Statistische Kennzahlen - Mittelwert, Varianz und Standardabweichung

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, M-Niveau

Einleitung

Mit statistischen Kennzahlen beschreibst Du eine Datenreihe kurz und verständlich. Der Mittelwert zeigt die Mitte. Die Varianz und die Standardabweichung zeigen die Streuung der Werte.

Die drei Kennzahlen

Mittelwert

Der arithmetische Mittelwert ist der Durchschnitt. Addiere alle Werte und teile die Summe durch ihre Anzahl.

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}$

Beispiel: Für 2, 4, 4 und 6 gilt: $\overline{x}=4$.

Varianz

Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert.

${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$

Für 2, 4, 4 und 6 sind die quadrierten Abweichungen 4, 0, 0 und 4. Die Varianz ist deshalb ${\sigma }^2=2$.

In der Stichprobenstatistik wird häufig durch $n-1$ statt durch $n$ geteilt.

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:

$\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}$

Im Beispiel gilt: $\sigma =\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$. Eine kleine Standardabweichung bedeutet: Die Werte liegen eng beieinander. Eine große Standardabweichung bedeutet: Die Werte sind stärker verteilt.

Merksatz

Mittelwert = Mitte. Varianz und Standardabweichung = Streuung.

Lernvideo

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Aufgaben zum Video

1. Begriffe erkennen: Notiere beim Ansehen je einen kurzen Satz zu Mittelwert, Varianz und Standardabweichung.
2. Rechenweg prüfen: Pausiere vor einer Lösung und rechne das Beispiel selbst weiter.
3. Reihenfolge erklären: Schreibe auf, warum zuerst der Mittelwert berechnet wird.
4. Quadratische Abweichung: Erkläre, warum die Abweichungen quadriert werden.
5. Video-Zusammenfassung: Fasse das Video in genau drei einfachen Sätzen zusammen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Mittelwert? (Den Durchschnitt einer Datenreihe) (!Die größte Zahl) (!Die Anzahl der Werte) (!Die Reihenfolge der Werte)

Wie wird der Mittelwert berechnet? (Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen) (!Alle Werte miteinander multiplizieren) (!Nur den größten Wert betrachten) (!Größten und kleinsten Wert addieren)

Was misst die Varianz? (Die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert) (!Nur den größten Abstand) (!Die Summe aller Werte) (!Die Anzahl verschiedener Werte)

Warum werden Abweichungen bei der Varianz quadriert? (Damit sich positive und negative Abweichungen nicht aufheben) (!Damit der Mittelwert größer wird) (!Damit alle Werte gleich werden) (!Damit keine Division nötig ist)

Wie erhält man die Standardabweichung? (Als Quadratwurzel der Varianz) (!Als Quadrat des Mittelwerts) (!Als Summe aller Abweichungen) (!Als größten Wert der Datenreihe)

Was bedeutet eine kleine Standardabweichung? (Die Werte liegen meist nah am Mittelwert) (!Die Werte sind immer negativ) (!Die Datenreihe enthält nur einen Wert) (!Der Mittelwert ist null)

Was bedeutet eine große Standardabweichung? (Die Werte sind stärker verteilt) (!Alle Werte sind gleich) (!Die Anzahl der Werte ist klein) (!Der Mittelwert ist besonders groß)

Welchen Mittelwert hat die Datenreihe 2, 4, 4, 6? (4) (!2) (!6) (!16)

Welche Varianz hat die Datenreihe 2, 4, 4, 6 bei Division durch n? (2) (!1) (!4) (!8)

Welche Einheit hat die Standardabweichung? (Die gleiche Einheit wie die ursprünglichen Werte) (!Immer Quadratmeter) (!Keine Einheit) (!Die quadrierte Einheit der Werte)

Memory

Mittelwert	Durchschnitt
Varianz	Mittlere quadratische Abweichung
Standardabweichung	Wurzel der Varianz
Ausreißer	Ungewöhnlich extremer Wert
Datenreihe	Zusammengehörige Messwerte
Streuung	Verteilung um die Mitte

