Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Integration durch Substitution

Einleitung

Die Integration durch Substitution ist eine Methode der Integralrechnung. Du ersetzt einen komplizierten Term durch eine neue Variable. Dadurch wird das Integral einfacher. Die Methode ist die Umkehrung der Kettenregel.

Du lernst:

Substitution: Einen passenden inneren Term wählen.
Differential: Den Faktor für die neue Variable bestimmen.
Stammfunktion: Das vereinfachte Integral lösen.
Bestimmtes Integral: Neue Grenzen berechnen.

Grundidee

Ein typisches Muster ist:

$\int f (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x$

Setze $u = g (x)$ . Dann gilt $d u = g^{'} (x) d x$ . So entsteht:

$\int f (u) d u$

Merksatz: Suche im Integranden eine innere Funktion und möglichst auch ihre Ableitung.

Vorgehen in fünf Schritten

Innere Funktion: Wähle $u = g (x)$ .
Ableitung: Berechne $d u = g^{'} (x) d x$ .
Umformen: Ersetze alle passenden Teile des Integrals.
Integration: Berechne die Stammfunktion in $u$ .
Rücksubstitution: Ersetze bei unbestimmten Integralen $u$ wieder durch $g (x)$ .

Einfaches Beispiel

Berechne:

$\int 2 x \cos (x^{2}) d x$

Setze $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ . Damit:

$\int \cos (u) d u = \sin (u) + C$

Rücksubstitution:

$\sin (x^{2}) + C$

Bestimmte Integrale

Bei einem bestimmten Integral kannst Du die Grenzen sofort umrechnen. Für $u = g (x)$ werden aus $x = a$ und $x = b$ die neuen Grenzen $u = g (a)$ und $u = g (b)$ .

$\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u$

Wenn Du mit neuen Grenzen rechnest, brauchst Du am Ende keine Rücksubstitution.

Lernvideo

Aufgaben zum Video

Substitution erkennen: Notiere, welcher Term im Video durch eine neue Variable ersetzt wird.
Differential bestimmen: Schreibe auf, wie das Differential der neuen Variable gebildet wird.
Integrationsgrenzen: Erkläre, warum die Grenzen nach der Substitution geändert werden.
Rechenweg prüfen: Halte das Video vor jedem Rechenschritt an und sage den nächsten Schritt voraus.
Ergebnis kontrollieren: Beschreibe, wie Du das Ergebnis durch Ableiten prüfen kannst.
Video-Zusammenfassung: Fasse die Methode des Videos in höchstens fünf Sätzen zusammen.

Weitere Erklärung

Typische Fehler

Faktor: Die Ableitung der inneren Funktion fehlt.
Rücksubstitution: Bei unbestimmten Integralen bleibt versehentlich $u$ stehen.
Integrationsgrenze: Bei bestimmten Integralen werden alte und neue Grenzen vermischt.
Probe: Das Ergebnis wird nicht durch Ableiten geprüft.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das Ziel der Substitution? (Ein kompliziertes Integral zu vereinfachen) (!Eine Funktion nur zu zeichnen) (!Eine Gleichung ohne Rechnung zu lösen) (!Jede Variable durch eine Zahl zu ersetzen)

Welche Regel ist eng mit der Substitutionsregel verbunden? (Kettenregel) (!Produktregel) (!Mitternachtsformel) (!Sinussatz)

Welche Substitution passt zu einem Term mit x hoch zwei im Kosinus? (u gleich x hoch zwei) (!u gleich Kosinus) (!u gleich zwei) (!u gleich null)

Was ist die Ableitung von u gleich x hoch zwei? (du gleich zwei x dx) (!du gleich x dx) (!du gleich zwei dx) (!du gleich x hoch zwei dx)

Was muss bei einem unbestimmten Integral am Ende geschehen? (Die neue Variable wird zurücksubstituiert) (!Die Grenzen werden immer verdoppelt) (!Die Konstante wird gelöscht) (!Das Integral wird nur geschätzt)

Was geschieht bei bestimmten Integralen mit den Grenzen? (Sie werden an die neue Variable angepasst) (!Sie werden immer vertauscht) (!Sie werden gestrichen) (!Sie bleiben stets unverändert)

