Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-06-13T18:57:33Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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= Einleitung =

Der '''[[y-Achsenabschnitt]]''' einer '''[[lineare Funktion|linearen Funktion]]''' ist ein zentraler Begriff beim Arbeiten mit '''[[Funktionsgraph]]en'''. Er sagt Dir, an welcher Stelle eine Gerade die '''[[y-Achse]]''' schneidet. Bei linearen Funktionen kannst Du diesen Wert besonders einfach aus der '''[[Funktionsgleichung]]''' ablesen, berechnen oder im '''[[Koordinatensystem]]''' erkennen.

Eine lineare Funktion wird in der Schule häufig in der Form <math>f(x)=mx+b</math> oder <math>y=mx+b</math> geschrieben. Dabei beschreibt <math>m</math> die '''[[Steigung]]''' und <math>b</math> den '''[[y-Achsenabschnitt]]'''. Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat deshalb die Koordinaten <math>S_y=(0\,|\,b)</math>. Anders gesagt: Der y-Achsenabschnitt ist immer der '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle <math>x=0</math>.

[[Datei:Y-intercept line gen.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

Dieser aiMOOC hilft Dir, den y-Achsenabschnitt sicher zu erkennen, zu berechnen und in Sachzusammenhängen zu deuten. Du lernst auch, typische Fehler zu vermeiden, zum Beispiel die Verwechslung von y-Achsenabschnitt und '''[[Nullstelle]]'''.

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= Lernziele =

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was der '''[[y-Achsenabschnitt]]''' ist, ihn aus einer Funktionsgleichung ablesen, ihn aus einem Punkt und einer Steigung berechnen, ihn im '''[[Graph]]en''' markieren und ihn in einfachen Alltagssituationen deuten. Außerdem kannst Du mit der '''MediaWiki-Extension Math''' mathematische Schreibweisen wie <math>f(x)=mx+b</math>, <math>b=f(0)</math> und <math>S_y=(0\,|\,b)</math> korrekt lesen.

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= Grundidee: Was bedeutet y-Achsenabschnitt? =

Der '''[[y-Achsenabschnitt]]''' ist der Wert, bei dem der Graph einer Funktion die '''[[y-Achse]]''' schneidet. Da alle Punkte auf der y-Achse die x-Koordinate <math>0</math> haben, findest Du den y-Achsenabschnitt, indem Du <math>x=0</math> in die Funktion einsetzt.

Für eine lineare Funktion <math>f(x)=mx+b</math> gilt:

<math>f(0)=m\cdot 0+b=b</math>

Der y-Achsenabschnitt ist also <math>b</math>. Der zugehörige Schnittpunkt mit der y-Achse ist:

<math>S_y=(0\,|\,b)</math>

Wichtig ist die Unterscheidung zwischen dem '''Wert''' des y-Achsenabschnitts und dem '''Punkt''' auf der y-Achse. Wenn <math>b=4</math> ist, dann ist der y-Achsenabschnitt der Wert <math>4</math>, und der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet <math>(0\,|\,4)</math>.

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= Lineare Funktionen und ihre Gleichung =

Eine '''[[lineare Funktion]]''' hat allgemein die Form:

<math>f(x)=mx+b</math>

Dabei ist <math>m</math> die '''[[Steigung]]'''. Sie beschreibt, wie stark die Gerade steigt oder fällt. Das <math>b</math> ist der '''[[y-Achsenabschnitt]]'''. Es beschreibt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

# '''[[Steigung]] <math>m</math>''': Gibt an, wie sich der y-Wert verändert, wenn x um <math>1</math> zunimmt.
# '''[[y-Achsenabschnitt]] <math>b</math>''': Gibt den Startwert bei <math>x=0</math> an.
# '''[[Graph]]''': Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine '''[[Gerade]]'''.
# '''[[Funktionswert]]''': Der Wert <math>f(0)</math> ist der y-Wert des Schnittpunktes mit der y-Achse.

[[Datei:Linear functions 03.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

Das Bild zeigt mehrere lineare Funktionen. Sie können unterschiedliche Steigungen haben und trotzdem denselben y-Achsenabschnitt besitzen. Dann schneiden sie die y-Achse an derselben Stelle, verlaufen aber unterschiedlich steil.

