Mathematische Probleme durch Rechnen lösen - EKM
Mathematische Probleme durch Rechnen lösen - EKM
Einleitung
Mathematische Probleme durch Rechnen lösen - EKM ist ein aiMOOC zum sicheren, nachvollziehbaren und reflektierten Lösen von Sachaufgaben, Textaufgaben und problemhaltigen Rechenaufgaben. Du lernst, ein Problem zu verstehen, wichtige Informationen zu entnehmen, eine passende Rechenoperation auszuwählen, den Rechenweg sauber zu dokumentieren und das Ergebnis im Sachkontext zu prüfen.
In diesem aiMOOC wird EKM als Erweiterter Kompetenznachweis Mathematik verstanden: Nicht nur das Endergebnis zählt, sondern auch, wie Du denkst, rechnest, begründest, überprüfst, darstellst und mit anderen über Mathematik sprichst. Eine gute Lösung zeigt also Deinen gesamten Problemlöseprozess.
{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=OHbmz2ImyUw |500|center}}
Lernziele
Nach diesem aiMOOC kannst Du mathematische Probleme systematisch bearbeiten. Du kannst Aufgaben mit eigenen Worten erklären, Daten und Bedingungen markieren, passende Grundrechenarten auswählen, mit Überschlagsrechnungen prüfen, verschiedene Lösungswege vergleichen und eine begründete Antwort formulieren. Außerdem trainierst Du, Deinen Lösungsweg so aufzuschreiben, dass andere ihn verstehen und beurteilen können.
Was ist ein mathematisches Problem?
Ein mathematisches Problem liegt vor, wenn der Lösungsweg nicht sofort klar ist. Eine reine Routineaufgabe erkennst Du oft daran, dass Du direkt weißt, welche Regel oder welches Verfahren passt. Bei einer Problemaufgabe musst Du zuerst nachdenken: Welche Informationen sind wichtig? Welche Darstellung hilft? Welche Rechnung passt? Muss ich zerlegen, schätzen, eine Tabelle anlegen oder rückwärts arbeiten?
Eine Sachaufgabe verbindet mathematische Informationen mit einem Sachkontext. Der Kontext kann aus einem Text, einem Bild, einer Tabelle, einem Diagramm, einem Bauplan, einer Preisliste oder einer Alltagssituation bestehen. Beim Lösen musst Du nicht nur rechnen, sondern auch prüfen, ob das Ergebnis zur Situation passt.
EKM-Perspektive: Mehr als ein Ergebnis
Beim Erweiterten Kompetenznachweis Mathematik geht es um Kompetenzorientierung: Du zeigst, dass Du mathematisch handeln kannst. Dazu gehören Rechnen, Argumentieren, Modellieren, Kommunizieren, Darstellen und Reflektieren. Eine EKM-Lösung ist besonders überzeugend, wenn sie nicht nur eine Zahl nennt, sondern den Weg zur Lösung erklärt.
| Kompetenzbereich | Was Du zeigst | Beispiel für eine gute Formulierung |
|---|---|---|
| Problemanalyse | Du verstehst die Frage und erkennst wichtige Angaben. | Gesucht ist die Gesamtzahl, deshalb muss ich zuerst die Teilmengen addieren. |
| Strategie | Du wählst eine passende Vorgehensweise. | Ich lege eine Tabelle an, weil sich die Werte regelmäßig verändern. |
| Rechenfertigkeit | Du rechnest sicher und nachvollziehbar. | Ich rechne zuerst 6 · 24 und addiere danach die Zusatzkosten. |
| Plausibilitätsprüfung | Du kontrollierst, ob Dein Ergebnis sinnvoll ist. | Mein Ergebnis liegt nahe beim Überschlag, daher ist es wahrscheinlich richtig. |
| Kommunikation | Du erklärst Deinen Lösungsweg verständlich. | Die Antwort lautet: Es werden 9 Busse benötigt, weil ein Rest bleibt. |
Der Problemlöseprozess in sieben Schritten
- Problem verstehen: Lies die Aufgabe genau und formuliere die Frage mit eigenen Worten.
- Informationen entnehmen: Markiere Zahlen, Einheiten, Bedingungen und versteckte Hinweise.
- Mathematisches Modell bilden: Übersetze die Situation in Rechnung, Skizze, Tabelle, Term, Gleichung oder Diagramm.
- Lösungsstrategie wählen: Entscheide Dich für eine geeignete Methode, zum Beispiel systematisches Probieren, Zerlegen oder Rückwärtsarbeiten.
