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2026-07-27T19:24:54Z

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= Einleitung =

Beim '''waagerechten Wurf''' verlässt ein Körper eine Kante mit einer waagerechten Anfangsgeschwindigkeit. Gleichzeitig zieht ihn die [[Gravitation|Schwerkraft]] nach unten. Aus einer gleichförmigen Bewegung nach vorn und einem [[Freier Fall|freien Fall]] nach unten entsteht eine gekrümmte Bahn.

Du lernst, die Bewegung in zwei Richtungen zu zerlegen, Flugzeit und Wurfweite zu berechnen und ein einfaches Experiment auszuwerten. Dabei verwenden wir ein ideales Modell ohne Luftwiderstand.

[[Datei:Horizontal-projectile-motion.svg|550px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=OkXx3Ki9vwo |500|center}}

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== Lernziele ==

Nach dem aiMOOC kannst Du den waagerechten Wurf erklären, passende Formeln auswählen, Messwerte auswerten und Grenzen des Modells beurteilen.

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= Grundidee des waagerechten Wurfs =

Ein Körper startet mit der Geschwindigkeit <math>v_0</math> ausschließlich in waagerechter Richtung. Nach dem Verlassen der Unterlage wirkt im vereinfachten Modell nur noch die Gewichtskraft. Deshalb gilt:

# [[Gleichförmige Bewegung|Waagerechte Bewegung]]: Die Geschwindigkeit bleibt konstant.
# [[Freier Fall|Senkrechte Bewegung]]: Der Körper wird mit <math>g</math> nach unten beschleunigt.
# [[Superposition (Physik)|Überlagerung]]: Beide Teilbewegungen laufen gleichzeitig und unabhängig voneinander ab.

Dieses Unabhängigkeitsprinzip bedeutet: Ein waagerecht geworfener Körper und ein gleichzeitig fallengelassener Körper aus derselben Höhe treffen im idealen Modell zur selben Zeit auf dem Boden auf.

[[Datei:Galilei waagerechter Wurf (2).png|420px|rahmenlos|center]]

Die historische Darstellung von [[Galileo Galilei|Galilei]] verdeutlicht die Überlagerung einer gleichförmigen waagerechten Bewegung mit einer senkrechten Fallbewegung.

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== Modellannahmen ==

Die Schulformeln gelten unter vereinfachten Bedingungen: Der Luftwiderstand wird vernachlässigt, die Fallbeschleunigung ist konstant, die Erdoberfläche wird als eben betrachtet und der Körper wird als Massepunkt modelliert. Nahe der Erdoberfläche verwenden wir

:<math>g \approx 9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}</math>.

Die Masse des Körpers kommt in den idealen Bewegungsgleichungen nicht vor. In der Realität können Form, Luftwiderstand, Wind und Rotation die Bahn deutlich verändern.

[[Datei:Bouncing ball strobe edit.jpg|550px|rahmenlos|center]]

Eine Stroboskopaufnahme macht aufeinanderfolgende Positionen sichtbar. Abweichungen von der idealen Parabel können unter anderem durch Luftwiderstand, Rotation und Verformung entstehen.

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= Zerlegung in zwei Teilbewegungen =

Wir legen den Ursprung in den Abwurfpunkt. Die positive <math>x</math>-Richtung zeigt waagerecht nach vorn, die positive <math>y</math>-Richtung nach unten.

[[Datei:Horizontal-projectile-motion-coord-sys.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Bewegung in x-Richtung ==

In waagerechter Richtung wirkt im idealen Modell keine Kraft. Daher ist die Beschleunigung null:

:<math>a_x=0</math>

Die Geschwindigkeit bleibt gleich:

:<math>v_x=v_0</math>

Für den zurückgelegten waagerechten Weg gilt:

:<math>x(t)=v_0\cdot t</math>

Der Weg wächst also gleichmäßig mit der Zeit.