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= Den y-Achsenabschnitt aus der Gleichung ablesen =

Wenn die Funktion in der Form <math>f(x)=mx+b</math> vorliegt, ist der y-Achsenabschnitt sofort erkennbar. Er ist das '''absolute Glied''' der Funktionsgleichung, also die Zahl, die ohne <math>x</math> am Ende steht.

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== Beispiel 1: Positiver y-Achsenabschnitt ==

Gegeben ist:

<math>f(x)=2x+3</math>

Hier ist <math>m=2</math> und <math>b=3</math>. Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt:

<math>S_y=(0\,|\,3)</math>

Das bedeutet: Wenn <math>x=0</math> ist, dann ist <math>f(0)=3</math>.

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== Beispiel 2: Negativer y-Achsenabschnitt ==

Gegeben ist:

<math>g(x)=-\frac{1}{2}x-4</math>

Hier ist <math>b=-4</math>. Die Gerade schneidet die y-Achse unterhalb des Ursprungs im Punkt:

<math>S_y=(0\,|\,-4)</math>

Der negative Wert zeigt Dir, dass der Schnittpunkt auf der y-Achse unterhalb von <math>0</math> liegt.

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== Beispiel 3: y-Achsenabschnitt null ==

Gegeben ist:

<math>h(x)=4x</math>

Hier fehlt ein sichtbarer Summand <math>+b</math>. Das bedeutet:

<math>h(x)=4x+0</math>

Also ist <math>b=0</math>. Die Gerade schneidet die y-Achse im Ursprung:

<math>S_y=(0\,|\,0)</math>

Solche Funktionen heißen auch '''[[proportionale Funktion]]en''', weil ihr Graph durch den Ursprung verläuft.

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= Den y-Achsenabschnitt berechnen =

Manchmal ist die Gleichung nicht vollständig gegeben. Dann kannst Du den y-Achsenabschnitt berechnen, wenn Du die '''[[Steigung]]''' und einen Punkt der Geraden kennst.

Die lineare Funktion lautet:

<math>f(x)=mx+b</math>

Wenn ein Punkt <math>P(x_1\,|\,y_1)</math> auf der Geraden liegt, dann gilt:

<math>y_1=m\cdot x_1+b</math>

Nach <math>b</math> umgestellt ergibt sich:

<math>b=y_1-m\cdot x_1</math>

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== Beispiel: Steigung und Punkt gegeben ==

Gegeben sind die Steigung <math>m=2</math> und der Punkt <math>P(4\,|\,11)</math>. Setze die Werte in die Formel ein:

<math>b=y_1-m\cdot x_1</math>

<math>b=11-2\cdot 4</math>

<math>b=11-8</math>

<math>b=3</math>

Die Funktionsgleichung lautet also:

<math>f(x)=2x+3</math>

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist:

<math>S_y=(0\,|\,3)</math>

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= Den y-Achsenabschnitt aus zwei Punkten bestimmen =

Wenn zwei Punkte einer Geraden gegeben sind, bestimmst Du zuerst die '''[[Steigung]]''' und danach den y-Achsenabschnitt.

Gegeben seien zwei Punkte:

<math>P_1(x_1\,|\,y_1)</math> und <math>P_2(x_2\,|\,y_2)</math>

Die Steigung berechnest Du mit:

<math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>

Danach berechnest Du <math>b</math> mit:

<math>b=y_1-m\cdot x_1</math>

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== Beispiel: Zwei Punkte gegeben ==

Gegeben sind die Punkte <math>P_1(2\,|\,7)</math> und <math>P_2(5\,|\,13)</math>.

Zuerst berechnest Du die Steigung:

<math>m=\frac{13-7}{5-2}=\frac{6}{3}=2</math>

Dann berechnest Du den y-Achsenabschnitt mit <math>P_1(2\,|\,7)</math>:

<math>b=7-2\cdot 2</math>

<math>b=7-4=3</math>

Die Funktion lautet:

<math>f(x)=2x+3</math>

Der y-Achsenabschnitt ist <math>3</math>, der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0\,|\,3)</math>.

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= Den y-Achsenabschnitt im Graphen erkennen =

Im '''[[Koordinatensystem]]''' findest Du den y-Achsenabschnitt an der Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet. Die y-Achse ist die senkrechte Achse. Alle Punkte auf ihr haben die x-Koordinate <math>0</math>.

