Steckbriefaufgaben - Funktionen vierten Grades

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Steckbriefaufgaben - Funktionen vierten Grades

Fach	Mathematik
Klassen	10–13
Lernbereich	Analysis und ganzrationale Funktionen

Einleitung

Bei einer Steckbriefaufgabe kennst Du Eigenschaften eines Graphen. Daraus bestimmst Du die passende Funktionsgleichung.

Eine Funktion vierten Grades hat die allgemeine Form:

$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ mit $a\ne 0$.

Es gibt fünf unbekannte Koeffizienten. Deshalb brauchst Du meist fünf unabhängige Bedingungen.

Bedingungen übersetzen

Angabe im Text	Mathematische Bedingung
Punkt $P(x_0|y_0)$	$f(x_0)=y_0$
Nullstelle bei $x_0$	$f(x_0)=0$
Waagerechte Tangente bei $x_0$	$f^{\prime }(x_0)=0$
Steigung $m$ bei $x_0$	$f^{\prime }(x_0)=m$
Wendestelle bei $x_0$	$f^{″}(x_0)=0$
Punkt auf der y-Achse	$f(0)=y_0$

Merksatz: Text lesen → Bedingungen bilden → Lineares Gleichungssystem lösen → Ergebnis prüfen.

Symmetrie nutzen

Bei Achsensymmetrie zur y-Achse fallen die ungeraden Potenzen weg:

$f(x)=a{x}^4+c{x}^2+e$.

Das spart Rechenarbeit.

Kurzes Beispiel

Gesucht ist eine achsensymmetrische Funktion vierten Grades durch die Punkte $(0|-1)$, $(1|0)$ und $(2|15)$.

$f(x)=a{x}^4+c{x}^2+e$

Die drei Punkte liefern drei Gleichungen. Ihre Lösung ist $a=1$, $c=0$ und $e=-1$.

Damit gilt:

$f(x)=x^4-1$

Video: Steckbriefaufgaben

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Aufgaben zum Video

1. Videonotizen: Schreibe die allgemeine Form einer Funktion vierten Grades auf.
2. Ableitungen: Notiere die erste und zweite Ableitung der allgemeinen Funktion.
3. Bedingungen: Halte das Video bei jeder neuen Angabe an. Übersetze die Angabe in eine Gleichung.
4. Lösungsweg: Schreibe die Arbeitsschritte in der richtigen Reihenfolge auf.
5. Gleichungssystem: Erkläre, warum mehrere Bedingungen zu mehreren Gleichungen führen.
6. Kontrolle: Setze die gefundenen Koeffizienten wieder in alle Bedingungen ein.
7. Fehleranalyse: Nenne zwei Fehler, die beim Übertragen einer Textangabe entstehen können.
8. Zusammenfassung: Erkläre den Lösungsweg in höchstens fünf einfachen Sätzen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie lautet die allgemeine Form einer Funktion vierten Grades? (f von x gleich a x hoch vier plus b x hoch drei plus c x hoch zwei plus d x plus e) (!f von x gleich a x hoch drei plus b x hoch zwei plus c x plus d) (!f von x gleich a x hoch zwei plus b x plus c) (!f von x gleich a mal x plus b)

Wie viele Koeffizienten hat die allgemeine Form einer Funktion vierten Grades? (Fünf) (!Vier) (!Drei) (!Sechs)

Welche Bedingung gehört zum Punkt P mit den Koordinaten zwei und drei? (f von zwei gleich drei) (!f von drei gleich zwei) (!f Strich von zwei gleich drei) (!f von zwei gleich null)

Welche Bedingung gehört zu einer Nullstelle bei minus eins? (f von minus eins gleich null) (!f Strich von minus eins gleich null) (!f von null gleich minus eins) (!f zwei Strich von minus eins gleich null)

Welche Bedingung gilt an einer Extremstelle bei x gleich zwei? (f Strich von zwei gleich null) (!f von zwei gleich null) (!f zwei Strich von zwei gleich null) (!f Strich von null gleich zwei)

Welche notwendige Bedingung gilt an einer Wendestelle bei x gleich eins? (f zwei Strich von eins gleich null) (!f von eins gleich null) (!f Strich von eins gleich null) (!f drei Strich von eins gleich null)

Welche Gleichung beschreibt die Steigung vier bei x gleich null? (f Strich von null gleich vier) (!f von null gleich vier) (!f zwei Strich von null gleich vier) (!f Strich von vier gleich null)

Welche Form hat eine zur y-Achse symmetrische Funktion vierten Grades? (f von x gleich a x hoch vier plus c x hoch zwei plus e) (!f von x gleich a x hoch vier plus b x hoch drei) (!f von x gleich a x hoch drei plus c x) (!f von x gleich a x hoch vier plus d x)

Was machst Du nach dem Aufstellen aller Gleichungen? (Das lineare Gleichungssystem lösen) (!Nur den Graphen raten) (!Alle Koeffizienten gleich eins setzen) (!Die Bedingungen löschen)