- Rechnen: Führe die Rechnung sorgfältig aus und notiere Zwischenschritte.
- Plausibilitätsprüfung: Vergleiche mit einem Überschlag, prüfe die Einheit und denke an den Sachkontext.
- Antwortsatz formulieren: Schreibe eine klare Antwort, die zur Ausgangsfrage passt.
Rechnen sichtbar machen
Viele Aufgaben werden leichter, wenn Du nicht nur im Kopf rechnest. Eine Skizze, eine Zahlengerade, eine Tabelle oder ein Diagramm machen Beziehungen sichtbar. Darstellungen helfen besonders dann, wenn mehrere Schritte nötig sind oder wenn eine Aufgabe unübersichtlich wirkt.
Auf der Zahlengerade kannst Du Addition und Subtraktion als Bewegung darstellen. Bei Multiplikationen helfen Felder, Gruppen oder Tabellen. Bei Divisionen helfen Verteilungen, Bündelungen oder Restbetrachtungen. Je besser Du die Bedeutung einer Operation verstehst, desto sicherer kannst Du sie im Sachkontext anwenden.
Rechenoperationen gezielt auswählen
| Frage im Sachkontext | Häufig passende Operation | Prüffrage |
|---|---|---|
| Wie viel ist es zusammen? | Addition | Werden verschiedene Mengen zusammengefasst? |
| Wie viel bleibt übrig oder fehlt? | Subtraktion | Wird ein Unterschied, Rest oder Abstand gesucht? |
| Wie viel sind mehrere gleiche Gruppen? | Multiplikation | Wiederholt sich dieselbe Menge mehrfach? |
| Wie viel bekommt jede Person? | Division | Wird gleichmäßig verteilt oder gebündelt? |
| Wie verändert sich eine Größe abhängig von einer anderen? | Dreisatz oder Proportionalität | Bleibt das Verhältnis gleich? |
| Welche unbekannte Zahl erfüllt die Bedingung? | Gleichung | Kann ich die Situation mit einer Variablen beschreiben? |
Wichtige Strategien beim Problemlösen
- Systematisches Probieren: Probiere geordnet und halte Deine Versuche fest, damit Du nichts doppelt oder gar nicht untersuchst.
- Skizze: Zeichne die Situation vereinfacht, wenn Wege, Längen, Mengen, Flächen oder Zuordnungen vorkommen.
- Tabelle: Ordne Werte in Zeilen und Spalten, wenn sich Zahlen regelmäßig ändern oder mehrere Fälle verglichen werden.
- Rückwärtsarbeiten: Beginne beim Ziel, wenn das Ergebnis gegeben ist und der Startwert gesucht wird.
- Zerlegen: Teile eine große Aufgabe in kleinere Teilprobleme.
- Überschlagsrechnung: Rechne grob, um die Größenordnung zu prüfen.
- Variable nutzen: Verwende einen Platzhalter, wenn eine unbekannte Zahl gesucht ist.
- Analogie: Vergleiche die Aufgabe mit einer ähnlichen Aufgabe, die Du schon lösen kannst.
{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=VnCSUg64fkA |500|center}}
Beispiel 1: Aus Textinformationen eine Rechnung entwickeln
Aufgabe: Eine Klasse plant einen Museumsbesuch. 24 Lernende zahlen je 6 € Eintritt. Für eine Führung kommen insgesamt 48 € dazu. Wie viel kostet der Museumsbesuch für die Klasse insgesamt?
| Schritt | Bearbeitung |
|---|---|
| Problem verstehen | Gesucht sind die gesamten Kosten für Eintritt und Führung. |
| Informationen entnehmen | 24 Lernende, 6 € pro Person, 48 € Führung. |
| Rechenplan | Erst die Eintrittskosten berechnen, dann die Führung addieren. |
| Rechnung | 24 · 6 = 144 und 144 + 48 = 192. |
| Plausibilitätsprüfung | 25 · 6 = 150 und dazu ungefähr 50 ergibt ungefähr 200. 192 € ist plausibel. |
| Antwortsatz | Der Museumsbesuch kostet insgesamt 192 €. |
Dieses Beispiel zeigt: Eine gute Lösung besteht nicht nur aus der Rechnung, sondern auch aus einem verständlichen Plan, einer Prüfung und einem Antwortsatz.
Beispiel 2: Der Sachkontext entscheidet
Aufgabe: 78 Personen sollen mit Kleinbussen fahren. In jeden Kleinbus passen 9 Personen. Wie viele Kleinbusse werden mindestens benötigt?