Beim Ablesen gehst Du so vor:

# '''[[y-Achse]] finden''': Suche die senkrechte Achse im Koordinatensystem.
# '''[[Schnittpunkt]] bestimmen''': Markiere die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet.
# '''[[y-Wert]] ablesen''': Lies den y-Wert an dieser Stelle ab.
# '''[[Punktkoordinate]] notieren''': Schreibe den Schnittpunkt als <math>S_y=(0\,|\,b)</math>.

Achte darauf, welche Skalierung das Koordinatensystem hat. Manchmal entspricht ein Kästchen nicht dem Wert <math>1</math>, sondern zum Beispiel <math>0{,}5</math>, <math>2</math> oder <math>10</math>.

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= Bedeutung in Sachzusammenhängen =

Der y-Achsenabschnitt ist oft ein '''Startwert'''. Er beschreibt den Wert einer Größe, bevor eine Veränderung beginnt oder bevor eine unabhängige Variable größer wird.

{{BR}}
== Beispiel: Taxifahrt ==

Ein Taxiunternehmen berechnet eine Grundgebühr von <math>4</math> Euro und zusätzlich <math>2</math> Euro pro Kilometer. Die Kostenfunktion lautet:

<math>K(x)=2x+4</math>

Dabei ist <math>x</math> die gefahrene Strecke in Kilometern. Der y-Achsenabschnitt ist <math>4</math>. Er bedeutet: Schon bei <math>x=0</math> Kilometern entstehen <math>4</math> Euro Kosten. Das ist die Grundgebühr.

{{BR}}
== Beispiel: Wasserstand ==

Ein Behälter enthält zu Beginn <math>15</math> Liter Wasser. Pro Minute fließen <math>3</math> Liter hinzu. Die Funktion lautet:

<math>W(t)=3t+15</math>

Der y-Achsenabschnitt ist <math>15</math>. Er beschreibt den Anfangswert des Wasserstandes bei <math>t=0</math> Minuten.

{{BR}}
== Beispiel: Temperaturmodell ==

Eine Temperatur beträgt morgens <math>8</math> Grad Celsius und steigt pro Stunde um <math>2</math> Grad Celsius. Ein einfaches lineares Modell lautet:

<math>T(x)=2x+8</math>

Der y-Achsenabschnitt <math>8</math> beschreibt die Anfangstemperatur zum Zeitpunkt <math>x=0</math>.

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= Typische Fehler und wie Du sie vermeidest =

Der y-Achsenabschnitt ist leicht zu bestimmen, aber es gibt typische Fehlerquellen.

# '''[[Nullstelle]] und y-Achsenabschnitt verwechseln''': Die Nullstelle liegt auf der x-Achse, der y-Achsenabschnitt liegt auf der y-Achse.
# '''Vorzeichen übersehen''': Bei <math>f(x)=3x-5</math> ist der y-Achsenabschnitt <math>-5</math>, nicht <math>5</math>.
# '''Punkt und Wert verwechseln''': Der Wert ist <math>b</math>, der Punkt ist <math>(0\,|\,b)</math>.
# '''Skalierung falsch ablesen''': Prüfe, welche Abstände auf der Achse verwendet werden.
# '''Unvollständige Gleichung falsch lesen''': Bei <math>f(x)=-2x</math> ist <math>b=0</math>.

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= Merksätze =

'''Merksatz 1:''' Der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei <math>x=0</math>.

'''Merksatz 2:''' Bei <math>f(x)=mx+b</math> ist <math>b</math> der y-Achsenabschnitt.

'''Merksatz 3:''' Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet <math>S_y=(0\,|\,b)</math>.

'''Merksatz 4:''' Wenn <math>b=0</math>, verläuft die Gerade durch den Ursprung.

'''Merksatz 5:''' In Sachaufgaben ist der y-Achsenabschnitt häufig ein Anfangswert, Startwert oder Grundbetrag.

