Volumen und Oberfläche von Prisma und Zylinder
Volumen und Oberfläche von Prisma und Zylinder
Einleitung
In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du das Volumen und die Oberfläche von Prismen und Zylindern berechnest. Du brauchst dazu die Grundfläche, die Körperhöhe und manchmal den Umfang der Grundfläche.
Lernziele
- Körper erkennen: Du unterscheidest Prisma und Zylinder.
- Volumen berechnen: Du nutzt die Formel V = G · h.
- Oberfläche berechnen: Du nutzt die Formel O = 2 · G + M.
- Sachaufgaben: Du wählst passende Maße und Einheiten.
Grundwissen
Ein Prisma hat zwei parallele, gleich große Grundflächen. Ein Zylinder hat zwei gleich große Kreisflächen.
| Körper | Grundfläche G | Volumen V | Mantelfläche M | Oberfläche O |
|---|---|---|---|---|
| Prisma | beliebige Vielecksfläche | V = G · h | M = UG · h | O = 2 · G + M |
| Zylinder | G = π · r² | V = π · r² · h | M = 2 · π · r · h | O = 2 · π · r² + 2 · π · r · h |
Merke: Flächen werden in Quadrateinheiten angegeben, zum Beispiel cm². Volumen werden in Kubikeinheiten angegeben, zum Beispiel cm³.
Körpernetze
Ein Körpernetz zeigt alle Außenflächen flach ausgebreitet. Beim Zylinder ist der Mantel ein Rechteck. Seine Länge entspricht dem Kreisumfang 2 · π · r.
Kurze Beispiele
Prisma: G = 12 cm², h = 10 cm und UG = 16 cm. Dann gilt V = 120 cm³, M = 160 cm² und O = 184 cm².
Zylinder: r = 3 cm und h = 8 cm. Dann gilt V = 72π cm³ ≈ 226,2 cm³ und O = 66π cm² ≈ 207,3 cm².
Video: Volumen und Oberfläche von Prisma und Zylinder
Das Video von Planet Schule – kolleg24 Mathematik, Folge 28 zeigt Beispielrechnungen zu Prisma und Zylinder.
Quelle: Planet Schule, BR und kolleg24, Lizenz CC BY-SA 4.0.
Aufgaben zum Video
- Vorwissen: Notiere vor dem Video die Formeln, die Du schon kennst.
- Körpermerkmale: Schreibe je zwei Merkmale eines Prismas und eines Zylinders auf.
- Formelsammlung: Notiere während des Videos alle Formeln für G, M, O und V.
- Rechenweg: Wähle ein Beispiel aus dem Video und schreibe den Rechenweg mit Einheiten ab.
- Pause und erkläre: Stoppe das Video nach einer Rechnung und erkläre den Lösungsweg mit eigenen Worten.
- Fehlercheck: Suche im Video eine Stelle, an der die Einheit wichtig ist. Erkläre warum.
- Transfer: Erfinde eine ähnliche Aufgabe mit anderen Maßen und löse sie.
- Vergleich: Erkläre, was bei Prisma und Zylinder gleich berechnet wird und was verschieden ist.
Verknüpfte Lernbereiche
- Flächeninhalt: Grundflächen und Mantelflächen berechnen.
- Kreis: Radius, Durchmesser, Umfang und Kreisfläche anwenden.
- Terme und Formeln: Formeln einsetzen und umstellen.
- Einheiten: Flächen- und Volumeneinheiten sicher verwenden.
- Sachrechnen: Reale Körper mathematisch modellieren.