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Rechenschritt
Mittelwert	Addieren und durch die Anzahl teilen
Abweichung	Wert minus Mittelwert
Quadrat	Negative und positive Abstände vergleichbar machen
Varianz	Mittelwert der quadrierten Abweichungen
Standardabweichung	Quadratwurzel der Varianz

Kreuzworträtsel

Mittelwert	Wie heißt der Durchschnitt einer Datenreihe?
Varianz	Welche Kennzahl mittelt quadrierte Abweichungen?
Streuung	Welcher Begriff beschreibt die Verteilung der Werte?
Ausreißer	Wie heißt ein ungewöhnlich extremer Wert?
Wurzel	Welche Rechenoperation führt von der Varianz zur Standardabweichung?
Datenreihe	Wie nennt man zusammengehörige statistische Werte?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der beschreibt den Durchschnitt einer Datenreihe. Für seine Berechnung wird die Summe durch die der Werte geteilt. Die Differenz zwischen einem Wert und dem Mittelwert heißt . Bei der Varianz werden diese Abweichungen . Die Standardabweichung ist die der Varianz. Eine große Standardabweichung zeigt eine starke .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Mittelwert berechnen: Berechne den Mittelwert Deiner letzten fünf Mathematiknoten.
2. Daten sammeln: Miss an fünf Tagen die Außentemperatur zur gleichen Uhrzeit und bilde den Mittelwert.
3. Begriffsplakat: Gestalte ein kleines Plakat zu Mittelwert, Varianz und Standardabweichung.
4. Erklärsatz: Erkläre den Unterschied zwischen Mitte und Streuung in eigenen Worten.

Standard

1. Tabellenkalkulation: Berechne Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer selbst gewählten Datenreihe.
2. Datenvergleich: Finde zwei Datenreihen mit gleichem Mittelwert, aber verschiedener Standardabweichung.
3. Ausreißer untersuchen: Ergänze einen sehr großen Wert und beschreibe die Veränderung der Kennzahlen.
4. Lernvideo gestalten: Produziere ein einminütiges Erklärvideo mit einem eigenen Zahlenbeispiel.

Schwer

1. Stichprobe und Grundgesamtheit: Vergleiche die Varianzformeln mit Division durch n und durch n minus 1.
2. Datensatz analysieren: Untersuche reale Sport-, Wetter- oder Verkehrsdaten und deute die Kennzahlen.
3. Manipulation durch Kennzahlen: Entwickle ein Beispiel, in dem der Mittelwert allein einen falschen Eindruck erzeugt.
4. Statistik-Projekt: Plane eine Umfrage, erhebe Daten und präsentiere Mitte, Streuung und Grenzen der Auswertung.

Lernkontrolle

1. Vergleich von Datenreihen: Zwei Klassen haben denselben Notendurchschnitt, aber verschiedene Standardabweichungen. Erkläre, was das über die Leistungen aussagt.
2. Entscheidung mit Daten: Wähle für zwei Produktionsverfahren das verlässlichere Verfahren und begründe Deine Wahl mit der Streuung.
3. Ausreißer bewerten: Entscheide, ob ein Ausreißer entfernt werden darf. Begründe Deine Entscheidung fachlich.
4. Fehleranalyse: Eine Person berechnet die Standardabweichung direkt aus den Abweichungen ohne Quadrieren. Erkläre den Fehler.
5. Darstellung entwickeln: Erstelle zwei kleine Diagramme mit gleichem Mittelwert, aber deutlich unterschiedlicher Streuung, und deute sie.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. den Mittelwert sicher berechnen,
2. den Rechenweg von der Abweichung zur Varianz erklären,
3. die Standardabweichung berechnen und deuten,
4. Datenreihen vergleichen,
5. den Einfluss von Ausreißern beurteilen,
6. zwischen Division durch $n$ und $n-1$ unterscheiden.

OERs zum Thema

1. Arithmetisches Mittel
2. Varianz
3. Standardabweichung
4. Streuungsmaß
5. Deskriptive Statistik

Links

Statistische Kennzahlen - Mittelwert, Varianz und Standardabweichung Mittelwert Varianz Standardabweichung Streuung Datenreihe Stichprobe