Urnenmodelle und Baumdiagramm

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Urnenmodelle und Baumdiagramm

Fach: Mathematik | Klasse: 8–12 | Lernbereich: Stochastik

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Einleitung

Ein Urnenmodell beschreibt einen Zufallsversuch mit Kugeln. Ein Baumdiagramm zeigt alle möglichen Wege. Du lernst, wie sich Ziehen mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen unterscheiden und wie Du Wahrscheinlichkeiten berechnest.

Lernziele

Du kannst ein Baumdiagramm zeichnen, Astwahrscheinlichkeiten eintragen und die beiden Pfadregeln anwenden.

Grundwissen

Mit Zurücklegen

Die gezogene Kugel kommt zurück in die Urne. Deshalb bleibt die Zusammensetzung gleich. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben bei jedem Zug gleich.

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Ohne Zurücklegen

Die gezogene Kugel bleibt draußen. Die Anzahl der Kugeln wird kleiner. Deshalb ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim nächsten Zug.

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Baumdiagramm und Pfadregeln

Jeder Ast steht für ein mögliches Ergebnis. An jedem Knoten müssen sich die Astwahrscheinlichkeiten zu 1 addieren.

1. Erste Pfadregel: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades.
2. Zweite Pfadregel: Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller passenden Pfade.

Beispiel: In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Beim Ziehen mit Zurücklegen gilt für zweimal Rot: 3/5 · 3/5 = 9/25. Ohne Zurücklegen gilt: 3/5 · 2/4 = 3/10.

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Aufgaben zum Video

Sieh das Video aufmerksam an. Stoppe es bei wichtigen Stellen.

1. Videoauftrag – Grundidee: Erkläre in einem Satz, wozu ein Urnenmodell dient.
2. Videoauftrag – Baum: Zeichne eines der Baumdiagramme aus dem Video ab.
3. Videoauftrag – Äste: Notiere, was die erste und die zweite Stufe des Baumes bedeuten.
4. Videoauftrag – Wahrscheinlichkeiten: Übernimm eine Rechnung aus dem Video und erkläre jeden Faktor.
5. Videoauftrag – Vergleich: Beschreibe den Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen.
6. Videoauftrag – Merksatz: Formuliere einen eigenen Merksatz zu den Pfadregeln.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wozu dient ein Urnenmodell? (Zur Darstellung eines Zufallsversuchs) (!Zur Messung einer Strecke) (!Zur Lösung einer Gleichung) (!Zur Darstellung einer Funktion)

Was passiert beim Ziehen mit Zurücklegen? (Die gezogene Kugel kommt zurück) (!Die gezogene Kugel wird entfernt) (!Alle Kugeln werden ausgetauscht) (!Die Urne wird geleert)

Was passiert beim Ziehen ohne Zurücklegen? (Die Zusammensetzung der Urne ändert sich) (!Die Zusammensetzung bleibt immer gleich) (!Jede Wahrscheinlichkeit wird null) (!Alle Ergebnisse werden gleich)

Was stellt ein Ast im Baumdiagramm dar? (Ein mögliches Ergebnis) (!Eine fertige Tabelle) (!Eine geometrische Figur) (!Eine Maßeinheit)

Was fordert die erste Pfadregel? (Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren) (!Alle Wahrscheinlichkeiten subtrahieren) (!Nur den ersten Ast betrachten) (!Die Anzahl der Kugeln quadrieren)

Was fordert die zweite Pfadregel? (Wahrscheinlichkeiten passender Pfade addieren) (!Alle Äste multiplizieren) (!Nur Gegenereignisse zählen) (!Die Urne zweimal leeren)

Wie groß ist bei 3 roten und 2 blauen Kugeln die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot mit Zurücklegen? (9/25) (!3/10) (!6/25) (!2/5)

Wie groß ist bei 3 roten und 2 blauen Kugeln die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot ohne Zurücklegen? (3/10) (!9/25) (!1/5) (!4/5)

Welche Summe haben die Astwahrscheinlichkeiten an einem Knoten? (1) (!0) (!2) (!10)

Welche Darstellung eignet sich für einen mehrstufigen Zufallsversuch? (Ein Baumdiagramm) (!Ein Zahlenstrahl) (!Ein Kreisdiagramm ohne Angaben) (!Eine Wertetabelle für Funktionen)