Rechnung: 78 : 9 = 8 Rest 6. Acht Kleinbusse reichen nicht, weil dann 6 Personen keinen Platz hätten. Deshalb werden 9 Kleinbusse benötigt. Hier darfst Du nicht kaufmännisch abrunden, denn der Sachkontext verlangt eine ganze Anzahl von Bussen, die für alle Personen reicht.
Merksatz: Beim Sachrechnen ist das rechnerische Ergebnis nur ein Zwischenschritt. Die endgültige Antwort muss zur realen Situation passen.
Beispiel 3: Eine Tabelle als Lösungsstrategie
Aufgabe: Ein Heft kostet 1,80 €. Wie viel kosten 7 Hefte?
| Anzahl der Hefte | Preis |
|---|---|
| 1 | 1,80 € |
| 2 | 3,60 € |
| 5 | 9,00 € |
| 7 | 12,60 € |
Die Tabelle zeigt die Proportionalität: Jedes Heft kostet gleich viel. Deshalb kannst Du auch direkt rechnen: 7 · 1,80 € = 12,60 €. Die Tabelle hilft, den Zusammenhang zu sehen und das Ergebnis zu kontrollieren.
Häufige Fehler und Gegenstrategien
| Häufiger Fehler | Warum er problematisch ist | Gegenstrategie |
|---|---|---|
| Zahlen einfach herauspicken | Nicht jede Zahl ist automatisch wichtig. | Erst die Frage klären und wichtige Angaben markieren. |
| Falsche Operation wählen | Die Rechnung passt nicht zur Situation. | Überlege, ob gesammelt, verglichen, verteilt oder vervielfacht wird. |
| Einheiten vergessen | Das Ergebnis bleibt unklar. | Schreibe Einheiten in Rechnung und Antwort. |
| Zu früh runden | Das Endergebnis kann sachlich falsch werden. | Runde erst am Ende und beachte den Kontext. |
| Keine Prüfung durchführen | Fehler bleiben unentdeckt. | Nutze Überschlag, Gegenrechnung oder Beispielprüfung. |
| Antwortsatz weglassen | Die Lösung beantwortet die Ausgangsfrage nicht klar. | Formuliere eine vollständige Antwort im Sachkontext. |
Rechenprotokoll für EKM-Aufgaben
Ein Rechenprotokoll hilft Dir, Deine Bearbeitung übersichtlich zu dokumentieren. Du kannst es als Checkliste für EKM-Aufgaben nutzen.
| Abschnitt | Leitfrage | Was gehört hinein? |
|---|---|---|
| Verstehen | Worum geht es? | Die Frage in eigenen Worten, wichtige Daten, Bedingungen. |
| Planen | Welche Strategie passt? | Skizze, Tabelle, Term, Gleichung, systematisches Probieren oder Zerlegung. |
| Rechnen | Welche Schritte führen zur Lösung? | Rechnungen mit Zwischenschritten und Einheiten. |
| Prüfen | Kann das stimmen? | Überschlag, Gegenrechnung, Restprüfung oder Kontextprüfung. |
| Antworten | Was ist die Lösung? | Klarer Antwortsatz mit passender Einheit und Begründung. |
| Reflektieren | Gibt es einen besseren Weg? | Vergleich verschiedener Lösungswege und kurze Bewertung. |
Differenzierung: Vom leichten Rechnen zum komplexen Problem
Auf leichtem Niveau steht im Vordergrund, die passende Rechenoperation zu erkennen und eine Rechnung korrekt auszuführen. Auf standardmäßigem Niveau kombinierst Du mehrere Schritte, erklärst Deinen Plan und prüfst das Ergebnis. Auf schwerem Niveau entwickelst Du eigene Modelle, vergleichst Lösungswege, begründest Entscheidungen und überträgst Strategien auf neue Situationen.
