Logarithmusfunktion - Grundlagen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Die Logarithmusfunktion gehört zu den wichtigen Funktionen der Mathematik. Sie ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion.

Ein Logarithmus beantwortet die Frage:

Mit welchem Exponenten muss eine Basis potenziert werden, damit eine bestimmte Zahl entsteht?

Beispiel:

${\log }_2(8)=3$, denn $2^3=8$.

Grundform

Eine Logarithmusfunktion hat die Form:

$f(x)={\log }_a(x)$

Dabei gilt:

1. Basis: $a>0$ und $a\ne 1$
2. Definitionsmenge: nur positive Zahlen, also $x>0$
3. Wertemenge: alle reellen Zahlen
4. Nullstelle: bei $x=1$, denn ${\log }_a(1)=0$

Zusammenhang mit Potenzen

Logarithmus und Potenz beschreiben denselben Zusammenhang:

${\log }_a(x)=y\iff a^y=x$

Beispiele:

1. ${\log }_2(16)=4$, denn $2^4=16$
2. ${\log }_{10}(1000)=3$, denn $10^3=1000$
3. ${\log }_3(1)=0$, denn $3^0=1$

Verlauf des Graphen

Für $a>1$ ist der Graph steigend. Für $0<a<1$ ist er fallend.

Alle Logarithmusfunktionen gehen durch den Punkt $(1|0)$. Die y-Achse wird nie berührt. Sie ist eine Asymptote.

Wichtige Logarithmen

Der Zehnerlogarithmus hat die Basis 10. Er wird oft mit $\lg (x)$ geschrieben.

Der natürliche Logarithmus hat die Basis $e$. Er wird mit $\ln (x)$ geschrieben.

Video: Logarithmusfunktion und natürlicher Logarithmus

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Aufgaben zum Video

1. Grundidee des Logarithmus: Erkläre mit einem eigenen Beispiel, welche Frage ein Logarithmus beantwortet.
2. Umkehrfunktion: Beschreibe den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion.
3. Definitionsmenge: Begründe, warum Du in eine Logarithmusfunktion keine negative Zahl einsetzen darfst.
4. Graph einer Logarithmusfunktion: Zeichne nach dem Video eine einfache Skizze und markiere den Punkt $(1|0)$.
5. Natürlicher Logarithmus: Erkläre den Unterschied zwischen $\log (x)$ und $\ln (x)$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Frage beantwortet ein Logarithmus? (Mit welchem Exponenten muss die Basis potenziert werden) (!Wie groß ist der Umfang eines Kreises) (!Wie viele Nullstellen hat jede Funktion) (!Wie lang ist eine Strecke)

Was ist der Wert von log zur Basis 2 von 8? (3) (!2) (!4) (!8)

Welche Bedingung gilt für die Basis einer Logarithmusfunktion? (Sie ist positiv und nicht gleich 1) (!Sie ist immer negativ) (!Sie ist immer gleich 1) (!Sie ist immer gleich 0)

Welche Zahlen dürfen für x eingesetzt werden? (Nur positive Zahlen) (!Nur negative Zahlen) (!Nur ganze Zahlen) (!Alle Zahlen einschließlich 0)

Durch welchen Punkt verläuft jede Logarithmusfunktion? (Durch den Punkt 1 und 0) (!Durch den Punkt 0 und 1) (!Durch den Punkt 0 und 0) (!Durch den Punkt 1 und 1)

Wann ist eine Logarithmusfunktion steigend? (Wenn die Basis größer als 1 ist) (!Wenn die Basis gleich 1 ist) (!Wenn die Basis negativ ist) (!Wenn die Basis gleich 0 ist)

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion? (Die Logarithmusfunktion) (!Die lineare Funktion) (!Die quadratische Funktion) (!Die Sinusfunktion)

Was ist der Wert von log zur Basis 10 von 1000? (3) (!10) (!100) (!1000)

Welche Basis hat der natürliche Logarithmus? (Die Eulersche Zahl e) (!Die Zahl 0) (!Die Zahl 1) (!Die Zahl 10)

