Eine Aufgabe durch Zeichnen lösen - EKM
Eine Aufgabe durch Zeichnen lösen - EKM
Einleitung
Eine Aufgabe durch Zeichnen lösen bedeutet, eine mathematische oder sachbezogene Aufgabe nicht sofort nur mit Zahlen zu bearbeiten, sondern zuerst sichtbar zu machen. Du übersetzt den Text, die Daten oder die Situation in eine Skizze, ein Diagramm, einen Zahlenstrahl, ein Koordinatensystem, eine Tabelle, ein Baumdiagramm oder eine Planfigur. Dadurch erkennst Du Zusammenhänge, die im Text oft verborgen bleiben. Im Rahmen von EKM als Erweiterter Kompetenznachweis Mathematik ist diese Methode besonders wertvoll, weil nicht nur das Ergebnis zählt, sondern auch Dein Lösungsweg, Deine Begründung und die verständliche Darstellung Deiner Überlegungen.
Beim zeichnerischen Lösen geht es nicht darum, schön zu malen. Eine gute mathematische Zeichnung ist klar, übersichtlich, beschriftet und passend zur Aufgabe. Sie hilft Dir, aus einer unübersichtlichen Situation ein mathematisches Modell zu entwickeln. Genau das ist ein Kern von Mathematik: Du erkennst Strukturen, ordnest Informationen und findest einen begründeten Weg zur Lösung.
{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=7XNVErQtPas |500|center}}
Was bedeutet Zeichnen als Lösungsstrategie?
Beim Problemlösen unterscheidet man zwischen einer Aufgabe, die Du sofort mit einem bekannten Verfahren lösen kannst, und einer Aufgabe, bei der Du zuerst einen Weg finden musst. Eine Zeichnung ist in solchen Situationen eine Heuristik, also eine hilfreiche Suchstrategie. Sie ersetzt nicht das Denken, sondern macht das Denken sichtbar.
Eine Zeichnung kann Dir helfen, wenn eine Aufgabe viele Informationen enthält, wenn Größen verglichen werden müssen, wenn räumliche Beziehungen wichtig sind oder wenn Du eine Reihenfolge, Aufteilung, Strecke, Fläche oder Veränderung verstehen willst. In vielen Sachaufgaben reicht es nicht, einfach eine Rechenart zu erraten. Du musst zuerst verstehen, was gegeben ist, was gesucht wird und wie die Informationen zusammenhängen.
Zeichnen ist mathematisches Modellieren
Beim Modellieren übersetzt Du eine reale oder beschriebene Situation in die Sprache der Mathematik. Eine Zeichnung kann dabei ein Zwischenschritt sein. Sie verbindet Alltagssprache mit mathematischen Zeichen. Aus dem Satz „Drei Kinder teilen sich 24 Karten gleichmäßig“ kann zum Beispiel eine Zeichnung mit drei Kästchen entstehen. Aus einer Wegbeschreibung kann ein Streckenbild entstehen. Aus einer Aufgabe zu Preisen kann eine Tabelle oder ein Balkendiagramm entstehen.
Wichtig: Eine Skizze muss nicht maßstabsgetreu sein, wenn die Aufgabe das nicht verlangt. Sie muss aber die wichtigen Beziehungen korrekt zeigen. Wenn Längen, Winkel oder Koordinaten genau gebraucht werden, muss genauer gezeichnet oder gemessen werden.
Warum hilft Zeichnen?
Zeichnen entlastet Dein Arbeitsgedächtnis, weil Du nicht alle Informationen gleichzeitig im Kopf behalten musst. Du kannst Beziehungen sehen, vergleichen, markieren und prüfen. Außerdem findest Du Fehler leichter, weil Deine Lösung sichtbar wird. Wenn Du Deine Zeichnung erklärst, zeigst Du auch, dass Du die Aufgabe verstanden hast. Das ist für EKM besonders wichtig, weil hier Kompetenz nicht nur als Ergebnis, sondern als nachvollziehbarer Denkweg sichtbar werden soll.