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== Bewegung in y-Richtung ==

Beim waagerechten Start ist die anfängliche senkrechte Geschwindigkeit null. Die Fallbeschleunigung wirkt nach unten:

:<math>a_y=g</math>

Die senkrechte Geschwindigkeit nimmt zu:

:<math>v_y(t)=g\cdot t</math>

Der Fallweg beträgt:

:<math>y(t)=\frac{1}{2}g t^2</math>

Der senkrechte Weg wächst quadratisch mit der Zeit.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=brEKM1ouTyU |500|center}}

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= Wichtige Formeln =

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== Flugzeit ==

Fällt der Körper aus der Höhe <math>h</math>, gilt <math>h=\frac{1}{2}gt^2</math>. Nach <math>t</math> aufgelöst ergibt sich:

:<math>t_\mathrm{F}=\sqrt{\frac{2h}{g}}</math>

Die Flugzeit hängt im idealen Modell nur von der Höhe und von <math>g</math> ab, nicht von der waagerechten Anfangsgeschwindigkeit.

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== Wurfweite ==

Während der Flugzeit bewegt sich der Körper waagerecht mit <math>v_0</math>. Die Wurfweite <math>w</math> ist daher:

:<math>w=v_0\cdot t_\mathrm{F}</math>

Mit der Formel für die Flugzeit folgt:

:<math>w=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}</math>

Eine größere Anfangsgeschwindigkeit vergrößert die Wurfweite proportional. Eine größere Höhe verlängert die Flugzeit und damit ebenfalls die Wurfweite.

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== Gleichung der Bahnkurve ==

Aus <math>x=v_0t</math> folgt <math>t=\frac{x}{v_0}</math>. Eingesetzt in die Fallgleichung erhält man:

:<math>y(x)=\frac{g}{2v_0^2}x^2</math>

Die Bahn ist eine [[Parabel|Wurfparabel]]. Da unsere positive <math>y</math>-Richtung nach unten zeigt, nimmt <math>y</math> entlang der Fallrichtung zu.

[[Datei:Waagrechter Wurf.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Geschwindigkeit beim Aufprall ==

Die beiden Geschwindigkeitskomponenten lauten:

:<math>v_x=v_0</math>

:<math>v_y=g t_\mathrm{F}</math>

Der Betrag der Geschwindigkeit folgt mit dem [[Satz des Pythagoras]]:

:<math>v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+(gt_\mathrm{F})^2}</math>

Der Winkel <math>\beta</math> unterhalb der Waagerechten kann über

:<math>\tan(\beta)=\frac{v_y}{v_x}</math>

bestimmt werden.

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= Beispielrechnung =

Eine Kugel verlässt einen Tisch der Höhe <math>h=1{,}25\,\mathrm{m}</math> mit <math>v_0=4{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>.

'''1. Flugzeit'''

:<math>t_\mathrm{F}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}25\,\mathrm{m}}{9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}}\approx 0{,}505\,\mathrm{s}</math>

'''2. Wurfweite'''

:<math>w=4{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 0{,}505\,\mathrm{s}\approx 2{,}02\,\mathrm{m}</math>

'''3. Senkrechte Aufprallgeschwindigkeit'''

:<math>v_y=9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot 0{,}505\,\mathrm{s}\approx 4{,}95\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>

'''4. Betrag der Aufprallgeschwindigkeit'''

:<math>v=\sqrt{(4{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}})^2+(4{,}95\,\mathrm{\frac{m}{s}})^2}\approx 6{,}37\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>

Die Kugel ist etwa eine halbe Sekunde in der Luft und landet rund zwei Meter von der Tischkante entfernt.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=mfRfrrwTbJY |500|center}}

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= Beobachtungen und Anwendungen =

Waagerechte Würfe findest Du bei einer Kugel, die eine Tischkante verlässt, bei einem Wasserstrahl aus einer seitlichen Öffnung oder bei einem Paket, das aus einem gleichförmig fliegenden Fahrzeug abgeworfen wird. Entscheidend ist immer die gleichzeitige Bewegung in zwei senkrecht zueinander stehenden Richtungen.

