wie heißt eine Hochzahl mit ihrer Rechenoperation? |
| Exponent | Wie heißt die Hochzahl? |
| Vorzeichen | Was wechselt bei einer Minusklammer? |
| Koeffizient | Wie heißt die Zahl vor einem Term? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Lernkarte: Gestalte eine Lernkarte mit den drei Zahlenreihen.
- Farbcodierung: Markiere fallende und steigende Exponenten in zwei Farben.
- Rechenbeispiel: Berechne (x + 1)³.
- Fehlersuche: Finde einen Fehler in einer selbst erfundenen falschen Formel.
Standard
- Erklärplakat: Erstelle ein Plakat zur vierten Potenz.
- Partnerarbeit: Erklärt Euch gegenseitig die wechselnden Vorzeichen.
- Aufgabenentwicklung: Erfinde drei Aufgaben zu Potenzen 3, 4 und 5.
- Videoanalyse: Schreibe eine kurze Zusammenfassung des Videos.
Schwer
- Beweis: Zeige durch wiederholtes Multiplizieren, dass die Formel für (a + b)³ stimmt.
- Vergleich: Vergleiche das Pascalsche Dreieck mit den Binomialkoeffizienten.
- Transfer: Entwickle (2x − y)⁵ vollständig.
- Erklärvideo: Produziere ein eigenes kurzes Lernvideo mit Beispiel und Kontrolle.
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Lernkontrolle
- Strategie: Erkläre, wie Du ohne Auswendiglernen die Koeffizienten für Potenz 5 findest.
- Fehleranalyse: Eine Person schreibt (a − b)⁴ = a⁴ − 4a³b − 6a²b² − 4ab³ − b⁴. Korrigiere und begründe.
- Transferaufgabe: Entwickle (2x + 3)³ und beschreibe jeden Schritt.
- Zusammenhang: Begründe, warum die Exponentensumme in jedem Term gleich bleibt.
- Anwendung: Entscheide, ob das Pascalsche Dreieck oder wiederholtes Multiplizieren für (x + 2)⁵ günstiger ist.
Lernnachweis
Für einen Lernnachweis solltest Du:
- die Zahlenreihen für die Potenzen 3, 4 und 5 sicher nutzen,
- Plus- und Minusklammern richtig entwickeln,
- Exponenten und Vorzeichen prüfen,
- eigene Beispiele vollständig berechnen,
- Rechenwege verständlich erklären.
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