Geeignete Zeichnungen für verschiedene Aufgaben
Nicht jede Zeichnung passt zu jeder Aufgabe. Du entscheidest nach der Art der Informationen. Eine Skizze eignet sich gut für räumliche oder alltagsnahe Situationen. Ein Zahlenstrahl hilft bei Abständen, Zeitspannen, Temperaturunterschieden und Rechenwegen. Ein Koordinatensystem eignet sich für Punkte, Bewegungen, Zuordnungen und Funktionen. Ein Venn-Diagramm zeigt Überschneidungen von Mengen. Ein Baumdiagramm hilft bei Möglichkeiten, Entscheidungen und einfachen Wahrscheinlichkeiten. Eine Planfigur ist besonders hilfreich in der Geometrie, weil sie bekannte und gesuchte Größen sichtbar macht.
Skizze
Eine Skizze ist eine einfache Darstellung der Situation. Du lässt unwichtige Details weg und zeichnest nur das, was zum Lösen gebraucht wird. Bei einer Textaufgabe über Sitzplätze zeichnest Du nicht jeden Stuhl schön aus, sondern vielleicht Reihen, Plätze und Gruppen. Bei einer Aufgabe zu Wegen zeichnest Du Strecken, Richtungen und Entfernungen.
Zahlenstrahl
Der Zahlenstrahl eignet sich besonders für Aufgaben mit Abständen, Differenzen, Reihenfolgen und Zeitspannen. Du kannst Sprünge einzeichnen, Teilstrecken markieren und Zwischenwerte sichtbar machen. Dadurch wird klar, ob addiert, subtrahiert oder verglichen werden muss.
Koordinatensystem
Ein Koordinatensystem macht Lagebeziehungen sichtbar. Du kannst Punkte eintragen, Geraden zeichnen, Schnittpunkte ablesen und Veränderungen untersuchen. Beim zeichnerischen Lösen von linearen Funktionen oder Gleichungssystemen ist der Schnittpunkt häufig die gesuchte Lösung.
Diagramm und Tabelle
Ein Diagramm zeigt Daten auf einen Blick. Eine Tabelle ordnet Informationen systematisch. Beide Darstellungen sind hilfreich, wenn eine Aufgabe viele Zahlen enthält. Oft führt eine Tabelle zur passenden Rechnung, während ein Diagramm den Zusammenhang sichtbar macht.
Geometrische Zeichnung
In der Geometrie kann Zeichnen selbst ein Lösungsweg sein. Wenn Du eine Figur konstruierst, Winkel einzeichnest, Hilfslinien nutzt oder Flächen zerlegst, findest Du Beziehungen, die vorher nicht sichtbar waren. Ein klassisches Beispiel ist der Satz des Pythagoras, der durch Zeichnungen besonders anschaulich wird.
Schrittfolge: Eine Aufgabe durch Zeichnen lösen
- Aufgabe verstehen: Lies die Aufgabe genau und formuliere mit eigenen Worten, worum es geht.
- Informationen markieren: Unterstreiche gegebene Zahlen, Begriffe, Bedingungen und die Frage.
- Darstellung wählen: Entscheide, ob Skizze, Zahlenstrahl, Tabelle, Diagramm, Koordinatensystem, Baumdiagramm oder Planfigur passt.
- Zeichnung erstellen: Zeichne nur die wichtigen Elemente und beschrifte sie eindeutig.
- Zusammenhänge erkennen: Suche nach Abständen, Gruppen, Reihenfolgen, Überschneidungen, Flächen, Winkeln oder Mustern.
- Rechenweg ableiten: Nutze die Zeichnung, um eine Rechnung, Konstruktion oder Begründung zu entwickeln.
- Lösung prüfen: Vergleiche Ergebnis, Zeichnung und Fragestellung miteinander.
- Antwort formulieren: Schreibe einen vollständigen Antwortsatz und erkläre kurz, warum die Lösung passt.
Beispiel 1: Eine Sachaufgabe mit einer Skizze lösen
Aufgabe: In einer Klasse sitzen 28 Kinder. Immer vier Kinder sitzen an einem Gruppentisch. Wie viele Gruppentische werden gebraucht?
Du kannst vier Kästchen oder Punkte zu einer Gruppe zusammenfassen. Dann zeichnest Du so lange Vierergruppen, bis 28 Kinder verteilt sind. Die Zeichnung zeigt sieben Gruppen. Daraus erkennst Du: Es werden sieben Gruppentische gebraucht. Die Rechnung dazu lautet 28 geteilt durch 4 gleich 7. Die Zeichnung zeigt, warum diese Division sinnvoll ist.