{{BR}}
= Erklärvideos =

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=TKK-25nz-cE |500|center}}

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=WDgH4CN-enA |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was beschreibt der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion?'''
(Den Funktionswert bei x gleich null)
(!Die Steigung der Geraden)
(!Die Nullstelle der Funktion)
(!Den größten Funktionswert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen y-Achsenabschnitt hat die Funktion f von x gleich 3x plus 5?'''
(5)
(!3)
(!8)
(!0)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet der Schnittpunkt mit der y-Achse bei einer Funktion mit y-Achsenabschnitt b?'''
(0 Strich b)
(!b Strich 0)
(!m Strich b)
(!0 Strich m)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen y-Achsenabschnitt hat die Funktion g von x gleich minus 2x minus 7?'''
(minus 7)
(!minus 2)
(!7)
(!2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt für den Graphen einer linearen Funktion mit y-Achsenabschnitt 0?'''
(Er verläuft durch den Ursprung)
(!Er ist immer waagerecht)
(!Er hat keine Steigung)
(!Er schneidet die x-Achse nie)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Eine Gerade hat die Steigung 2 und geht durch den Punkt 4 Strich 11. Wie groß ist der y-Achsenabschnitt?'''
(3)
(!2)
(!7)
(!11)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel berechnet den y-Achsenabschnitt aus einem Punkt x1 Strich y1 und der Steigung m?'''
(b gleich y1 minus m mal x1)
(!b gleich y1 plus m mal x1)
(!b gleich m minus y1 mal x1)
(!b gleich x1 minus m mal y1)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was haben zwei lineare Funktionen gemeinsam, wenn sie denselben y-Achsenabschnitt besitzen?'''
(Sie schneiden die y-Achse an derselben Stelle)
(!Sie haben immer dieselbe Steigung)
(!Sie sind immer identisch)
(!Sie schneiden die x-Achse an derselben Stelle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Achse ist die y-Achse im üblichen Koordinatensystem?'''
(Die senkrechte Achse)
(!Die waagerechte Achse)
(!Die Diagonale durch den Ursprung)
(!Die Achse mit nur negativen Werten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage beschreibt einen häufigen Fehler?'''
(Der y-Achsenabschnitt wird mit der Nullstelle verwechselt)
(!Der y-Achsenabschnitt wird immer richtig abgelesen)
(!Die Steigung ist immer gleich dem y-Achsenabschnitt)
(!Jede Gerade hat den y-Achsenabschnitt 1)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| y-Achsenabschnitt || Schnittpunkt mit der y-Achse
|-
| Steigung || Änderungsrate der Geraden
|-
| b || Startwert der linearen Funktion
|-
| x gleich null || Einsetzen zum Finden des Achsenschnitts
|-
| Gerade || Graph einer linearen Funktion
|-
| Ursprung || Punkt mit beiden Koordinaten null
|-
| Nullstelle || Schnittpunkt mit der x-Achse
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Funktionswert bei x gleich null'''
| y-Achsenabschnitt
|-
| '''Zahl vor dem x'''
| Steigung
|-
| '''Zahl ohne x'''
| absolutes Glied
|-
| '''Schnittpunkt mit der x-Achse'''
| Nullstelle
|-
| '''senkrechte Achse'''
| y-Achse
|-
| '''Graph einer linearen Funktion'''
| Gerade
|-
| '''Anfangswert in Sachaufgaben'''
| y-Achsenabschnitt

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Achsenabschnitt || Wie nennt man den Wert, an dem eine Gerade eine Koordinatenachse schneidet?
|-
| Steigung || Welche Größe beschreibt, wie steil eine Gerade steigt oder fällt?
|-
| Gerade || Wie heißt der Graph einer linearen Funktion?
|-
| Ursprung || Wie heißt der Punkt mit den Koordinaten null und null?
|-
| Koordinatensystem || In welchem System werden x-Achse und y-Achse dargestellt?
|-
| Funktionswert || Wie nennt man den y-Wert, der zu einem eingesetzten x-Wert gehört?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=y-Achsenabschnitt+linearer+Funktionen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine lineare Funktion hat häufig die Form f von x gleich m mal x plus b. Die Zahl m beschreibt die { Steigung } der Geraden. Die Zahl b beschreibt den { y-Achsenabschnitt }. Um den y-Achsenabschnitt zu berechnen, setzt man für x den Wert { null } ein. Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat immer die x-Koordinate { null }. Bei der Funktion f von x gleich 2x plus 6 ist der y-Achsenabschnitt { sechs }. Wenn der y-Achsenabschnitt negativ ist, liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse { unterhalb } des Ursprungs. In Sachaufgaben beschreibt der y-Achsenabschnitt häufig einen { Anfangswert }. Eine Nullstelle ist dagegen der Schnittpunkt mit der { x-Achse }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[y-Achsenabschnitt erkennen]]: Zeichne ein Koordinatensystem und markiere bei drei selbst gewählten Geraden jeweils den Schnittpunkt mit der y-Achse.
# [[Funktionsgleichungen lesen]]: Schreibe fünf lineare Funktionen der Form <math>f(x)=mx+b</math> auf und unterstreiche jeweils den y-Achsenabschnitt.
# [[Graph und Gleichung verbinden]]: Erstelle drei kleine Graphen und notiere zu jedem Graphen eine passende Funktionsgleichung mit sichtbarem y-Achsenabschnitt.
# [[Merksatz gestalten]]: Gestalte eine Lernkarte mit dem Merksatz <math>b=f(0)</math> und einem passenden Beispiel.

