Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Partielle Integration - Herleitung und Beispiel

Einleitung

Die Partielle Integration ist eine Rechenregel der Integralrechnung. Du nutzt sie oft bei einem Produkt aus zwei Funktionen. Sie ist das Gegenstück zur Produktregel der Differentialrechnung.

Lernziel: Du kannst die Formel herleiten, passende Funktionen wählen und ein einfaches Integral berechnen.

Voraussetzungen

Du solltest Ableitungen, Stammfunktionen und die Produktregel kennen.

$(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$

Lernvideo: Herleitung und Beispiel

Aufgaben zum Video

Produktregel: Notiere die Produktregel, die im Video als Ausgangspunkt verwendet wird.
Herleitung: Stoppe das Video nach jedem Rechenschritt und schreibe die Umformung mit eigenen Worten auf.
Funktionswahl: Halte fest, welche Funktion im Beispiel abgeleitet und welche integriert wird.
Parallelrechnung: Verdecke das Ergebnis und rechne das Beispiel selbst zu Ende.
Ableitungsprobe: Leite das Ergebnis aus dem Video ab und prüfe, ob wieder der Integrand entsteht.

Herleitung

Aus der Produktregel folgt:

$(u \cdot v)^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$

Nun werden beide Seiten integriert:

$u \cdot v = \int u^{'} \cdot v d x + \int u \cdot v^{'} d x$

Dann wird nach dem gesuchten Integral umgestellt:

$\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x$

Die Formel

Unbestimmtes Integral:

$\int u (x) \cdot v^{'} (x) d x = u (x) \cdot v (x) - \int u^{'} (x) \cdot v (x) d x + C$

Bestimmtes Integral:

$\int_{a}^{b} u (x) \cdot v^{'} (x) d x = [u (x) \cdot v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) \cdot v (x) d x$

Beispiel

Berechne:

$\int x \cdot e^{x} d x$

Wähle $u = x$ und $v^{'} = e^{x}$ . Dann gilt $u^{'} = 1$ und $v = e^{x}$ .

$\int x \cdot e^{x} d x = x \cdot e^{x} - \int e^{x} d x$

$= x \cdot e^{x} - e^{x} + C = e^{x} (x - 1) + C$

Probe: Die Ableitung von $e^{x} (x - 1)$ ist $x \cdot e^{x}$ .

Wahl von u und v Strich

Wähle $u$ so, dass die Ableitung einfacher wird. Wähle $v^{'}$ so, dass Du leicht eine Stammfunktion findest.

Ein typischer Fall ist:

$\int \ln (x) d x$

Hier setzt Du $u = \ln (x)$ und $v^{'} = 1$ .

$\int \ln (x) d x = x \ln (x) - x + C$

Häufige Fehler

Vorzeichen: Das Minus vor dem neuen Integral wird vergessen.
Stammfunktion: Die Funktion $v^{'}$ wird nicht korrekt integriert.
Integrationskonstante: Bei unbestimmten Integralen fehlt $C$ .
Ableitungsprobe: Das Ergebnis wird nicht kontrolliert.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Regel ist der Ausgangspunkt der partiellen Integration? (Produktregel) (!Kettenregel) (!Quotientenregel) (!Mitternachtsformel)

Was geschieht bei der Herleitung nach der Produktregel? (Beide Seiten werden integriert) (!Beide Seiten werden quadriert) (!Die Variable wird gelöscht) (!Der Bruch wird gekürzt)

Welche Formel beschreibt die partielle Integration? (Integral u mal v Strich gleich u mal v minus Integral u Strich mal v) (!Integral u mal v Strich gleich u Strich mal v Strich) (!Integral u mal v Strich gleich u plus v) (!Integral u mal v Strich gleich u geteilt durch v)

Welche Wahl ist beim Integral x mal e hoch x sinnvoll? (u gleich x) (!u gleich eins) (!u gleich null) (!u gleich C)

Welche Stammfunktion gehört zu e hoch x? (e hoch x) (!x hoch e) (!eins durch x) (!ln x)

