Quadratische Gleichungen und Parabeln umformen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Eine quadratische Funktion hat als Graphen eine Parabel. Eine quadratische Gleichung entsteht oft, wenn Du die Funktion gleich null setzt. Durch Umformen wechselst Du zwischen Darstellungsformen oder bereitest das Lösen vor.

Fach: Mathematik, Klassen: 8–12.

Lernziele

Du kannst die Normalform, die Scheitelpunktform und die Produktform erkennen, ineinander umformen und zum Lösen nutzen. Du kannst außerdem Scheitelpunkt und Nullstellen am Term oder am Graphen deuten.

Grundwissen

Quadratische Funktion und Parabel

Die allgemeine Form lautet:

$f(x)=a{x}^2+bx+c$ mit $a\ne 0$.

Der Wert von $a$ bestimmt Öffnung und Breite. Bei $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet. Bei $a<0$ ist sie nach unten geöffnet.

Drei wichtige Formen

1. Normalform: $f(x)=a{x}^2+bx+c$. Du erkennst den y-Achsenabschnitt $c$.
2. Scheitelpunktform: $f(x)=a(x-d{)}^2+e$. Du erkennst den Scheitelpunkt $S(d|e)$.
3. Produktform: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. Du erkennst die Nullstellen $x_1$ und $x_2$.

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Multipliziere die Klammer mit einer binomischen Formel aus.

$f(x)=(x-2{)}^2-3$

$f(x)=x^2-4x+4-3=x^2-4x+1$

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

Nutze die quadratische Ergänzung.

$f(x)=x^2-6x+5$

$f(x)=x^2-6x+9-9+5=(x-3{)}^2-4$

Der Scheitelpunkt ist $S(3|-4)$.

Gleichung lösen

Setze die Funktion gleich null. In der Scheitelpunktform kannst Du oft die Wurzel ziehen:

$(x-3{)}^2-4=0$

$(x-3{)}^2=4$

$x-3=\pm 2$

$x_1=1$ und $x_2=5$.

In der Produktform gilt:

$(x-1)(x-5)=0$

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist mindestens ein Faktor null.

Merksatz

Umformen verändert die Darstellung, aber nicht die Lösungsmenge. Bei einer Äquivalenzumformung führst Du auf beiden Seiten dieselbe erlaubte Rechenoperation aus.

Video und Aufgaben

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Aufgaben zum Video

1. Ausgangsgleichung: Notiere die Gleichung, die im Video umgestellt wird.
2. Rechenschritte: Stoppe nach jedem Schritt und schreibe ihn sauber auf.
3. Äquivalenzumformung: Markiere, welche Operation auf beiden Seiten ausgeführt wird.
4. Probe: Setze ein passendes Beispiel ein und prüfe das Ergebnis.
5. Erklärung: Erkläre in drei Sätzen, warum eine äquivalente Umformung dieselbe Parabel beschreibt.

Weiteres freies Erklärvideo

Datei:Quadratische Funktionen und Normalparabel - kolleg24 Mathematik.webm

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion? (Parabel) (!Gerade) (!Kreis) (!Hyperbel)

Welche Bedingung gilt in f von x gleich ax Quadrat plus bx plus c? (a ist nicht null) (!b ist nicht null) (!c ist nicht null) (!x ist nicht null)

Welchen Scheitelpunkt hat f von x gleich x minus 3 zum Quadrat minus 4? (S bei 3 und minus 4) (!S bei minus 3 und minus 4) (!S bei 3 und 4) (!S bei minus 4 und 3)

Welche Normalform gehört zu x minus 2 zum Quadrat plus 1? (x Quadrat minus 4x plus 5) (!x Quadrat minus 2x plus 1) (!x Quadrat plus 4x plus 5) (!x Quadrat minus 4x plus 1)

Welche Produktform gehört zu x Quadrat minus 6x plus 5? (x minus 1 mal x minus 5) (!x plus 1 mal x plus 5) (!x minus 2 mal x minus 3) (!x plus 1 mal x minus 5)

Welche Lösungen hat x Quadrat minus 6x plus 5 gleich null? (1 und 5) (!minus 1 und minus 5) (!2 und 3) (!0 und 6)

Was beschreibt eine Nullstelle am Graphen? (Einen Schnittpunkt mit der x-Achse) (!Den Schnittpunkt mit der y-Achse) (!Immer den Scheitelpunkt) (!Die Breite der Parabel)

