Geraden im Raum zeichnen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Eine Gerade im Raum liegt in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Es hat eine x-Achse, eine y-Achse und eine z-Achse. Eine Gerade wird meist durch eine Parameterform beschrieben:

$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{u}$

Der Stützvektor $\overrightarrow{p}$ führt zu einem Punkt der Geraden. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ zeigt ihre Richtung. Der Parameter $t$ kann verschiedene Werte annehmen.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Die Bausteine einer Geraden

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

1. Stützvektor: Er zeigt vom Ursprung zu einem Punkt auf der Geraden.
2. Richtungsvektor: Er bestimmt die Richtung der Geraden.
3. Parameter: Mit ihm berechnest Du weitere Punkte.

Beispiel

Gegeben ist:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$

Setze einfache Werte für $t$ ein:

Parameter	Punkt
$t=0$	$A(1|2|1)$
$t=1$	$B(3|1|2)$
$t=-1$	$C(-1|3|0)$

Zeichne zuerst die Punkte. Verbinde sie dann mit einer geraden Linie. Verlängere die Linie in beide Richtungen.

Datei:Line equation qtl11.svg

Schritt für Schritt

1. Zeichne die drei Koordinatenachsen.
2. Markiere den Punkt des Stützvektors.
3. Berechne mindestens einen weiteren Punkt.
4. Trage den neuen Punkt ein.
5. Verbinde die Punkte und verlängere die Gerade.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Video: Geraden zeichnen

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Aufgaben zum Video

1. Beobachten: Notiere beim ersten Ansehen die Begriffe Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter.
2. Pausieren: Stoppe das Video beim Beispiel und schreibe die Geradengleichung ab.
3. Berechnen: Bestimme zu dem Beispiel aus dem Video zwei Punkte der Geraden.
4. Zeichnen: Zeichne die Gerade aus dem Video auf Papier nach.
5. Vergleichen: Beschreibe die im Video gezeigten Möglichkeiten zum Einzeichnen einer Geraden.

Digital ausprobieren

Datei:Geogebra.svg

Mit GeoGebra kannst Du Geraden drehen und aus verschiedenen Blickwinkeln betrachten.

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Form beschreibt eine Gerade im Raum besonders praktisch? (Parameterform) (!Scheitelpunktform) (!Produktform) (!Bruchform)

Was zeigt der Stützvektor? (Einen Punkt auf der Geraden) (!Die Länge der Geraden) (!Den Winkel zwischen zwei Ebenen) (!Den Abstand zum Ursprung)

Was bestimmt der Richtungsvektor? (Die Richtung der Geraden) (!Die Farbe der Geraden) (!Den Namen der Geraden) (!Die Größe des Koordinatensystems)

Welchen Punkt erhältst Du bei dem Parameterwert null? (Den Stützpunkt) (!Den Ursprung in jedem Fall) (!Den Endpunkt der Geraden) (!Keinen Punkt)

Wie viele verschiedene Punkte reichen zum Zeichnen einer Geraden? (Zwei Punkte) (!Ein Punkt) (!Drei Ebenen) (!Vier Achsen)

Wie viele Achsen hat ein räumliches Koordinatensystem? (Drei Achsen) (!Eine Achse) (!Zwei Achsen) (!Vier Achsen)

Welcher Punkt entsteht im Beispiel bei dem Parameterwert eins? (Der Punkt mit den Koordinaten 3 1 2) (!Der Punkt mit den Koordinaten 1 2 1) (!Der Punkt mit den Koordinaten 2 1 1) (!Der Punkt mit den Koordinaten 3 3 3)

Was geschieht bei einem negativen Parameterwert? (Du gehst entgegen der Richtung des Richtungsvektors) (!Die Gerade verschwindet) (!Der Stützvektor wird null) (!Das Koordinatensystem wird zweidimensional)

Was zeichnest Du zuerst ein? (Das Koordinatensystem) (!Eine beliebige Ebene) (!Einen Kreis) (!Ein Dreieck)

Wie prüfst Du Deine Zeichnung sinnvoll? (Du berechnest einen weiteren Punkt) (!Du änderst die Achsen) (!Du löschst den Stützpunkt) (!Du setzt den Richtungsvektor gleich null)