Wie prüfst Du Dein Ergebnis am besten? (Alle ursprünglichen Bedingungen einsetzen) (!Nur den höchsten Exponenten ansehen) (!Nur eine Zahl in die Funktion einsetzen) (!Die Ableitungen nicht mehr beachten)

Memory

Nullstelle	Funktionswert ist null
Punktbedingung	Koordinaten werden eingesetzt
Waagerechte Tangente	Erste Ableitung ist null
Wendestelle	Zweite Ableitung ist null
Vorgegebene Steigung	Erste Ableitung hat den Wert m
Achsensymmetrie	Ungerade Potenzen entfallen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedingung
Punktbedingung	Der Graph geht durch einen gegebenen Punkt.
Nullstellenbedingung	Der Graph schneidet oder berührt die x-Achse.
Extremstellenbedingung	Die Tangente ist waagerecht.
Wendestellenbedingung	Die Krümmung wechselt.
Steigungsbedingung	Eine Tangentensteigung ist vorgegeben.

Kreuzworträtsel

Koeffizient	Wie heißt eine Zahl vor einer Potenz im Funktionsterm?
Ableitung	Womit untersuchst Du Steigungen?
Nullstelle	Wie heißt eine Stelle mit dem Funktionswert null?
Wendepunkt	Wie heißt ein Punkt mit einem Wechsel der Krümmung?
Extrempunkt	Wie heißt ein Hochpunkt oder Tiefpunkt?
Gleichungssystem	Was entsteht aus mehreren Bedingungen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Funktion vierten Grades besitzt in der allgemeinen Form fünf .

Ein gegebener Punkt führt zu einer .

An einer Nullstelle ist der Funktionswert .

An einer Extremstelle ist die erste Ableitung .

An einer Wendestelle ist die zweite Ableitung .

Bei Achsensymmetrie zur y-Achse entfallen die Potenzen.

Die Bedingungen bilden ein lineares .

Zum Schluss musst Du alle Bedingungen noch einmal .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Punkt, Nullstelle, Steigung und Wendestelle.
2. Video-Stopp: Wähle drei Stellen im Video aus und schreibe jeweils den gezeigten Rechenschritt auf.
3. Bedingungen erkennen: Erfinde fünf kurze Aussagen und übersetze sie in Gleichungen.
4. Graph skizzieren: Zeichne einen möglichen Graphen einer Funktion vierten Grades.

Standard

1. Eigener Steckbrief: Erfinde einen Steckbrief mit fünf unabhängigen Bedingungen.
2. Partneraufgabe: Tauscht Eure Steckbriefe und bestimmt die zugehörigen Funktionsterme.
3. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video zum Übersetzen von Textangaben in Gleichungen.
4. Fehlersuche: Erstelle eine falsche Musterlösung und markiere mindestens drei Fehler.

Schwer

1. Modellierungsaufgabe: Entwickle eine Steckbriefaufgabe zu einer Brücke, Rampe oder Landschaftsform.
2. Symmetrievergleich: Löse eine Aufgabe zuerst allgemein und danach mit einer Symmetriebedingung.
3. Digitale Kontrolle: Prüfe einen berechneten Funktionsterm mit einer Mathematiksoftware und dokumentiere die Ergebnisse.
4. Mehrdeutigkeit: Untersuche einen Steckbrief mit zu wenigen Bedingungen und erkläre, warum keine eindeutige Lösung entsteht.

Lernkontrolle

1. Transfer auf einen Graphen: Ein Graph besitzt einen Tiefpunkt, einen Wendepunkt und eine bekannte Steigung. Formuliere passende Gleichungen, ohne sie zu lösen.
2. Bedingungen bewerten: Entscheide, ob fünf gegebene Bedingungen unabhängig voneinander sind. Begründe Deine Entscheidung.
3. Symmetrie nutzen: Erkläre, wie sich Ansatz und Rechenaufwand bei Achsensymmetrie verändern.
4. Fehler erklären: Jemand setzt für einen Hochpunkt nur den Funktionswert ein. Erkläre, welche Bedingung fehlt.
5. Lösung prüfen: Entwickle einen vollständigen Prüfplan für einen gefundenen Funktionsterm.
6. Aufgabe verändern: Ändere eine Bedingung eines Steckbriefs und beschreibe, wie sich der Graph wahrscheinlich verändert.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Textangaben sicher in mathematische Bedingungen übersetzen kannst.
2. die allgemeine Form und die nötigen Ableitungen kennst.
3. ein lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen kannst.
4. Symmetrie sinnvoll nutzt.
5. den gefundenen Funktionsterm an allen Bedingungen prüfst.
6. Deinen Lösungsweg verständlich erklärst.

OERs zum Thema

1. Steckbriefaufgaben auf Serlo
2. Freie Grafiken zu Polynomfunktionen
3. Lernvideo zu Steckbriefaufgaben

Links

Steckbriefaufgaben - Funktionen vierten Grades Steckbriefaufgabe Ganzrationale Funktion Polynom vierten Grades Ableitung Nullstelle Extrempunkt Wendepunkt Lineares Gleichungssystem Achsensymmetrie