Wie kann eine Stammfunktion kontrolliert werden? (Durch Ableiten) (!Durch Quadrieren) (!Durch Runden) (!Durch Spiegeln)

Was ist die Stammfunktion von Kosinus u? (Sinus u) (!Minus Sinus u) (!Kosinus u) (!Tangens u)

Wann ist Substitution besonders passend? (Wenn eine innere Funktion und ihre Ableitung vorkommen) (!Wenn nur eine Zahl vorkommt) (!Wenn kein Integralzeichen vorkommt) (!Wenn nur eine Gerade gezeichnet wird)

Welche Aussage zu neuen Grenzen ist richtig? (Sie werden mit der Substitutionsfunktion berechnet) (!Sie werden geraten) (!Sie sind immer null und eins) (!Sie werden aus der Ableitung abgelesen)

Memory

Substitution	Ersetzen eines Terms
Integrand	Ausdruck im Integral
Differential	Verbindung zwischen den Variablen
Rücksubstitution	Rückkehr zur Variablen x
Kettenregel	Grundlage der Methode
Stammfunktion	Ergebnis des unbestimmten Integrals

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Rechenschritt
Innere Funktion	passenden Term auswählen
Ableitung	Differential bilden
Umformung	Integral vollständig in u schreiben
Integration	Stammfunktion bestimmen
Rücksubstitution	u wieder durch den x-Term ersetzen

Kreuzworträtsel

Substitution	Wie heißt das Ersetzen eines Terms durch eine neue Variable?
Kettenregel	Welche Ableitungsregel wird bei der Substitution rückwärts genutzt?
Integrand	Wie heißt der Ausdruck innerhalb eines Integrals?
Stammfunktion	Wie heißt eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist?
Grenzen	Was muss bei bestimmten Integralen umgerechnet werden?
Differential	Welcher Begriff beschreibt zum Beispiel du gleich g Strich von x mal dx?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Substitution, Differential und Rücksubstitution.
Video-Schrittfolge: Schreibe die Schritte aus dem Lernvideo in eigenen Worten auf.
Innere Funktion markieren: Markiere in fünf Integralen jeweils die vermutete innere Funktion.
Ableitungsprobe: Leite $\sin (x^{2})$ ab und erkläre den Zusammenhang mit dem Beispiel.

Standard

Rechenweg: Berechne $\int 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ und begründe Deine Substitution.
Bestimmtes Integral: Berechne $\int_{0}^{1} 2 x (1 + x^{2})^{3} d x$ mit neuen Grenzen.
Fehlersuche: Erfinde einen typischen Fehler zur Substitution und erkläre die Korrektur.
Erklärbild: Zeichne ein eigenes Schaubild, das den Wechsel von x zu u zeigt.

Schwer

Herleitung: Leite die Substitutionsregel aus der Kettenregel her.
Methodenvergleich: Löse ein bestimmtes Integral einmal mit neuen Grenzen und einmal mit Rücksubstitution.
Aufgabenentwicklung: Erstelle ein Integral, das sich gut mit $u = 2 x + 1$ lösen lässt, und gib eine Lösung an.
Lernvideo erstellen: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Beispiel, Probe und Hinweis auf typische Fehler.

Lernkontrolle

Strategie begründen: Entscheide für drei verschiedene Integrale, ob Substitution sinnvoll ist, und begründe jede Entscheidung.
Fehleranalyse: Untersuche einen Rechenweg, in dem das Differential falsch gebildet wurde, und verbessere ihn.
Darstellungswechsel: Erkläre die Substitution mit Formel, Satz und eigenem Schaubild.
Transfer: Beschreibe, warum eine Änderung der Variablen bei einem bestimmten Integral auch neue Grenzen verlangt.
Aufgabe konstruieren: Erfinde zwei verschiedene Integrale mit derselben Substitution und vergleiche ihre Lösungen.
Methodenwahl: Vergleiche Substitution und Partielle Integration an passenden Beispielen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

eine passende Substitution auswählen,
das Differential korrekt bilden,
das Integral vollständig umformen,
eine Stammfunktion berechnen,
bei bestimmten Integralen die Grenzen ändern,
bei unbestimmten Integralen zurücksubstituieren,
das Ergebnis durch Ableiten prüfen,
Deinen Rechenweg verständlich begründen.

OERs zum Thema

Links

Integration durch Substitution

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.