Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Quadratische Ergänzung

Einleitung

Mit der quadratischen Ergänzung formst Du einen quadratischen Term in ein vollständiges Quadrat um. So kannst Du den Scheitelpunkt einer Parabel finden oder eine quadratische Gleichung lösen.

Datei:Completing the square.gif

Die Grundidee

Für einen Term der Form

$x^{2} + p x + q$

halbierst Du den Koeffizienten vor $x$ und quadrierst das Ergebnis:

${(\frac{p}{2})}^{2}$

Dann addierst und subtrahierst Du diese Zahl. Der Wert des Terms bleibt gleich.

$x^{2} + p x + q = {(x + \frac{p}{2})}^{2} + q - {(\frac{p}{2})}^{2}$

Datei:Completing the square with layers.png

Einfaches Beispiel

$x^{2} + 6 x + 5$

Die Hälfte von $6$ ist $3$ . Das Quadrat davon ist $9$ .

$x^{2} + 6 x + 5 = x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 5$

$x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 4$

Die Scheitelpunktform lautet also $(x + 3)^{2} - 4$ . Der Scheitelpunkt ist $S (- 3 | - 4)$ .

Datei:Completing the square.svg

Falls vor x² eine andere Zahl steht

Bei $a x^{2} + b x + c$ klammerst Du zuerst $a$ aus den ersten beiden Termen aus.

Beispiel:

$2 x^{2} + 8 x + 3 = 2 (x^{2} + 4 x) + 3$

Danach ergänzt Du innerhalb der Klammer.

Video: 015 Quadratische Ergänzung

Datei:Quadratische Ergänzung - kolleg24 Mathematik.webm

Aufgaben zum Video

Rechenweg notieren: Schreibe die Schritte der quadratischen Ergänzung aus dem Video in eigenen Worten auf.
Pausenaufgabe: Stoppe das Video vor einer Umformung und rechne den nächsten Schritt selbst.
Ergänzungszahl: Erkläre, wie die Ergänzungszahl aus dem Koeffizienten vor $x$ entsteht.
Scheitelpunktform: Suche im Video eine Umformung zur Scheitelpunktform und bestimme den Scheitelpunkt.
Fehler erklären: Begründe, warum dieselbe Zahl addiert und wieder subtrahiert werden muss.

Datei:01 Quadratische Gleichung-5-3.svg

Lernbereiche

Algebra: Terme umformen und binomische Formeln anwenden.
Quadratische Funktionen: Normalform und Scheitelpunktform vergleichen.
Quadratische Gleichungen: Gleichungen durch Umformen lösen.
Funktionsgraphen: Scheitelpunkte erkennen und Parabeln zeichnen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was entsteht bei der quadratischen Ergänzung? (Ein vollständiges Quadrat) (!Ein linearer Term) (!Ein Bruch ohne Variable) (!Eine dritte Potenz)

Was machst Du zuerst mit dem Koeffizienten vor x? (Halbieren) (!Verdoppeln) (!Subtrahieren) (!Wurzel ziehen)

Welche Zahl ergänzt Du bei x² plus 8x? (16) (!4) (!8) (!64)

Welche Umformung ist richtig? (x² plus 6x wird mit 9 ergänzt) (!x² plus 6x wird mit 3 ergänzt) (!x² plus 6x wird mit 6 ergänzt) (!x² plus 6x wird mit 36 ergänzt)

Welche Scheitelpunktform gehört zu x² plus 6x plus 5? (x plus 3 zum Quadrat minus 4) (!x plus 6 zum Quadrat plus 5) (!x plus 3 zum Quadrat plus 5) (!x minus 3 zum Quadrat minus 4)

Welcher Scheitelpunkt gehört zu x minus 2 zum Quadrat plus 1? (S bei 2 und 1) (!S bei minus 2 und 1) (!S bei 1 und 2) (!S bei 2 und minus 1)

Warum wird die Ergänzungszahl auch wieder subtrahiert? (Damit der Termwert gleich bleibt) (!Damit x verschwindet) (!Damit eine Gerade entsteht) (!Damit der Term größer wird)