[[Datei:Belvedere szokokut 5.jpg|550px|rahmenlos|center]]

Die Wasserteilchen eines Springbrunnens bewegen sich nach dem Austritt näherungsweise auf Wurfparabeln. Luftwiderstand und die Zerlegung des Wasserstrahls begrenzen jedoch die Genauigkeit des einfachen Modells.

[[Datei:Projectile Motion in a Relief Package Drop.webm|550px|rahmenlos|center]]

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== Einfluss einzelner Größen ==

# [[Abwurfhöhe|Höhe]]: Größere Höhe führt zu längerer Flugzeit.
# [[Anfangsgeschwindigkeit|Startgeschwindigkeit]]: Größeres <math>v_0</math> führt bei gleicher Höhe zu größerer Wurfweite.
# [[Masse]]: Im idealen Modell verändert sie Flugzeit und Bahn nicht.
# [[Luftwiderstand]]: Er bremst den Körper und verändert die ideale Parabelform.

[[Datei:Wurfparabel Zusammenfassung aktualisierung.png|650px|rahmenlos|center]]

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= Experiment: Kugel von einer Tischkante =

Du benötigst eine kleine Kugel, eine waagerechte Rampe oder Rinne, Maßband, Papier und eine sichere Auffangfläche. Lass die Kugel die Tischkante waagerecht verlassen. Miss Tischhöhe und horizontale Landestelle. Wiederhole den Versuch mehrmals.

Berechne zuerst die theoretische Flugzeit und Wurfweite. Vergleiche anschließend Theorie und Messung. Streuungen entstehen etwa durch ungenaue Startgeschwindigkeit, eine nicht exakt waagerechte Rampe, Luftwiderstand und Messfehler.

'''Sicherheit:''' Verwende leichte Gegenstände, halte den Landebereich frei und wirf niemals in Richtung von Personen, Tieren oder zerbrechlichen Gegenständen.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=M16RadlLPP8 |500|center}}

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= Typische Denkfehler =

# Die Schwerkraft wirkt nicht erst nach einiger Zeit, sondern sofort nach dem Verlassen der Kante.
# Die waagerechte Geschwindigkeit wird im idealen Modell nicht durch die Schwerkraft kleiner.
# Eine größere waagerechte Startgeschwindigkeit verlängert bei gleicher Höhe nicht die Flugzeit.
# Die Flugbahn ist nicht geradlinig, weil die senkrechte Geschwindigkeit ständig zunimmt.
# Reale Würfe folgen nur näherungsweise der idealen Parabel.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche zwei Bewegungen überlagern sich beim idealen waagerechten Wurf?'''
(Eine gleichförmige waagerechte Bewegung und ein freier Fall)
(!Zwei gleichförmige Bewegungen)
(!Zwei freie Fälle)
(!Eine Kreisbewegung und eine Schwingung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Größe bleibt in x-Richtung konstant?'''
(Die waagerechte Geschwindigkeit)
(!Die senkrechte Geschwindigkeit)
(!Der Fallweg)
(!Die Fallbeschleunigung in x-Richtung mit dem Wert g)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Anfangsgeschwindigkeit hat der Körper in y-Richtung?'''
(Null)
(!Die Fallbeschleunigung)
(!Die Wurfweite)
(!Die Tischhöhe)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wovon hängt die Flugzeit im idealen Modell ab?'''
(Von der Abwurfhöhe und der Fallbeschleunigung)
(!Nur von der Masse)
(!Nur von der waagerechten Geschwindigkeit)
(!Von der Farbe des Körpers)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Form hat die ideale Bahnkurve?'''
(Eine Parabel)
(!Eine Gerade)
(!Ein Kreis)
(!Eine Hyperbel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht bei größerem v0 und gleicher Höhe?'''
(Die Wurfweite wird größer)
(!Die Flugzeit wird größer)
(!Die Fallbeschleunigung wird kleiner)
(!Die Masse wird größer)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Einheit hat die Fallbeschleunigung g?'''
(Meter pro Sekunde zum Quadrat)
(!Meter pro Sekunde)
(!Sekunde pro Meter)
(!Kilogramm pro Meter)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt die waagerechte Bewegung?'''
(x gleich v0 mal t)
(!x gleich ein halb g mal t zum Quadrat)
(!v0 gleich g durch t)
(!h gleich v0 mal g)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zur Masse ist im idealen Modell richtig?'''
(Sie beeinflusst die Flugbahn nicht)
(!Sie bestimmt allein die Flugzeit)
(!Sie ersetzt die Fallbeschleunigung)
(!Sie macht die Bahn geradlinig)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum nimmt die Gesamtgeschwindigkeit während des Flugs zu?'''
(Weil die senkrechte Geschwindigkeitskomponente zunimmt)
(!Weil die waagerechte Beschleunigung konstant g ist)
(!Weil die Masse zunimmt)
(!Weil die Abwurfhöhe größer wird)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Waagerechte Bewegung || Gleichförmig
|-
| Senkrechte Bewegung || Freier Fall
|-
| Flugzeit || Wurfdauer
|-
| Wurfweite || Horizontaler Abstand
|-
| Fallbeschleunigung || Gravitation
|-
| Bahnkurve || Parabel
|-
| Anfangsgeschwindigkeit || Starttempo
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''x gleich v0 mal t'''
| Waagerechter Weg
|-
| '''y gleich ein halb g mal t zum Quadrat'''
| Senkrechter Fallweg
|-
| '''Wurzel aus zwei h durch g'''
| Flugzeit
|-
| '''v0 mal Flugzeit'''
| Wurfweite
|-
| '''Wurzel aus vx Quadrat plus vy Quadrat'''
| Betrag der Geschwindigkeit