Warum ist die Zeichnung hier hilfreich?
Die Zeichnung macht die Bedeutung der Division sichtbar. Es geht nicht nur um ein Rechenzeichen, sondern um das gleichmäßige Aufteilen einer Menge. Besonders bei Sachaufgaben hilft diese Sichtweise, weil Du erkennst, welche Operation zur Situation passt.
Beispiel 2: Eine Wegaufgabe mit dem Zahlenstrahl lösen
Aufgabe: Mia fährt zuerst 12 Kilometer mit dem Fahrrad. Danach fährt sie noch 8 Kilometer weiter. Wie weit ist sie insgesamt gefahren?
Auf einem Zahlenstrahl startest Du bei 0. Du zeichnest zuerst einen Sprung bis 12 und danach einen weiteren Sprung um 8. Der Endpunkt liegt bei 20. Die Zeichnung zeigt die Gesamtstrecke. Die Rechnung lautet 12 plus 8 gleich 20. Mia ist 20 Kilometer gefahren.
Beispiel 3: Eine Aufgabe mit Überschneidungen lösen
Aufgabe: In einer Gruppe mögen 12 Kinder Fußball, 9 Kinder Basketball und 5 Kinder mögen beides. Wie kann man sichtbar machen, dass manche Kinder doppelt gezählt würden?
Ein Venn-Diagramm zeigt zwei sich überschneidende Kreise. In die Überschneidung schreibst Du die 5 Kinder, die beides mögen. In den Fußball-Kreis kommen zusätzlich 7 Kinder, weil 12 minus 5 gleich 7 ist. In den Basketball-Kreis kommen zusätzlich 4 Kinder, weil 9 minus 5 gleich 4 ist. Dadurch erkennst Du die Gesamtzahl: 7 plus 5 plus 4 gleich 16. Ohne Zeichnung könnte man fälschlich 12 plus 9 gleich 21 rechnen und die Überschneidung doppelt zählen.
Beispiel 4: Eine geometrische Aufgabe durch Zerlegen lösen
Wenn eine Fläche unregelmäßig aussieht, kannst Du sie oft in bekannte Figuren zerlegen. Aus einer zusammengesetzten Figur werden dann Rechteck, Dreieck oder Quadrat. Du berechnest die Teilflächen und setzt sie wieder zusammen. Die Zeichnung ist hier nicht nur eine Hilfe, sondern ein Teil des mathematischen Arguments. Sie zeigt, warum die Rechenschritte zur Figur passen.
{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=OHbmz2ImyUw |500|center}}
Häufige Fehler beim Zeichnen
Ein häufiger Fehler ist, zu viele unwichtige Details zu zeichnen. Dann wird die Skizze unübersichtlich. Ein weiterer Fehler ist fehlende Beschriftung. Ohne Zahlen, Namen oder Einheiten ist später nicht mehr klar, was die Zeichnung bedeutet. Auch falsche Größenverhältnisse können problematisch sein, wenn die Aufgabe genaue Längen oder Abstände verlangt. Besonders wichtig ist außerdem, die Zeichnung am Ende mit der Frage zu vergleichen. Eine richtige Rechnung kann trotzdem eine falsche Antwort liefern, wenn sie nicht zur Frage passt.
Tipps für eine gute EKM-Lösung
Eine starke EKM-Lösung zeigt nicht nur, was Du gerechnet hast, sondern wie Du gedacht hast. Zeichne deshalb so, dass eine andere Person Deinen Weg verstehen kann. Verwende Pfeile, Farben, Beschriftungen und kurze Erklärsätze. Notiere auch, warum Du eine bestimmte Darstellung gewählt hast. Wenn Du in einer Gruppe arbeitest, vergleicht eure Zeichnungen und entscheidet gemeinsam, welche Darstellung die Aufgabe am klarsten erklärt.