Was ist bei 3x² plus 12x zuerst sinnvoll? (Die 3 ausklammern) (!Die 12 quadrieren) (!Durch 12 teilen) (!Die Variable entfernen)

Wofür kann die quadratische Ergänzung genutzt werden? (Zum Bestimmen des Scheitelpunkts) (!Zum Zeichnen eines Kreises ohne Rechnung) (!Zum Addieren von Brüchen) (!Zum Kürzen jeder Gleichung)

Welche Formel hilft beim Zusammenfassen? (Die erste oder zweite binomische Formel) (!Der Satz des Pythagoras) (!Die Prozentformel) (!Die Zinsformel)

Memory

Normalform	x² plus px plus q
Scheitelpunktform	Klammerquadrat plus Verschiebung
Halber Koeffizient	p geteilt durch zwei
Ergänzungszahl	Quadrat der Hälfte
Scheitelpunkt	Tiefster oder höchster Punkt
Ausklammern	Vorbereitung bei a ungleich eins

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Halbieren	Koeffizienten vor x bearbeiten
Quadrieren	Ergänzungszahl bilden
Addieren und subtrahieren	Termwert erhalten
Binomische Formel	Quadrat zusammenfassen
Scheitelpunkt ablesen	Scheitelpunktform nutzen

Kreuzworträtsel

Binom	Ausdruck mit zwei Gliedern
Scheitelpunkt	Höchster oder tiefster Punkt einer Parabel
Normalform	Form x² plus px plus q
Parabel	Graph einer quadratischen Funktion
Wurzel	Umkehrung des Quadrierens
Koeffizient	Zahl vor einer Variablen

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Beispiel markieren: Markiere in $x^{2} + 10 x$ den Koeffizienten, seine Hälfte und die Ergänzungszahl.
Rechenkarte: Gestalte eine kleine Karte mit den drei wichtigsten Schritten.
Parabel zeichnen: Zeichne die Funktion $f (x) = (x - 1)^{2} - 2$ und markiere den Scheitelpunkt.
Video-Satz: Formuliere einen Merksatz zum Planet-Schule-Video.

Standard

Term umformen: Forme $x^{2} + 8 x + 3$ in die Scheitelpunktform um.
Fehler finden: Erkläre den Fehler in $x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2}$ .
Erklärbild: Zeichne ein Flächenmodell zur quadratischen Ergänzung.
Partnererklärung: Erkläre einer anderen Person, warum die Ergänzungszahl zweimal vorkommt.

Schwer

Faktor ausklammern: Forme $3 x^{2} + 12 x - 1$ in die Scheitelpunktform um.
Gleichung lösen: Löse $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ nur mit quadratischer Ergänzung.
Vergleich der Verfahren: Vergleiche quadratische Ergänzung und p-q-Formel an einem Beispiel.
Anwendungsproblem: Erfinde eine quadratische Funktion aus einer Sachsituation und bestimme ihren Extrempunkt.

Lernkontrolle

Transfer auf Funktionen: Eine Parabel hat die Gleichung $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ . Forme sie um und erkläre, wie sich ihre Lage aus der Scheitelpunktform ergibt.
Begründung: Erkläre ohne bloßes Nachrechnen, warum $x^{2} + 10 x + 25$ ein vollständiges Quadrat ist.
Fehleranalyse: Eine Person ergänzt bei $x^{2} - 6 x$ die Zahl $- 9$ . Untersuche den Fehler und verbessere den Rechenweg.
Methodenwahl: Entscheide bei drei selbst gewählten quadratischen Gleichungen, ob quadratische Ergänzung, Faktorisieren oder eine Lösungsformel besonders günstig ist.
Geometrische Deutung: Nutze ein Flächenbild, um die Gleichung $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ zu erklären.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

einen quadratischen Term sicher in die Scheitelpunktform umformen kannst,
die Ergänzungszahl richtig bestimmst,
einen Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform abliest,
eine quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung löst,
Deinen Rechenweg verständlich begründest.

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Quadratische Ergänzung

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Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.