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Wie lautet die Volumenformel für ein gerades Prisma? (V = G · h) (!V = G + h) (!V = 2 · G + h) (!V = U · h)
Wie lautet die Oberflächenformel für ein Prisma? (O = 2 · G + M) (!O = G · h) (!O = G + M) (!O = 2 · M + h)
Wie berechnet man die Kreisfläche eines Zylinders? (G = π · r²) (!G = 2 · π · r) (!G = π · r) (!G = r · h)
Wie lautet die Volumenformel eines Zylinders? (V = π · r² · h) (!V = 2 · π · r · h) (!V = π · r · h) (!V = 2 · π · r²)
Wie berechnet man die Mantelfläche eines Zylinders? (M = 2 · π · r · h) (!M = π · r²) (!M = 2 · π · r²) (!M = π · h²)
Was bedeutet h in der Formel V = G · h? (Körperhöhe) (!Kreisumfang) (!Durchmesser) (!Oberfläche)
Welche Einheit passt zu einem Volumen? (cm³) (!cm) (!cm²) (!Grad)
Ein Zylinder hat den Durchmesser 10 cm. Wie groß ist sein Radius? (5 cm) (!10 cm) (!20 cm) (!100 cm)
Aus welchen Teilen besteht die Oberfläche eines geschlossenen Zylinders? (Zwei Kreisflächen und eine Mantelfläche) (!Eine Kreisfläche und eine Kante) (!Zwei Mantelflächen) (!Nur aus dem Kreisumfang)
Welche Einheit passt zu einer Oberfläche? (m²) (!m) (!m³) (!Liter pro Meter)
Memory
| Grundfläche | Fläche einer Basis |
| Körperhöhe | Senkrechter Abstand der Grundflächen |
| Mantelfläche | Seitenfläche ohne Grund- und Deckfläche |
| Volumen | Rauminhalt |
| Oberfläche | Summe aller Außenflächen |
| Radius | Halber Durchmesser |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Bedeutung |
|---|---|
| Volumen | Rauminhalt |
| Oberfläche | Gesamte Außenfläche |
| Mantel | Seitenfläche eines Körpers |
| Radius | Halber Durchmesser |
| Körperhöhe | Abstand der Grundflächen |
Kreuzworträtsel
| Prisma | Welcher Körper hat zwei parallele und gleich große Vielecksflächen? |
| Zylinder | Welcher Körper hat zwei parallele Kreisflächen? |
| Grundfläche | Wie heißt eine der beiden gleichen Basisflächen? |
| Mantelfläche | Wie heißt die Seitenfläche ohne Grund- und Deckfläche? |
| Radius | Wie heißt der halbe Durchmesser? |
| Volumen | Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Alltagskörper: Finde drei Prismen und drei Zylinder in Deiner Umgebung. Fotografiere oder zeichne sie.
- Körpernetz: Zeichne das Netz eines Zylinders und beschrifte Radius, Höhe und Mantel.
- Messen: Miss Durchmesser und Höhe einer Dose. Berechne Radius und Grundfläche.
- Videokarte: Gestalte eine Lernkarte mit den vier wichtigsten Formeln aus dem Video.
Standard
- Dosenrechnung: Berechne Volumen und Oberfläche einer echten Dose.
- Prismamodell: Baue ein Prisma aus Papier und bestimme seine Oberfläche.
- Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Rechnung und erkläre den Fehler.
- Sachaufgabe: Entwickle eine Aufgabe zu einer Verpackung und gib eine Musterlösung an.
Schwer
- Formeln umstellen: Stelle die Zylinderformel nach h und nach r um.
- Körpervergleich: Vergleiche zwei Körper mit gleichem Volumen, aber verschiedener Oberfläche.
- Optimierung: Untersuche mit einer Tabelle, welche geschlossene Zylinderdose bei festem Volumen wenig Material braucht.
- Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo mit Modell, Formel, Rechnung und Einheiten.
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Lernkontrolle
- Verpackungsproblem: Eine Firma möchte eine Verpackung vergrößern. Erkläre, warum sich Oberfläche und Volumen nicht im gleichen Verhältnis ändern.
- Formelbegründung: Begründe mit einem Körpernetz, warum O = 2 · G + M gilt.
- Einheitenprüfung: Prüfe einen Rechenweg mit gemischten Einheiten und verbessere ihn.
- Rückwärtsaufgabe: Bestimme die Höhe eines Zylinders aus Volumen und Radius. Erkläre jeden Schritt.
- Modellwahl: Entscheide bei drei Alltagsgegenständen, ob Prisma oder Zylinder das bessere mathematische Modell ist.
- Materialvergleich: Vergleiche zwei Verpackungen mit gleichem Inhalt und entscheide, welche weniger Material benötigt.
Lernnachweis
- Begriffe: Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche, Radius und Körperhöhe sicher erklären.
- Formeln: Die Formeln für Prisma und Zylinder richtig auswählen.
- Rechnen: Werte korrekt einsetzen und sinnvoll runden.
- Einheiten: Flächen- und Volumeneinheiten unterscheiden und umrechnen.
- Transfer: Reale Gegenstände als Prisma oder Zylinder modellieren.
- Begründung: Deinen Rechenweg verständlich erklären.
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