|}
{{E}}

<br>
...
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Parabel || Welche geometrische Form hat die ideale Bahnkurve?
|-
| Gravitation || Welche Wechselwirkung beschleunigt den Körper nach unten?
|-
| Fallzeit || Wie nennt man die Dauer der senkrechten Fallbewegung?
|-
| Wurfweite || Wie heißt der waagerechte Abstand bis zum Auftreffpunkt?
|-
| Horizontal || Wie heißt die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit?
|-
| Superposition || Wie nennt man die Überlagerung beider Teilbewegungen?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Waagerechter+Wurf+Physik </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Beim waagerechten Wurf startet der Körper mit einer { horizontalen } Anfangsgeschwindigkeit. In senkrechter Richtung beginnt die Bewegung mit der Geschwindigkeit { null }. Die Beschleunigung nach unten wird durch die { Gravitation } verursacht. Im idealen Modell bleibt die waagerechte Geschwindigkeit { konstant }. Der senkrechte Fallweg wächst mit dem Quadrat der { Zeit }. Die ideale Bahnkurve ist eine { Parabel }. Die Flugzeit hängt von der Abwurfhöhe und der Größe { g } ab. Die Wurfweite ergibt sich aus Anfangsgeschwindigkeit mal { Flugzeit }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Skizze|Bewegungsskizze]]: Zeichne einen waagerechten Wurf und kennzeichne Startpunkt, Geschwindigkeit, Gewichtskraft, Höhe und Wurfweite.
# [[Beobachtung|Alltagsbeispiele]]: Finde drei ungefähr waagerechte Würfe im Alltag und begründe Deine Auswahl.
# [[Formelsammlung|Formelkarte]]: Gestalte eine übersichtliche Lernkarte mit den vier wichtigsten Formeln und Einheiten.
# [[Erklärvideo|60-Sekunden-Erklärung]]: Erkläre in einem kurzen Audio oder Video, warum die Flugbahn gekrümmt ist.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Experiment|Münzversuch]]: Lass eine Münze fallen und stoße eine zweite gleichzeitig waagerecht von gleicher Höhe. Dokumentiere den Auftreffzeitpunkt.
# [[Messreihe|Wurfweiten messen]]: Führe mehrere Würfe mit möglichst gleicher Startgeschwindigkeit durch und bestimme Mittelwert und Streuung.
# [[Videoanalyse|Bewegung filmen]]: Filme eine rollende Kugel beim Verlassen einer Tischkante und markiere ihre Positionen in gleichen Zeitabständen.
# [[Diagramm|Bahnkurve darstellen]]: Berechne für mehrere Zeiten die x- und y-Koordinaten und zeichne die Wurfparabel.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Modellbildung|Modellkritik]]: Untersuche, welche Modellannahme bei einem Federball am stärksten verletzt wird.
# [[Fehlerrechnung|Messunsicherheit]]: Schätze ab, wie eine Unsicherheit der Tischhöhe die berechnete Flugzeit und Wurfweite beeinflusst.
# [[Programmierung|Simulation]]: Programmiere eine einfache Simulation des waagerechten Wurfs und variiere Höhe sowie Anfangsgeschwindigkeit.