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=== Standard ===

# [[Wertetabelle erstellen]]: Erstelle zu zwei linearen Funktionen eine Wertetabelle mit den x-Werten <math>-2</math>, <math>-1</math>, <math>0</math>, <math>1</math> und <math>2</math> und markiere jeweils den y-Achsenabschnitt.
# [[Sachaufgabe entwickeln]]: Erfinde eine Sachaufgabe, in der der y-Achsenabschnitt als Grundgebühr, Startwert oder Anfangsbestand vorkommt.
# [[Fehleranalyse durchführen]]: Schreibe eine falsche Lösung zum y-Achsenabschnitt und erkläre anschließend, worin der Denkfehler liegt.
# [[Punkt und Steigung nutzen]]: Wähle einen Punkt und eine Steigung, berechne den y-Achsenabschnitt und kontrolliere Dein Ergebnis durch Einsetzen.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Lineares Modell untersuchen]]: Sammle reale Daten, zum Beispiel zu Kosten, Füllständen oder Entfernungen, und prüfe, ob ein lineares Modell mit y-Achsenabschnitt sinnvoll ist.
# [[Zwei-Punkte-Verfahren erklären]]: Erstelle ein Erklärplakat, das zeigt, wie man aus zwei Punkten zuerst die Steigung und danach den y-Achsenabschnitt berechnet.
# [[Parameter verändern]]: Untersuche mit einer digitalen Zeichenhilfe, wie sich der Graph verändert, wenn nur <math>b</math> verändert wird und <math>m</math> gleich bleibt.
# [[Vergleich mehrerer Funktionen]]: Finde drei lineare Funktionen mit demselben y-Achsenabschnitt, aber unterschiedlichen Steigungen, und erkläre Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Zusammenhänge erklären]]: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion immer mit dem Funktionswert bei <math>x=0</math> zusammenhängt.
# [[Graphisch argumentieren]]: Beschreibe, wie Du den y-Achsenabschnitt aus einem Graphen abliest, und erkläre, welche Rolle die Skalierung des Koordinatensystems spielt.
# [[Sachkontext deuten]]: Eine Kostenfunktion lautet <math>K(x)=1{,}50x+6</math>. Erkläre, was die Zahlen <math>1{,}50</math> und <math>6</math> im Sachkontext bedeuten könnten.
# [[Fehler begründen]]: Eine Schülerin sagt, bei <math>f(x)=4x-9</math> sei der y-Achsenabschnitt <math>4</math>. Erkläre den Fehler und formuliere die richtige Aussage.
# [[Transfer leisten]]: Vergleiche die Bedeutungen von y-Achsenabschnitt und Nullstelle. Erkläre, warum beide Schnittpunkte mit Achsen sind, aber unterschiedliche Informationen liefern.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Y-Achsenabschnitt </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[y-Achsenabschnitt]]'''
# [[Lineare Funktion]]
# [[Funktionsgleichung]]
# [[Steigung]]
# [[Koordinatensystem]]
# [[y-Achse]]
# [[Graph]]
# [[Gerade]]
# [[Funktionswert]]
# [[Nullstelle]]
# [[Proportionale Funktion]]
# [[Achsenabschnittsform]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse_7-8]]
[[Kategorie:Lineare Funktionen]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Mathematik 7]]
[[Kategorie:Mathematik 8]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =

[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Y-Achsenabschnitt linearer Funktionen - aiMOOC - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt