Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Ableitung von e hoch x und natürlicher Logarithmus

Einleitung

Die e-Funktion $f (x) = e^{x}$ hat eine besondere Eigenschaft: Ihre Ableitung ist wieder dieselbe Funktion. Der natürliche Logarithmus $\ln (x)$ ist die Umkehrfunktion von $e^{x}$ . In diesem kurzen Kurs lernst Du die wichtigsten Regeln und wendest sie direkt an.

Fach: Mathematik Klassen: 10 bis 13 Themen: Differentialrechnung, Exponentialfunktion, Logarithmus

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du $e^{x}$ und $\ln (x)$ ableiten, die Kettenregel nutzen und beide Funktionen als Umkehrfunktionen erklären.

Grundwissen

Die e-Funktion

Für $f (x) = e^{x}$ gilt:

$f^{'} (x) = e^{x}$

Die Steigung ist an jeder Stelle genauso groß wie der Funktionswert.

Der natürliche Logarithmus

$\ln (x)$ ist nur für $x > 0$ definiert. Es gilt:

$\frac{d}{d x} \ln (x) = \frac{1}{x}$

Umkehrfunktionen

Die Funktionen $e^{x}$ und $\ln (x)$ machen einander rückgängig:

$\ln (e^{x}) = x$

$e^{\ln (x)} = x$ für $x > 0$

Ihre Graphen sind an der Geraden $y = x$ gespiegelt.

Die wichtigsten Ableitungsregeln

Funktion	Ableitung
$e^{x}$	$e^{x}$
$e^{u (x)}$	$u^{'} (x) \cdot e^{u (x)}$
$\ln (x)$	$\frac{1}{x}$
$\ln (u (x))$	$\frac{u^{'} (x)}{u (x)}$

Bei zusammengesetzten Funktionen brauchst Du die Kettenregel.

Beispiel 1: $f (x) = 3 e^{2 x}$ ergibt $f^{'} (x) = 6 e^{2 x}$ .

Beispiel 2: $g (x) = \ln (5 x + 1)$ ergibt $g^{'} (x) = \frac{5}{5 x + 1}$ . Dabei muss $5 x + 1 > 0$ gelten.

Aufgaben zum Video

Videonotizen: Notiere die beiden wichtigsten Ableitungsregeln aus dem Video.
Stopp-Aufgabe: Pausiere nach der Erklärung von $e^{x}$ . Erkläre mit einem Satz, was daran besonders ist.
Beispielanalyse: Schreibe zwei Beispielaufgaben aus dem Video ab und rechne sie selbst nach.
Umkehrfunktion: Erkläre nach dem Video, warum $\ln (x)$ und $e^{x}$ zusammengehören.
Fehlercheck: Formuliere einen typischen Fehler beim Ableiten von $e^{u (x)}$ oder $\ln (u (x))$ und verbessere ihn.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie lautet die Ableitung von e hoch x? (e hoch x) (!x mal e hoch x) (!e hoch x plus 1) (!1 durch e hoch x)

Wie lautet die Ableitung von ln x? (1 durch x) (!ln x) (!x) (!e hoch x)

Für welche reellen x ist ln x definiert? (Für positive x) (!Für alle x) (!Nur für negative x) (!Nur für x gleich null)

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von e hoch x? (ln x) (!x hoch e) (!1 durch x) (!Wurzel x)

Welche Regel brauchst Du bei e hoch u von x? (Kettenregel) (!Additionsregel) (!Dreisatz) (!Pythagoras)

Was ist die Ableitung von e hoch 2x? (2 mal e hoch 2x) (!e hoch 2x) (!2x mal e hoch x) (!e hoch x)

Was ist die Ableitung von ln 3x? (1 durch x) (!3 durch x) (!ln 3) (!3 mal ln x)

Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von e hoch x? (Null Komma eins) (!Eins Komma null) (!Null Komma null) (!Eins Komma eins)

Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von ln x? (Eins Komma null) (!Null Komma eins) (!Null Komma null) (!Eins Komma eins)

Was gilt für ln von e hoch x? (Das Ergebnis ist x) (!Das Ergebnis ist e) (!Das Ergebnis ist null) (!Das Ergebnis ist eins)

Memory

e-Funktion	eigene Ableitung
natürlicher Logarithmus	Kehrwertregel
Eulerzahl	Basis der natürlichen Exponentialfunktion
positiver Definitionsbereich	erlaubte Argumente von ln
Spiegelgerade	Symmetrieachse der Umkehrfunktionen
innere Funktion	Kettenfaktor

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
e-Funktion	bleibt beim Ableiten erhalten
Logarithmusfunktion	liefert den Kehrwert
Kettenregel	berücksichtigt die innere Ableitung
Umkehrfunktion	macht eine Zuordnung rückgängig
Definitionsbereich	begrenzt erlaubte Eingaben

Kreuzworträtsel

Ableitung	Wie heißt die Funktion, die die Steigung beschreibt?
Eulerzahl	Wie heißt die Zahl e auch?
Logarithmus	Welche Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion?
Kettenregel	Welche Regel wird bei einer inneren Funktion gebraucht?
Kehrwert	Wie heißt ein Ausdruck der Form eins durch x?
Tangente	Welche Gerade zeigt die Steigung an einem Punkt?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Formelkarte: Gestalte eine Karte mit den vier wichtigsten Ableitungsregeln.
Graphenskizze: Zeichne $e^{x}$ und $\ln (x)$ in ein Koordinatensystem.
Erklärsatz: Erkläre in zwei einfachen Sätzen, warum $e^{x}$ besonders ist.
Mini-Quiz: Erfinde drei leichte Fragen mit Lösungen.

Standard

Rechenweg: Leite $4 e^{3 x}$ und $\ln (2 x + 5)$ ab und erkläre jeden Schritt.
Fehlersuche: Erfinde zwei falsche Ableitungen und korrigiere sie.
Lernvideo: Produziere ein einminütiges Erklärvideo zur Kettenregel bei der e-Funktion.
Vergleich: Vergleiche die Graphen von $e^{x}$ und $\ln (x)$ in einer Tabelle.

Schwer

Modellierung: Erstelle ein Wachstumsmodell $N (t) = N_{0} e^{k t}$ und deute seine Ableitung.
Begründung: Erkläre mithilfe der Umkehrfunktion, warum $e^{\ln (x)} = x$ nur für $x > 0$ gilt.
Anwendung: Entwickle eine Sachaufgabe, in der eine Exponentialgleichung mit $\ln$ gelöst wird.
Untersuchung: Analysiere $h (x) = e^{x} + \ln (x)$ hinsichtlich Definitionsbereich, Ableitung und Monotonie.

Lernkontrolle

Regelwahl: Entscheide bei drei selbst gewählten Funktionen, welche Ableitungsregel nötig ist, und begründe Deine Wahl.
Graph und Ableitung: Erkläre am Graphen von $e^{x}$ , warum Funktionswert und Steigung zusammenpassen.
Transfer: Vergleiche die Ableitungen von $e^{2 x}$ und $e^{x^{2}}$ . Erkläre den Unterschied.
Fehlerdiagnose: Prüfe die Behauptung $(\ln (4 x))^{'} = \frac{4}{x}$ und korrigiere sie.
Modellbewertung: Beurteile, was die Ableitung in einem exponentiellen Wachstumsmodell praktisch bedeutet.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis sollst Du:

die Grundregeln sicher anwenden,
die Kettenregel erklären,
den Definitionsbereich von $\ln (x)$ beachten,
einen vollständigen Rechenweg darstellen,
die Beziehung zwischen $e^{x}$ und $\ln (x)$ erklären,
eine neue Aufgabe selbstständig lösen.

OERs zum Thema

Links

Ableitung von e hoch x und natürlicher Logarithmus

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Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.