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Womit beginnt ein sinnvoller Lösungsweg bei einer Sachaufgabe? (Das Problem in eigenen Worten verstehen) (!Sofort irgendeine Rechnung ausführen) (!Nur die größte Zahl im Text verwenden) (!Die Antwort ohne Prüfung raten)
Welche Strategie hilft besonders bei mehreren regelmäßig veränderten Werten? (Eine Tabelle anlegen) (!Alle Einheiten weglassen) (!Nur das Endergebnis notieren) (!Die Aufgabe nicht lesen)
Welche Operation passt meistens, wenn mehrere gleiche Gruppen zusammenkommen? (Multiplikation) (!Subtraktion) (!Zufälliges Runden) (!Alphabetisches Sortieren)
Warum ist eine Überschlagsrechnung nützlich? (Sie prüft die Größenordnung des Ergebnisses) (!Sie ersetzt immer den Rechenweg) (!Sie macht Einheiten überflüssig) (!Sie verhindert, dass man die Aufgabe verstehen muss)
Was bedeutet Plausibilitätsprüfung? (Prüfen ob ein Ergebnis sinnvoll sein kann) (!Eine Rechnung möglichst kompliziert schreiben) (!Jede Zahl im Text addieren) (!Das Ergebnis grundsätzlich abrunden)
Was ist bei einer Busaufgabe mit Rest oft wichtig? (Es muss auf den Sachkontext passend aufgerundet werden) (!Der Rest wird immer ignoriert) (!Es wird immer kaufmännisch gerundet) (!Man braucht nie einen Antwortsatz)
Welche Darstellung hilft häufig bei Wegen und Abständen? (Eine Skizze) (!Eine Wortliste ohne Zahlen) (!Ein zufälliges Ergebnis) (!Ein alphabetisches Register)
Was gehört zu einem vollständigen Rechenweg? (Zwischenschritte und Einheiten) (!Nur eine einzelne Zahl) (!Nur die Überschrift der Aufgabe) (!Nur die letzte Ziffer des Ergebnisses)
Welche Frage passt am besten zur Division? (Wie viel bekommt jede Person gleichmäßig) (!Wie heißen die beteiligten Personen) (!Welche Zahl sieht am größten aus) (!Welche Farbe hat das Arbeitsblatt)
Was zeigt eine gute EKM-Bearbeitung besonders deutlich? (Den begründeten Weg zur Lösung) (!Nur eine schnelle Zahl ohne Erklärung) (!Eine möglichst unleserliche Rechnung) (!Eine Antwort ohne Bezug zur Aufgabe)
Memory
| Problem verstehen | Frage in eigenen Worten |
| Skizze | Situation sichtbar machen |
| Tabelle | Werte geordnet vergleichen |
| Überschlag | Größenordnung prüfen |
| Rechenweg | Schritte nachvollziehbar zeigen |
| Einheit | Bedeutung im Sachkontext |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| Text genau lesen | Problem verstehen |
| Wichtige Angaben markieren | Informationen sammeln |
| Skizze oder Tabelle wählen | Darstellung nutzen |
| Passende Operation bestimmen | Rechenplan entwickeln |
| Zwischenschritte notieren | Rechnung durchführen |
| Überschlag vergleichen | Ergebnis prüfen |
| Antwortsatz formulieren | Lösung kommunizieren |
Kreuzworträtsel
| Rechenweg | Wie nennt man die nachvollziehbare Folge von Rechnungen und Erklärungen? |
| Skizze | Welche Darstellung kann eine Situation vereinfacht sichtbar machen? |
| Tabelle | Welche geordnete Darstellung nutzt Zeilen und Spalten? |
| Einheit | Was zeigt, ob ein Ergebnis Euro, Meter oder Personen meint? |
| Operation | Wie nennt man Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division allgemein? |
| Plausibilitaet | Wie nennt man die Sinnhaftigkeit eines Ergebnisses im Kontext? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Rechenfrage finden: Suche in Deinem Alltag eine Situation, in der gerechnet werden muss, zum Beispiel Einkauf, Backrezept oder Fahrzeit, und formuliere dazu eine klare mathematische Frage.
- Angaben markieren: Nimm eine kurze Sachaufgabe und markiere Frage, wichtige Zahlen, Einheiten und Bedingungen mit verschiedenen Farben.
- Rechenweg erklären: Löse eine einfache Aufgabe mit Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division und erkläre jeden Schritt in einem Satz.
- Überschlag üben: Erstelle drei Aufgaben, bei denen zuerst ein Überschlag und danach die genaue Rechnung durchgeführt wird.
Standard
- Sachaufgabe erfinden: Schreibe eine mehrschrittige Sachaufgabe zu Schule, Sport, Einkauf oder Freizeit und erstelle eine Musterlösung mit Rechenweg, Prüfung und Antwortsatz.
- Tabellenstrategie anwenden: Bearbeite eine proportionale Aufgabe mit einer Tabelle und erkläre, warum die Werte zusammenpassen.
- Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Lösung zu einer Sachaufgabe, finde den Fehler und verbessere ihn nachvollziehbar.
- Partnerinterview Mathematik: Interviewe eine Person, wie sie beim Lösen von Textaufgaben vorgeht, und vergleiche diese Strategie mit Deinem eigenen Vorgehen.