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Was ist das wichtigste Ziel einer Zeichnung beim Lösen einer Matheaufgabe? (Sie macht Zusammenhänge sichtbar) (!Sie ersetzt jede Rechnung) (!Sie muss künstlerisch besonders schön sein) (!Sie darf keine Beschriftung enthalten)
Welche Darstellung passt besonders gut zu Abständen und Zeitspannen? (Zahlenstrahl) (!Venn-Diagramm) (!Kreisbild ohne Beschriftung) (!Würfelnetz)
Was gehört zu einer guten mathematischen Skizze? (Wichtige Informationen und klare Beschriftungen) (!Möglichst viele dekorative Details) (!Keine Zahlen) (!Nur Farben ohne Erklärung)
Welche Darstellung hilft besonders bei Überschneidungen von Gruppen? (Venn-Diagramm) (!Zufallstabelle) (!Winkelmesser) (!Zirkelkreis ohne Angaben)
Warum ist Zeichnen im EKM hilfreich? (Der Lösungsweg wird nachvollziehbar) (!Das Ergebnis muss nicht mehr stimmen) (!Die Aufgabe wird automatisch leichter) (!Man braucht keine Antwort mehr)
Was solltest Du nach dem Zeichnen als Nächstes tun? (Zusammenhänge erkennen und einen Lösungsweg ableiten) (!Die Aufgabe ungelesen abgeben) (!Alle Angaben ausradieren) (!Nur die schönste Linie bewerten)
Welche Zeichnung passt gut zu Punkten und Geraden? (Koordinatensystem) (!Mengenbild ohne Kreise) (!Rechenmauer) (!Wortliste)
Was bedeutet Modellieren beim zeichnerischen Lösen? (Eine Situation in eine mathematische Darstellung übersetzen) (!Eine Zeichnung auswendig lernen) (!Eine Zahl ohne Begründung raten) (!Eine Aufgabe ohne Prüfung abschreiben)
Was ist ein häufiger Fehler bei Skizzen? (Unwichtige Details verdecken die wichtigen Informationen) (!Die Skizze ist beschriftet) (!Die Frage wird gelesen) (!Die Zeichnung wird geprüft)
Wann ist eine Planfigur besonders nützlich? (Bei geometrischen Aufgaben mit gesuchten Größen) (!Beim Auswendiglernen von Vokabeln) (!Beim Sortieren von Buchstaben ohne Regel) (!Beim Abschreiben eines Textes)
Memory
| Skizze | Vereinfachte Darstellung einer Situation |
| Zahlenstrahl | Darstellung von Reihenfolge und Abständen |
| Koordinatensystem | Darstellung von Punkten und Geraden |
| Venn-Diagramm | Darstellung von Überschneidungen |
| Planfigur | Hilfszeichnung in der Geometrie |
| Beschriftung | Erklärung von Zahlen und Teilen der Zeichnung |
| Modellieren | Übersetzen einer Situation in Mathematik |
| Prüfung | Vergleich von Lösung und Fragestellung |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| Aufgabe verstehen | Text genau lesen |
| Informationen markieren | Wichtige Angaben finden |
| Darstellung wählen | Passende Zeichnung entscheiden |
| Zeichnung beschriften | Zahlen und Bedeutungen eintragen |
| Lösung prüfen | Ergebnis mit der Frage vergleichen |
...
Kreuzworträtsel
| Skizze | Wie heißt eine einfache Zeichnung, die eine Aufgabe übersichtlich darstellt? |
| Modell | Wie nennt man eine vereinfachte mathematische Darstellung der Wirklichkeit? |
| Diagramm | Wie heißt eine grafische Darstellung von Daten oder Zusammenhängen? |
| Strecke | Was stellt im Wegbild häufig eine Entfernung dar? |
| Venn | Welches Diagramm zeigt Überschneidungen von Gruppen? |
| Pruefung | Wie heißt der Schritt, bei dem Du Ergebnis und Frage vergleichst? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Skizzen-Tagebuch: Sammle drei kleine Alltagssituationen, die man durch eine Zeichnung besser verstehen kann, und erstelle zu jeder Situation eine einfache beschriftete Skizze.
- Zahlenstrahl-Aufgabe: Erfinde eine Aufgabe zu einer Strecke, einer Temperatur oder einer Zeitspanne und löse sie mit einem Zahlenstrahl.
- Gruppenbild: Zeichne eine Aufgabe, in der Gegenstände oder Personen gleichmäßig verteilt werden, und erkläre, welche Rechnung zu Deiner Zeichnung passt.
- Fehlersuche: Erstelle absichtlich eine unvollständige Skizze zu einer Aufgabe und schreibe dazu, welche Beschriftungen fehlen.