Wie ist eine Parabel bei negativem a geöffnet? (Nach unten) (!Nach oben) (!Nach rechts) (!Nach links)

Was ist bei einer Äquivalenzumformung wichtig? (Auf beiden Seiten dieselbe erlaubte Operation) (!Nur die linke Seite verändern) (!Nur die rechte Seite verändern) (!Alle Vorzeichen löschen)

Wie viele reelle Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben? (Null eine oder zwei) (!Immer genau eine) (!Immer genau zwei) (!Beliebig viele)

Memory

Normalform	f von x gleich ax Quadrat plus bx plus c
Scheitelpunktform	f von x gleich a mal x minus d zum Quadrat plus e
Produktform	f von x gleich a mal x minus x eins mal x minus x zwei
Nullstellen	x-Werte mit Funktionswert null
Quadratische Ergänzung	Ergänzen zu einem vollständigen Quadrat

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Ausmultiplizieren	Scheitelpunktform in Normalform
Quadratische Ergänzung	Normalform in Scheitelpunktform
Nullprodukt	Produktform lösen
Wurzelziehen	Gleichung mit einem Quadrat lösen
Graphisches Lösen	Schnittpunkte mit der x-Achse finden

Kreuzworträtsel

Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Scheitelpunkt	Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel?
Normalform	Wie heißt die Form ax Quadrat plus bx plus c?
Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit Funktionswert null?
Koeffizient	Wie heißt eine Zahl vor einer Variablen?
Faktorisieren	Wie nennt man das Zerlegen eines Terms in Faktoren?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine .

Der Koeffizient a darf nicht sein.

In der kannst Du den Scheitelpunkt direkt ablesen.

Beim Wechsel zur Normalform wird die Klammer .

Für den Rückweg nutzt Du die quadratische .

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung entsprechen den der Funktion.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffskartei: Erstelle Karten zu Parabel, Scheitelpunkt, Normalform, Produktform, Nullstelle und quadratischer Ergänzung.
2. Bildanalyse: Markiere in einem Parabelbild Scheitelpunkt, Symmetrieachse und Nullstellen.
3. Video-Notizen: Fasse die Rechenschritte des Videos in höchstens sechs Zeilen zusammen.
4. Wertetabelle: Erstelle eine Wertetabelle für $f(x)=x^2-4$ und zeichne den Graphen.

Standard

1. Umformung: Wandle drei Scheitelpunktformen in Normalformen um.
2. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Umformung und erkläre den Fehler.
3. Graphenvergleich: Vergleiche $x^2$, $2x^2$ und $-x^2$.
4. Erklärvideo: Produziere ein 90-sekündiges Video zur quadratischen Ergänzung.

Schwer

1. Modellierung: Beschreibe einen Brückenbogen durch eine passende Parabel.
2. Beweis: Zeige durch Ausmultiplizieren, dass zwei gegebene Formen gleichwertig sind.
3. Parameter: Untersuche systematisch die Wirkung von $a$, $d$ und $e$.
4. Unterrichtsmaterial: Erstelle ein Arbeitsblatt mit Lösungen zu allen drei Formen.

Lernkontrolle

1. Darstellungsform wählen: Entscheide für drei Probleme, welche Form am besten passt, und begründe Deine Wahl.
2. Vom Graphen zum Term: Bestimme aus einem gezeichneten Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt eine mögliche Funktionsgleichung.
3. Fehler bewerten: Prüfe eine fremde Rechnung, finde den ersten falschen Schritt und verbessere den Lösungsweg.
4. Sachproblem übertragen: Modelliere die Flugbahn eines Balls mit einer Parabel und deute Scheitelpunkt und Nullstellen.
5. Methoden vergleichen: Löse dieselbe Gleichung durch Wurzelziehen und Faktorisieren. Vergleiche Aufwand und Übersicht.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. eine quadratische Funktion in verschiedenen Formen darstellen,
2. Scheitelpunkt und Nullstellen deuten,
3. eine quadratische Gleichung nachvollziehbar lösen,
4. Äquivalenzumformungen begründen,
5. Dein Ergebnis durch Probe oder Graph prüfen.

Links

Quadratische Gleichungen und Parabeln umformen Quadratische Funktion Quadratische Gleichung Parabel Normalform Scheitelpunktform Produktform Quadratische Ergänzung Nullstelle Satz vom Nullprodukt