Was ist das Ergebnis von Integral x mal e hoch x? (e hoch x mal x minus eins plus C) (!x mal e hoch x plus C) (!e hoch x plus C) (!x Quadrat mal e hoch x plus C)

Wozu dient die Konstante C? (Sie erfasst alle Stammfunktionen) (!Sie ersetzt die Variable) (!Sie macht das Integral bestimmt) (!Sie ist immer null)

Wie prüfst Du ein Ergebnis eines unbestimmten Integrals? (Du leitest es ab) (!Du verdoppelst es) (!Du setzt x immer null) (!Du rundest es)

Was muss bei einem bestimmten Integral zusätzlich beachtet werden? (Die Grenzen werden eingesetzt) (!Die Variable wird umbenannt) (!Das Minuszeichen entfällt) (!Die Ableitung wird nicht gebraucht)

Wann ist partielle Integration besonders nützlich? (Bei geeigneten Produkten von Funktionen) (!Nur bei linearen Gleichungen) (!Nur bei Prozentrechnung) (!Nur bei Dreiecken)

Memory

Produktregel	Ausgangspunkt der Herleitung
u	wird abgeleitet
v Strich	wird integriert
Produktterm	u mal v
Konstante C	Familie der Stammfunktionen
Ableitungsprobe	Kontrolle des Ergebnisses

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Produktregel	Start der Herleitung
Integrieren	Auf beide Seiten anwenden
Umstellen	Gesuchtes Integral isolieren
Funktionswahl	u und v Strich festlegen
Ableitungsprobe	Ergebnis kontrollieren

Kreuzworträtsel

Produktregel	Welche Regel wird zur Herleitung benutzt?
Stammfunktion	Was ist das Ergebnis eines unbestimmten Integrals?
Integral	Welches Rechenobjekt soll bestimmt werden?
Ableitung	Was bildest Du zur Kontrolle des Ergebnisses?
Randterm	Wie heißt der Term ohne Integral beim bestimmten Fall?
Konstante	Wie heißt C im Ergebnis?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Formelkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit der Formel der partiellen Integration.
Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.
Begriffserklärung: Erkläre die Wörter Integrand, Stammfunktion und Ableitung.
Rechenweg markieren: Markiere im Beispiel u, u Strich, v Strich und v.

Standard

Eigenes Beispiel: Berechne $\int x \sin (x) d x$ und prüfe Dein Ergebnis.
Fehleranalyse: Erfinde einen typischen Vorzeichenfehler und verbessere ihn.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video zur Herleitung der Formel.
Vergleich: Vergleiche partielle Integration und Substitution in einer Tabelle.

Schwer

Doppelte partielle Integration: Berechne $\int x^{2} e^{x} d x$ .
Logarithmus: Leite die Formel für $\int \ln (x) d x$ vollständig her.
Bestimmtes Integral: Berechne $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ und deute den Randterm.
Transferaufgabe: Entwickle eine Entscheidungshilfe für die Wahl zwischen Substitution und partieller Integration.

Lernkontrolle

Begründung: Erkläre, warum die partielle Integration aus der Produktregel folgt.
Strategie: Begründe für $\int x \cos (x) d x$ eine sinnvolle Wahl von u und v Strich.
Fehlerkorrektur: Eine Person schreibt $\int x e^{x} d x = x e^{x} + e^{x} + C$ . Finde und erkläre den Fehler.
Vergleich: Entscheide bei drei selbst gewählten Integralen, ob partielle Integration oder Substitution besser passt.
Transfer: Zeige durch Ableiten, dass $x \ln (x) - x + C$ eine Stammfunktion von $\ln (x)$ ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

die Produktregel sicher anwenden,
die Formel der Partiellen Integration herleiten,
u und v Strich sinnvoll wählen,
einen vollständigen Rechenweg darstellen,
ein Ergebnis durch Ableiten prüfen,
typische Fehler erklären und verbessern.

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Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.