Memory

Stützvektor	Startpunkt der Zeichnung
Richtungsvektor	Richtung der Geraden
Parameter	Erzeugt verschiedene Punkte
Koordinatensystem	Drei Achsen
Punktprobe	Kontrolle eines Punktes
Verbindungslinie	Gerade durch markierte Punkte

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Stützvektor	führt zu einem Punkt der Geraden
Richtungsvektor	legt die Richtung fest
Parameterwert	erzeugt einen bestimmten Punkt
Koordinatensystem	besitzt drei Achsen
Verbindungslinie	verläuft durch die markierten Punkte

Kreuzworträtsel

Gerade	Welche Linie wird durch zwei verschiedene Punkte bestimmt?
Vektor	Was besitzt eine Richtung und eine Länge?
Parameter	Welche veränderliche Zahl erzeugt Punkte auf der Geraden?
Stuetzvektor	Welcher Vektor führt zu einem festen Punkt der Geraden?
Richtungsvektor	Welcher Vektor zeigt den Verlauf der Geraden?
Koordinatensystem	Wie heißt das System aus x-Achse, y-Achse und z-Achse?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Gerade im Raum wird oft in der angegeben. Der führt zu einem festen Punkt der Geraden. Der zeigt die Richtung. Durch verschiedene Werte des entstehen verschiedene Punkte. Zum Zeichnen reichen verschiedene Punkte. Ein räumliches Koordinatensystem besitzt Achsen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffe erklären: Erkläre Stützvektor und Richtungsvektor mit eigenen Worten.
2. Punkte berechnen: Berechne für eine selbst gewählte Gerade Punkte zu drei einfachen Parameterwerten.
3. Skizze erstellen: Zeichne ein räumliches Koordinatensystem mit einem Punkt.
4. Video-Notiz: Gestalte einen kleinen Merkzettel zum verlinkten Video.

Standard

1. Gerade zeichnen: Zeichne eine vorgegebene Gerade mithilfe von zwei berechneten Punkten.
2. Fehler finden: Erstelle eine fehlerhafte Zeichnung und lasse eine andere Person den Fehler suchen.
3. GeoGebra: Gib eine Gerade in GeoGebra ein und untersuche sie aus drei Blickrichtungen.
4. Erklärvideo: Nimm ein kurzes Video auf, in dem Du die fünf Zeichenschritte erklärst.

Schwer

1. Darstellungen vergleichen: Vergleiche eine Zeichnung auf Papier mit der Darstellung in GeoGebra.
2. Eigene Aufgabe: Erfinde eine Geradengleichung, deren Punkte leicht zu zeichnen sind, und liefere eine Lösung.
3. Modellierung: Beschreibe eine gerade Flugbahn oder Bewegungsbahn mit einer Geradengleichung.
4. Unterricht planen: Entwickle eine kurze Lernstation mit Beispiel, Zeichnung und Selbstkontrolle.

Lernkontrolle

1. Zeichenstrategie: Begründe, warum zwei verschiedene Punkte zum Zeichnen einer Geraden ausreichen.
2. Parameterwahl: Erkläre, warum einfache Parameterwerte eine Zeichnung erleichtern.
3. Fehleranalyse: Ein Punkt wurde falsch eingezeichnet. Beschreibe, wie Du den Fehler durch Rechnung findest.
4. Perspektive: Erkläre, warum dieselbe Gerade bei einem anderen Blickwinkel anders aussehen kann.
5. Transfer: Entwickle aus einem Startpunkt und einer Bewegungsrichtung eine passende Geradengleichung und zeichne sie.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. eine Gerade in Parameterform lesen können,
2. Stützvektor und Richtungsvektor unterscheiden,
3. Punkte mit Parameterwerten berechnen,
4. Punkte im räumlichen Koordinatensystem eintragen,
5. eine Gerade sauber zeichnen und die Zeichnung prüfen.

Links

Geraden im Raum zeichnen Dreidimensionales Koordinatensystem Geradengleichung Parameterform Stützvektor Richtungsvektor Vektor Analytische Geometrie GeoGebra