Welche Gerade ist eine Asymptote des Graphen? (Die y-Achse) (!Die x-Achse) (!Die Gerade y gleich 1) (!Die Gerade x gleich 1)

Memory

Logarithmus	Gesuchter Exponent
Basis	Zahl unter dem Logarithmus
Definitionsmenge	Positive Zahlen
Natürlicher Logarithmus	Basis e
Zehnerlogarithmus	Basis zehn
Umkehrfunktion	Exponentialfunktion

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Positive Zahlen	Definitionsmenge
Alle reellen Zahlen	Wertemenge
Punkt eins null	Nullstelle
Eulersche Zahl	Natürlicher Logarithmus
Exponentialfunktion	Umkehrfunktion

Kreuzworträtsel

Exponent	Welche Größe wird durch einen Logarithmus gesucht?
Basis	Welche Zahl wird bei einer Potenz mehrfach mit sich selbst multipliziert?
Asymptote	Wie heißt eine Gerade, der sich ein Graph immer weiter nähert?
Logarithmus	Wie heißt die Umkehrung des Potenzierens?
Nullstelle	Wie heißt ein Punkt, an dem der Funktionswert null ist?
Funktion	Wie nennt man eine eindeutige Zuordnung von x zu y?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der . Ein Logarithmus gibt einen gesuchten an. Die Basis muss positiv und darf nicht gleich sein. Für x sind nur Zahlen erlaubt. Jede Logarithmusfunktion verläuft durch den Punkt . Der natürliche Logarithmus wird mit abgekürzt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Beispielrechnung: Finde drei einfache Logarithmen und schreibe jeweils die passende Potenz dazu.
2. Graphenskizze: Zeichne den Graphen von $f(x)={\log }_2(x)$ grob ab.
3. Begriffe erklären: Erkläre Basis, Exponent und Logarithmus mit eigenen Worten.
4. Video-Merksatz: Formuliere aus dem Video einen Merksatz mit höchstens 20 Wörtern.

Standard

1. Wertetabelle: Erstelle eine Wertetabelle für $f(x)={\log }_2(x)$.
2. Funktionsvergleich: Vergleiche $2^x$ und ${\log }_2(x)$ in einem Koordinatensystem.
3. Alltagsbezug: Recherchiere eine Anwendung von Logarithmen und stelle sie auf einem Lernplakat dar.
4. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zu ${\log }_{10}(1000)=3$.

Schwer

1. Basisvergleich: Untersuche die Graphen zu den Basen 2, 10 und $e$.
2. Fallende Logarithmusfunktion: Erkläre den Verlauf von $f(x)={\log }_{\mathrm{0,5}}(x)$.
3. Modellierung: Entwickle eine Sachaufgabe, die mit einem Logarithmus gelöst wird.
4. Fehleranalyse: Erfinde drei typische Fehler beim Rechnen mit Logarithmen und verbessere sie.

Lernkontrolle

1. Umkehrung erklären: Zeige an einem selbst gewählten Beispiel, warum Logarithmus und Potenz Umkehroperationen sind.
2. Graph beurteilen: Ein Graph verläuft auch für negative x-Werte. Begründe, warum er keine gewöhnliche Logarithmusfunktion sein kann.
3. Basiseinfluss: Vergleiche eine Basis größer als 1 mit einer Basis zwischen 0 und 1 und erkläre den Unterschied im Verlauf.
4. Darstellungen verbinden: Verbinde eine Gleichung in Potenzform mit der passenden Logarithmusform und erkläre jeden Umformungsschritt.
5. Anwendung entwickeln: Erfinde eine reale Situation, in der ein Exponent gesucht wird, und löse sie mit einem Logarithmus.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. die Bedeutung eines Logarithmus erklären,
2. zwischen Potenzform und Logarithmusform wechseln,
3. die Bedingungen für Basis und Definitionsmenge nennen,
4. einen einfachen Graphen beschreiben,
5. den natürlichen Logarithmus erkennen,
6. eine einfache Anwendung selbstständig lösen.

Links

Logarithmusfunktion - Grundlagen Logarithmus Logarithmusfunktion Exponentialfunktion Potenz Natürlicher Logarithmus Zehnerlogarithmus Definitionsmenge Umkehrfunktion