# [[Forschungsprojekt|Vergleich verschiedener Körper]]: Vergleiche Kugel, Papierkugel und Tischtennisball und erkläre Unterschiede zwischen Modell und Messung.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellvergleich|Zwei Kugeln]]: Zwei Kugeln verlassen dieselbe Kante gleichzeitig mit unterschiedlichen waagerechten Geschwindigkeiten. Begründe, welche zuerst auftrifft und welche weiter fliegt.
# [[Parameteränderung|Doppelte Höhe]]: Erkläre ohne vollständige Rechnung, wie sich Flugzeit und Wurfweite verändern, wenn die Höhe vervierfacht wird.
# [[Fehleranalyse|Schiefe Rampe]]: Eine Rampe zeigt am Ende leicht nach oben. Erkläre, warum die Formeln des waagerechten Wurfs dann nicht direkt passen.
# [[Dateninterpretation|Messwerte prüfen]]: Eine Gruppe misst bei gleicher Höhe sehr unterschiedliche Flugzeiten. Entwickle mindestens zwei plausible Erklärungen.
# [[Transfer|Wasserstrahl]]: Beschreibe, wie Du aus der Bahn eines waagerecht austretenden Wasserstrahls die Austrittsgeschwindigkeit bestimmen könntest.
# [[Bewertung|Reales Modell]]: Beurteile, wann Luftwiderstand vernachlässigt werden darf und nenne geeignete Vergleichskörper.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

# den waagerechten Wurf als Überlagerung zweier Bewegungen erklären kannst,
# ein Koordinatensystem sinnvoll festlegst,
# Flugzeit, Wurfweite und Aufprallgeschwindigkeit berechnest,
# Einheiten korrekt verwendest,
# Messdaten mit theoretischen Werten vergleichst,
# Modellannahmen und reale Abweichungen beurteilst,
# Deine Lösung mit Skizze, Rechnung und verständlicher Begründung darstellst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Waagerechter_Wurf </iframe>

# [https://www.leifiphysik.de/mechanik/waagerechter-und-schraeger-wurf/grundwissen/waagerechter-wurf LEIFIphysik: Waagerechter Wurf]
# [https://phet.colorado.edu/de/simulations/projectile-motion PhET-Simulation zur Wurfbewegung]
# [https://www.walter-fendt.de/html5/phde/projectile_de.htm Interaktive Simulation von Walter Fendt]

<br>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Waagerechter Wurf]]'''
# [[Kinematik]]
# [[Gleichförmige Bewegung]]
# [[Gleichmäßig beschleunigte Bewegung]]
# [[Freier Fall]]
# [[Wurfparabel]]
# [[Geschwindigkeit]]
# [[Beschleunigung]]
# [[Superposition (Physik)]]
# [[Messunsicherheit]]
|}

[[Kategorie:Physik]]
[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Kinematik]]
[[Kategorie:Waagerechter Wurf]]
[[Kategorie:Wurfbewegung]]
[[Kategorie:Schule]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Mathematik in der Physik]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Waagerechter Wurf - Physik - Versionsgeschichte

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