Lineare Funktionen
Lineare Funktionen
Lineare Funktionen
Einleitung
Eine lineare Funktion beschreibt einen gleichmäßigen Zusammenhang. Ihr Graph ist eine Gerade. Im Schulunterricht nutzt Du meist die Form:
f(x) = m · x + t
Dabei ist m die Steigung und t der y-Achsenabschnitt. Mit linearen Funktionen kannst Du zum Beispiel Kosten, Wege oder Füllstände beschreiben.
Die Steigung m
Die Steigung zeigt, wie sich die Gerade verändert:
- m > 0: Die Gerade steigt.
- m < 0: Die Gerade fällt.
- m = 0: Die Gerade ist waagerecht.
Der y-Achsenabschnitt t
Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet. Bei f(x) = 2x + 3 ist t = 3.
Zeichnen einer Geraden
So zeichnest Du den Graphen von f(x) = 2x + 1:
- Markiere den y-Achsenabschnitt 1.
- Nutze die Steigung 2: Gehe eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben.
- Verbinde die Punkte zu einer Geraden.
Wichtige Sonderfälle
- Ursprungsgerade: Bei t = 0 verläuft die Gerade durch den Ursprung.
- Konstante Funktion: Bei m = 0 ist die Gerade waagerecht.
- Nullstelle: Sie ist der x-Wert, für den f(x) = 0 gilt.
Video: Lineare Funktionen
Das Video von Planet Schule erklärt die Funktionsgleichung, die Steigung und den y-Achsenabschnitt.
Planet Schule: 010 Lineare Funktionen
Aufgaben zum Video
- Video-Begriffe: Notiere die Bedeutung von m und t.
- Geraden erkennen: Zeichne eine steigende, eine fallende und eine waagerechte Gerade.
- Steigung erklären: Beschreibe, wie sich eine größere positive Steigung auswirkt.
- Achsenabschnitt erklären: Erkläre, was passiert, wenn nur t verändert wird.
- Video-Beispiel: Wähle eine Funktionsgleichung aus dem Video und zeichne den Graphen.
Lernbereiche
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Wie sieht der Graph einer linearen Funktion aus? (Eine Gerade) (!Ein Kreis) (!Eine Parabel) (!Ein Dreieck)
Wofür steht m in f x = m mal x plus t? (Für die Steigung) (!Für die Nullstelle) (!Für den x-Wert) (!Für den Funktionsnamen)
Wofür steht t in f x = m mal x plus t? (Für den y-Achsenabschnitt) (!Für die Steigung) (!Für die x-Achse) (!Für die Wertetabelle)
Was gilt bei einer positiven Steigung? (Die Gerade steigt) (!Die Gerade fällt) (!Die Gerade ist ein Kreis) (!Die Gerade verschwindet)
Was gilt bei einer negativen Steigung? (Die Gerade fällt) (!Die Gerade steigt) (!Die Gerade ist senkrecht) (!Die Gerade wird zur Parabel)
Wie verläuft eine Gerade bei m gleich null? (Waagerecht) (!Senkrecht) (!Kreisförmig) (!Zickzackförmig)
Wie groß ist t bei f x = 2x plus 3? (3) (!2) (!5) (!6)
Wie groß ist m bei f x = minus 4x plus 1? (Minus 4) (!1) (!4) (!Minus 1)
Was ist besonders, wenn t gleich null ist? (Die Gerade geht durch den Ursprung) (!Die Gerade ist immer waagerecht) (!Die Gerade hat keine Steigung) (!Die Gerade ist eine Parabel)
Welchen Wert hat f x = 3x minus 2 für x gleich 2? (4) (!1) (!6) (!8)
Memory
| Steigung | m |
| y-Achsenabschnitt | t |
| positive Steigung | steigende Gerade |
| negative Steigung | fallende Gerade |
| Nullstelle | x-Wert bei y gleich null |
| Ursprungsgerade | Gerade durch den Ursprung |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Bedeutung |
|---|---|
| Steigung | Richtung und Steilheit |
| y-Achsenabschnitt | y-Wert am Schnitt mit der y-Achse |
| x-Wert | waagerechte Achse |
| y-Wert | senkrechte Achse |
| Nullstelle | x-Wert bei Funktionswert null |
Kreuzworträtsel
| Gerade | Wie heißt der Graph einer linearen Funktion? |
| Steigung | Welche Größe wird mit m bezeichnet? |
| Achsenabschnitt | Wie heißt die durch t beschriebene Lage an der y-Achse? |
| Ursprung | Wie heißt der Punkt mit den Koordinaten null und null? |
| Nullstelle | Wie heißt der x-Wert mit dem Funktionswert null? |
| Wertetabelle | Welche Tabelle enthält passende x-Werte und y-Werte? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Begriffe erklären: Erkläre die Wörter Gerade, Steigung und y-Achsenabschnitt.
- Wertetabelle: Erstelle für f(x) = x + 2 eine Tabelle mit fünf x-Werten.
- Gerade zeichnen: Zeichne den Graphen von f(x) = x + 1.
- Video-Notizen: Schreibe drei wichtige Aussagen aus dem Planet-Schule-Video auf.
Standard
- Funktionsvergleich: Zeichne f(x) = x + 1 und g(x) = 2x + 1 in dasselbe Koordinatensystem und vergleiche.
- Alltagsmodell: Erfinde ein Beispiel mit Grundpreis und Preis pro Einheit.
- Fehlersuche: Erkläre, warum der Graph von f(x) = -2x + 3 nicht steigen kann.
- Video-Erklärung: Erstelle eine kurze Audioaufnahme, in der Du m und t erklärst.
Schwer
- Geradengleichung aus Punkten: Bestimme die Funktionsgleichung durch die Punkte A(1|3) und B(3|7).
- Tarifvergleich: Vergleiche zwei Tarife mit linearen Funktionen und bestimme ihren Schnittpunkt.
- Digitales Experiment: Verändere in GeoGebra systematisch m und t und dokumentiere Deine Beobachtungen.
- Lernvideo: Produziere ein eigenes zweiminütiges Erklärvideo zu linearen Funktionen.
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Lernkontrolle
- Transfer Alltag: Ein Taxi verlangt einen Grundpreis und einen Preis pro Kilometer. Erkläre, welche Größen m und t darstellen.
- Graphen vergleichen: Zwei Geraden haben denselben y-Achsenabschnitt, aber verschiedene Steigungen. Beschreibe ihre Gemeinsamkeit und ihren Unterschied.
- Modell prüfen: Begründe, wann ein Alltagsvorgang nicht sinnvoll durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann.
- Fehler analysieren: Eine Person behauptet, dass f(x) = -3x + 4 eine steigende Gerade habe. Widerlege die Aussage.
- Darstellungen verbinden: Erkläre, wie Funktionsgleichung, Wertetabelle und Graph zusammenhängen.
- Schnittpunkt deuten: Zwei Kostenfunktionen schneiden sich. Erkläre die Bedeutung dieses Punktes im Sachzusammenhang.
Lernnachweis
Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:
- eine Funktionsgleichung der Form f(x) = m · x + t lesen kannst,
- Steigung und y-Achsenabschnitt bestimmen kannst,
- eine Wertetabelle erstellen kannst,
- eine Gerade im Koordinatensystem zeichnen kannst,
- Nullstelle und Schnittpunkt im Zusammenhang deuten kannst,
- ein einfaches Alltagsproblem mit einer linearen Funktion modellieren kannst.
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