Lagebeziehungen zwischen Gerade und Parabel

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Eine Gerade und eine Parabel können zwei, einen oder keinen gemeinsamen Punkt haben. Du lernst, diese drei Fälle im Bild und mit einer Rechnung zu erkennen.

Der Kurs gehört zum Fach Mathematik und eignet sich für die Klassen 8 bis 13.

Lernziele

Du kannst die Begriffe Sekante, Tangente und Passante erklären. Du kannst die Funktionsterme gleichsetzen, die Diskriminante nutzen und mögliche Schnittpunkte berechnen.

Lernvideo

Das Video von Planet Schule und kolleg24 zeigt die drei Lagebeziehungen und den Rechenweg.

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Planet Schule: Folge 019 und Übungen

Aufgaben zum Video

1. Vorwissen aktivieren: Zeichne vor dem Video eine Parabel und drei Geraden. Eine Gerade soll die Parabel zweimal schneiden, eine soll sie berühren und eine soll vorbeigehen.
2. Begriffe erkennen: Notiere beim Abschnitt von etwa 0:29 bis 1:32 die Begriffe Sekante, Tangente und Passante. Ergänze jeweils die Zahl der gemeinsamen Punkte.
3. Gleichsetzen erklären: Pausiere bei etwa 1:40. Erkläre mit einem Satz, warum die Funktionsterme an einem Schnittpunkt gleich sein müssen.
4. Rechenweg sichern: Schreibe beim ersten Beispiel die vier Schritte auf: gleichsetzen, umformen, Diskriminante prüfen, Koordinaten bestimmen.
5. Video-Zusammenfassung: Erstelle nach dem Video eine Tabelle mit den drei Fällen und den Bedingungen D > 0, D = 0 und D < 0.
6. Transfer zum Video: Erfinde zu jedem der drei Fälle ein eigenes Paar aus Parabel und Gerade. Prüfe Deine Beispiele mit einer Zeichnung oder einer Rechnung.

Die drei Lagebeziehungen

Für eine Parabel $f(x)=a{x}^2+bx+c$ mit $a\ne 0$ und eine Gerade $g(x)=mx+n$ gilt:

$f(x)=g(x)$

Nach dem Umformen entsteht eine Quadratische Gleichung. Ihre Diskriminante entscheidet über die Zahl der reellen Lösungen.

Lage	Gemeinsame Punkte	Diskriminante
Sekante	zwei Schnittpunkte	$D>0$
Tangente	ein Berührpunkt	$D=0$
Passante	kein gemeinsamer Punkt	$D<0$

Sekante

Eine Sekante schneidet die Parabel in zwei Punkten. Die Gleichung $f(x)=g(x)$ hat zwei verschiedene reelle Lösungen.

Beispiel: $f(x)=x^2$ und $g(x)=x+2$. Aus $x^2=x+2$ wird $x^2-x-2=0$. Die Lösungen sind $x=-1$ und $x=2$. Daher gibt es zwei Schnittpunkte.

Tangente

Eine Tangente berührt die Parabel in genau einem Punkt. Die Gleichung hat eine doppelte Lösung.

Beispiel: $f(x)=x^2$ und $g(x)=2x-1$. Es gilt $x^2=2x-1$ und damit $(x-1{)}^2=0$. Der Berührpunkt ist $B(1|1)$.

Passante

Eine Passante hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Parabel. Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

Beispiel: $f(x)=x^2$ und $g(x)=-1$. Die Gleichung $x^2=-1$ hat keine reelle Lösung.

Rechenweg

1. Funktionsterme gleichsetzen: Schreibe $f(x)=g(x)$.
2. Quadratische Gleichung: Bringe alle Terme auf eine Seite.
3. Diskriminante: Berechne $D=b^2-4ac$.
4. Lage bestimmen: Ordne Sekante, Tangente oder Passante zu.
5. Schnittpunkte: Berechne bei $D\ge 0$ zuerst die x-Werte und danach die y-Werte.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie heißt eine Gerade mit zwei Schnittpunkten mit einer Parabel? (Sekante) (!Tangente) (!Passante) (!Symmetrieachse)

Wie heißt eine Gerade, die eine Parabel in genau einem Punkt berührt? (Tangente) (!Sekante) (!Passante) (!Koordinatenachse)

Wie heißt eine Gerade ohne gemeinsamen Punkt mit einer Parabel? (Passante) (!Tangente) (!Sekante) (!Mittelsenkrechte)

Was ist der erste Rechenschritt bei der Suche nach gemeinsamen Punkten? (Funktionsterme gleichsetzen) (!Nur die Gerade zeichnen) (!Den Scheitelpunkt verdoppeln) (!Die y-Werte addieren)

Was bedeutet D > 0 für die Lagebeziehung? (Zwei reelle Lösungen und eine Sekante) (!Eine doppelte Lösung und eine Tangente) (!Keine reelle Lösung und eine Passante) (!Unendlich viele Lösungen)

Was bedeutet D = 0 für die Lagebeziehung? (Eine doppelte Lösung und eine Tangente) (!Zwei reelle Lösungen und eine Sekante) (!Keine reelle Lösung und eine Passante) (!Die Parabel ist keine Funktion)

Was bedeutet D < 0 für die Lagebeziehung? (Keine reelle Lösung und eine Passante) (!Zwei reelle Lösungen und eine Sekante) (!Eine doppelte Lösung und eine Tangente) (!Genau drei Schnittpunkte)

Welche Lage haben f von x gleich x Quadrat und g von x gleich minus eins? (Passante) (!Tangente) (!Sekante) (!Identische Graphen)

Welche Lage haben f von x gleich x Quadrat und g von x gleich zwei x minus eins? (Tangente) (!Passante) (!Sekante) (!Parallele Geraden)