Memory

Urnenmodell	Modell für einen Zufallsversuch
Baumdiagramm	Darstellung eines mehrstufigen Versuchs
Mit Zurücklegen	Zusammensetzung bleibt gleich
Ohne Zurücklegen	Zusammensetzung ändert sich
Erste Pfadregel	Wahrscheinlichkeiten auf einem Pfad multiplizieren
Zweite Pfadregel	Passende Pfade addieren

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Mit Zurücklegen	Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich
Ohne Zurücklegen	Wahrscheinlichkeiten können sich ändern
Ast	Einzelner möglicher Ausgang
Pfad	Folge mehrerer Ergebnisse
Endknoten	Vollständiges Ergebnis des Versuchs

Kreuzworträtsel

Urnenmodell	Wie heißt das Gedankenmodell mit Kugeln in einem Gefäß?
Baumdiagramm	Welche Darstellung zeigt die möglichen Wege eines mehrstufigen Versuchs?
Pfadregel	Wie heißt eine Rechenregel für Wege im Baum?
Ergebnis	Wie heißt ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuchs?
Kugel	Was wird im klassischen Urnenmodell gezogen?
Ereignis	Wie heißt eine Menge von Ergebnissen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein beschreibt einen Zufallsversuch mit Kugeln. Beim Ziehen mit kommt die Kugel wieder in die Urne. Dann bleiben die Wahrscheinlichkeiten . Beim Ziehen ohne Zurücklegen sich die Zusammensetzung der Urne. Entlang eines Pfades werden Wahrscheinlichkeiten . Wahrscheinlichkeiten passender Pfade werden . An jedem Knoten ist die Summe der Astwahrscheinlichkeiten .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Urne bauen: Fülle einen Beutel mit drei roten und zwei blauen Gegenständen. Ziehe zehnmal mit Zurücklegen und notiere die Ergebnisse.
2. Baum skizzieren: Zeichne ein Baumdiagramm für zwei Münzwürfe.
3. Begriffe erklären: Erkläre Ast, Pfad und Endknoten in eigenen Worten.
4. Bild beschreiben: Wähle eine Abbildung aus dem Kurs und beschreibe, was sie zeigt.

Standard

1. Modelle vergleichen: Zeichne für dieselbe Urne je einen Baum mit und ohne Zurücklegen.
2. Experiment prüfen: Führe 30 Ziehungen durch und vergleiche relative Häufigkeit und theoretische Wahrscheinlichkeit.
3. Fehler finden: Erstelle absichtlich ein fehlerhaftes Baumdiagramm und lasse eine Partnerin oder einen Partner den Fehler erklären.
4. Erklärvideo planen: Schreibe ein kurzes Drehbuch zu den beiden Pfadregeln.

Schwer

1. Faires Spiel entwickeln: Erfinde ein Urnenspiel und passe die Gewinne so an, dass das Spiel möglichst fair ist.
2. Alltag modellieren: Übertrage eine reale Situation auf ein Urnenmodell und begründe Deine Entscheidungen.
3. Simulation erstellen: Simuliere mindestens 1000 Ziehungen mit einer Tabellenkalkulation oder einem Programm.
4. Modellkritik: Erkläre, welche Annahmen des Urnenmodells in einem echten Experiment verletzt werden könnten.

Lernkontrolle

1. Modellwahl begründen: Entscheide bei einer Qualitätskontrolle, ob ein Modell mit oder ohne Zurücklegen passt. Begründe Deine Wahl.
2. Baumdiagramm korrigieren: In einem Baum ändern sich die Wahrscheinlichkeiten trotz Zurücklegens. Erkläre den Fehler und verbessere den Baum.
3. Spiel bewerten: Untersuche ein Urnenspiel mit Gewinnen und Verlusten. Entscheide, ob es fair ist.
4. Ergebnisse deuten: Ein Experiment liefert nach 20 Ziehungen eine stark abweichende relative Häufigkeit. Erkläre, warum das möglich ist.
5. Transferaufgabe: Entwickle zu einer Ziehung aus einer Kartenbox ein passendes Urnenmodell und berechne ein selbst gewähltes Ereignis.

Lernnachweis

Für den Lernnachweis sollst Du:

1. ein korrektes Baumdiagramm erstellen,
2. mit und ohne Zurücklegen unterscheiden,
3. beide Pfadregeln sicher anwenden,
4. Ergebnisse verständlich erklären,
5. ein Urnenmodell auf eine neue Situation übertragen.

Links

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