Standard
- Sachaufgabe modellieren: Wähle eine Textaufgabe aus Deinem Mathematikbuch und löse sie zuerst mit einer Zeichnung, danach mit einer Rechnung und zuletzt mit einem Antwortsatz.
- Venn-Diagramm erstellen: Erfinde eine Aufgabe mit zwei Gruppen, die sich überschneiden, und zeige die Lösung mit einem Venn-Diagramm.
- Koordinatensystem nutzen: Zeichne ein Koordinatensystem, trage mindestens fünf Punkte ein und formuliere eine Aufgabe, bei der ein Muster erkannt werden muss.
- Geometrische Planfigur: Zeichne zu einer geometrischen Aufgabe eine Planfigur, markiere gegebene und gesuchte Größen und erkläre Deinen Lösungsweg.
Schwer
- Eigene EKM-Aufgabe: Entwickle eine mehrschrittige EKM-Aufgabe, die ohne Zeichnung schwer zu lösen ist, und erstelle eine Musterlösung mit Skizze, Rechnung und Begründung.
- Darstellungsvergleich: Löse dieselbe Aufgabe mit zwei verschiedenen Darstellungen und beurteile, welche Darstellung verständlicher ist.
- Mathematisches Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du zeigst, wie man eine Aufgabe durch Zeichnen löst.
- Interview zum Problemlösen: Befrage zwei Mitschülerinnen oder Mitschüler, wie sie eine schwierige Aufgabe zeichnerisch angehen, und vergleiche ihre Strategien.
|
|
Lernkontrolle
- Transferaufgabe Sachproblem: Du erhältst eine neue Textaufgabe mit mehreren Angaben. Wähle eine passende Zeichnung, begründe Deine Wahl und löse die Aufgabe nachvollziehbar.
- Darstellung begründen: Vergleiche Skizze, Zahlenstrahl und Tabelle für dieselbe Aufgabe und erkläre, welche Darstellung den Zusammenhang am besten zeigt.
- Fehleranalyse: Analysiere eine fehlerhafte Zeichnung zu einer Aufgabe, finde den Denkfehler und verbessere die Darstellung.
- Eigenes Problem entwickeln: Formuliere eine Aufgabe aus dem Alltag, die mit einer Zeichnung lösbar ist, und erstelle eine vollständige Lösung mit Begründung.
- Kommunikation im EKM: Bereite eine kurze Präsentation vor, in der Du erklärst, wie Deine Zeichnung zum Rechenweg führt und warum das Ergebnis sinnvoll ist.
Lernnachweis
Für einen überzeugenden Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du eine passende Darstellung auswählst, diese sauber beschriftest und den Zusammenhang zwischen Zeichnung, Rechnung und Antwort erklären kannst. Du solltest zeigen, dass Du die Aufgabe verstanden hast, wichtige Informationen von unwichtigen Details unterscheiden kannst und Deine Lösung kritisch prüfst. Besonders stark ist Dein Lernnachweis, wenn eine andere Person Deinen Denkweg nur mithilfe Deiner Zeichnung und Deiner kurzen Erklärung nachvollziehen kann.
- Aufgabenverständnis: Du erklärst, was gegeben und was gesucht ist.
- Darstellungswahl: Du begründest, warum Deine Zeichnung zur Aufgabe passt.
- Beschriftung: Du trägst Zahlen, Einheiten, Namen und gesuchte Größen verständlich ein.
- Lösungsweg: Du leitest aus der Zeichnung eine Rechnung, Konstruktion oder Begründung ab.
- Prüfung: Du kontrollierst, ob Ergebnis, Einheit und Antwort zur Fragestellung passen.
- Reflexion: Du beschreibst, was die Zeichnung leichter gemacht hat und wo Schwierigkeiten lagen.
OERs zum Thema
Links
aiMOOC-Projekte
Schulfach+
|
|
aiMOOCs
aiMOOC Projekte
|
|
THE MONKEY DANCE
{{#ev:youtube | https://youtu.be/rFhZlg38Zf8?si=9KdMNZYRkRD81YTo%7C 500 | center}}
|
{{#ev:youtube | https://youtu.be/Ob7etf9QuBo?si=t_NBA71bWg3Rq3LI%7C 500 | center}}
|
|