Was machst Du nach dem Berechnen der x-Werte eines Schnittpunkts? (Einen x-Wert in eine Funktion einsetzen) (!Die Diskriminante quadrieren) (!Die Parabel durch eine Gerade ersetzen) (!Alle Koeffizienten löschen)

Memory

Sekante	zwei Schnittpunkte
Tangente	ein Berührpunkt
Passante	kein gemeinsamer Punkt
Gleichsetzen	gleiche y-Werte
Diskriminante	Anzahl reeller Lösungen
Rückeinsetzen	y-Koordinate bestimmen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Lage oder Rechenschritt
Sekante	Gerade schneidet die Parabel zweimal
Tangente	Gerade berührt die Parabel einmal
Passante	Gerade geht an der Parabel vorbei
Gleichsetzen	Start der Rechnung
Diskriminante	Entscheidung über die Anzahl reeller Lösungen

Kreuzworträtsel

Sekante	Wie heißt eine Gerade mit zwei gemeinsamen Punkten?
Tangente	Wie heißt eine Gerade mit genau einem Berührpunkt?
Passante	Wie heißt eine Gerade ohne gemeinsamen Punkt?
Diskriminante	Welche Größe entscheidet über die Zahl der reellen Lösungen?
Gleichsetzen	Welcher Rechenschritt steht am Anfang?
Schnittpunkt	Wie heißt ein gemeinsamer Punkt zweier Graphen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Gerade, die eine Parabel zweimal schneidet, heißt . Eine Gerade mit genau einem Berührpunkt heißt . Eine Gerade ohne gemeinsamen Punkt heißt . Am Anfang der Rechnung werden die Funktionsterme . Danach entsteht eine Gleichung. Bei einer positiven Diskriminante gibt es reelle Lösungen. Bei einer Diskriminante von null gibt es eine Lösung. Eine negative Diskriminante führt zu keiner Lösung.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Drei Bilder: Zeichne eine Parabel mit einer Sekante, einer Tangente und einer Passante. Beschrifte die gemeinsamen Punkte.
2. Videonotizen: Fasse das Lernvideo in höchstens sechs einfachen Sätzen zusammen.
3. Begriffskarten: Gestalte Karten für Sekante, Tangente, Passante und Diskriminante. Schreibe auf die Rückseite eine Erklärung.
4. Graphen verändern: Verschiebe eine Gerade in einer Zeichnung nach oben und unten. Markiere, wann sich die Lagebeziehung ändert.

Standard

1. Rechnung erklären: Untersuche $f(x)=x^2$ und $g(x)=x+2$. Erkläre jeden Rechenschritt mit eigenen Worten.
2. Parameter untersuchen: Untersuche $f(x)=x^2$ und $g_t(x)=x+t$. Finde heraus, für welche Werte von t eine Sekante, Tangente oder Passante entsteht.
3. Fehler finden: Jemand sagt: „Bei D > 0 liegt eine Tangente vor.“ Erkläre den Fehler und verbessere die Aussage.
4. Erklärvideo: Produziere ein Video von höchstens 90 Sekunden. Zeige darin die drei Lagebeziehungen an einer eigenen Zeichnung.

Schwer

1. Tangentenfamilie: Bestimme für $f(x)=x^2$ alle Geraden mit der Steigung m, die Tangenten an die Parabel sind.
2. Modellierung: Erfinde eine Situation mit einer parabelförmigen Brücke und einer geraden Strecke. Deute die möglichen Schnittpunkte.
3. Begründung: Begründe, warum eine Gerade und eine Parabel höchstens zwei gemeinsame Punkte haben können.
4. Digitale Untersuchung: Erstelle mit einer dynamischen Geometriesoftware ein Modell mit einem Schieberegler. Dokumentiere den Übergang von Sekante zu Tangente und Passante.

Lernkontrolle

1. Darstellung wechseln: Erkläre, wie die Zahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung mit der Zahl der gemeinsamen Punkte im Koordinatensystem zusammenhängt.
2. Beispiele konstruieren: Gib zu $f(x)=x^2$ je eine Gerade an, die Sekante, Tangente und Passante ist. Begründe Deine Wahl ohne Zeichnung.
3. Methode wählen: Entscheide, wann die Diskriminante allein genügt und wann Du zusätzlich die Koordinaten der Schnittpunkte berechnen musst.
4. Fehleranalyse: In einer Rechnung wird nach dem Gleichsetzen nur eine x-Lösung gefunden, obwohl D > 0 ist. Beschreibe mögliche Fehlerquellen.
5. Parameter deuten: Eine Gerade wird parallel verschoben. Erkläre, warum sich dabei die Lagebeziehung zur Parabel ändern kann.
6. Transfer: Vergleiche eine Tangente an eine Parabel mit einer Tangente an einen Kreis. Nenne eine Gemeinsamkeit und einen Unterschied.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis ist wichtig, dass Du:

1. Lagebeziehung erkennen: Sekante, Tangente und Passante im Bild sicher unterscheidest.
2. Gleichsetzen: aus zwei Funktionstermen eine quadratische Gleichung bildest.
3. Diskriminante anwenden: aus dem Vorzeichen von D die Zahl der reellen Lösungen ableitest.
4. Schnittpunkte berechnen: x- und y-Koordinaten vollständig bestimmst.
5. Zusammenhänge erklären: Rechnung und Graph mit eigenen Worten verbindest.

OERs zum Thema

Die freie Videodatei von Planet Schule und kolleg24 kann unter Beachtung der Lizenz CC BY-SA 4.0 genutzt werden.

Datei:Lagebeziehungen zwischen Gerade und Parabel - kolleg24 Mathematik.webm

Lernbereiche

Mathematik Algebra Funktionen Quadratische Funktionen Analytische Geometrie Gleichungen

Links

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