Schwer
- EKM-Aufgabe entwickeln: Entwickle eine komplexe EKM-Aufgabe mit realistischem Kontext, mehreren Lösungsschritten, Bewertungskriterien und Musterlösung.
- Lösungswege vergleichen: Löse dieselbe Aufgabe auf zwei verschiedenen Wegen, zum Beispiel mit Tabelle und Gleichung, und bewerte Vor- und Nachteile.
- Modellierungsprojekt: Plane ein kleines Projekt, zum Beispiel Klassenfest, Ausflug oder Verkaufsstand, berechne Kosten, Mengen und Reserven und prüfe Deine Annahmen.
- Lernvideo erstellen: Erstelle ein kurzes Erklärvideo, in dem Du zeigst, wie man ein mathematisches Problem systematisch löst und das Ergebnis überprüft.
|
|
Lernkontrolle
- Problemanalyse: Erkläre an einer unbekannten Sachaufgabe, welche Informationen wichtig sind, welche überflüssig sind und welche Frage beantwortet werden muss.
- Strategievergleich: Vergleiche zwei Lösungswege zu einer Aufgabe und begründe, welcher Weg verständlicher, sicherer oder effizienter ist.
- Plausibilitätsprüfung: Prüfe ein vorgegebenes Ergebnis mit Überschlag, Einheit und Sachkontext und entscheide, ob es sinnvoll sein kann.
- Kontextentscheidung: Bearbeite eine Aufgabe, bei der ein rechnerisches Kommaergebnis entsteht, und entscheide begründet, ob gerundet, aufgerundet oder abgerundet werden muss.
- Darstellungswechsel: Verwandle eine Textaufgabe in eine Tabelle, eine Skizze oder eine Gleichung und erkläre, wie die Darstellung beim Lösen hilft.
- Transferleistung: Übertrage eine bekannte Strategie, zum Beispiel systematisches Probieren oder Rückwärtsarbeiten, auf eine neue Problemaufgabe.
- Reflexion: Beschreibe nach dem Lösen einer Aufgabe, was gut funktioniert hat, wo Schwierigkeiten lagen und wie Du beim nächsten Mal vorgehen würdest.
Lernnachweis
Für einen überzeugenden Lernnachweis zu Mathematische Probleme durch Rechnen lösen - EKM solltest Du zeigen, dass Du nicht nur rechnen, sondern mathematisch denken und kommunizieren kannst.
- Aufgabenverständnis: Du formulierst die Problemfrage mit eigenen Worten und erkennst den Sachkontext.
- Informationsauswahl: Du unterscheidest wichtige, unwichtige und fehlende Angaben.
- Strategiewahl: Du begründest, warum Du eine Skizze, Tabelle, Rechnung, Gleichung oder ein anderes Hilfsmittel verwendest.
- Rechenweg: Du rechnest korrekt, übersichtlich und mit nachvollziehbaren Zwischenschritten.
- Einheiten: Du verwendest passende Einheiten und deutest sie richtig.
- Plausibilitätsprüfung: Du kontrollierst Dein Ergebnis mit Überschlag, Gegenrechnung oder Kontextprüfung.
- Antwortsatz: Du formulierst eine vollständige Antwort zur Ausgangsfrage.
- Reflexion: Du bewertest Deinen Lösungsweg und kannst mögliche Alternativen nennen.
- Kooperation: Du kannst Deinen Weg erklären, Rückfragen beantworten und andere Lösungswege respektvoll vergleichen.
OERs zum Thema
Weitere freie Lern- und Informationsquellen
- Problemlösen: Nutze freie Materialien zu heuristischen Strategien, um systematisches Probieren, Darstellen und Reflektieren zu vertiefen.
- Sachrechnen: Vergleiche unterschiedliche Typen von Sachaufgaben und achte besonders auf die Bedeutung des Kontextes.
- Arithmetik: Wiederhole die vier Grundrechenarten, damit Du beim Problemlösen sicher rechnen kannst.
- Mathematikunterricht: Untersuche, wie mathematisches Argumentieren, Modellieren und Kommunizieren mit dem Rechnen verbunden sind.
Links
aiMOOC-Projekte
Schulfach+
|
|
aiMOOCs
aiMOOC Projekte
|
|
THE MONKEY DANCE
{{#ev:youtube | https://youtu.be/rFhZlg38Zf8?si=9KdMNZYRkRD81YTo%7C 500 | center}}
|
{{#ev:youtube | https://youtu.be/Ob7etf9QuBo?si=t_NBA71bWg3Rq3LI%7C 500 | center}}
|
|