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2026-07-14T20:00:06Z

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{{T}}

{{BR}}
= Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kegel =

[[Datei:Net of pyramid, cylinder, cone.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Einleitung =

Eine [[Pyramide]] und ein [[Kegel]] sind '''Spitzkörper'''. Beide haben eine [[Grundfläche]], eine [[Mantelfläche]] und eine Spitze. Das [[Volumen]] beschreibt den Rauminhalt. Die [[Oberfläche]] beschreibt die gesamte Außenfläche.

Du lernst die Formeln, rechnest einfache Beispiele und nutzt den [[Satz des Pythagoras]].

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach dem Kurs kannst Du Volumen und Oberfläche von Pyramiden und Kegeln berechnen, passende Einheiten nutzen und Ergebnisse erklären.

{{BR}}
= Pyramide =

Eine Pyramide hat ein Vieleck als Grundfläche. Ihre Seitenflächen sind Dreiecke.

[[Datei:TypesOfPyramid.svg|500px|rahmenlos|center]]

{| class="wikitable" style="margin:auto"
! Größe
! Formel
|-
| Volumen
| '''V = 1/3 · G · h'''
|-
| Oberfläche
| '''O = G + M'''
|-
| Quadratische Grundfläche
| '''G = a²'''
|-
| Mantel einer geraden quadratischen Pyramide
| '''M = 2 · a · h<sub>s</sub>'''
|}

Dabei ist '''G''' die Grundfläche, '''M''' die Mantelfläche, '''h''' die senkrechte Körperhöhe und '''h<sub>s</sub>''' die Höhe eines Seitendreiecks.

[[Datei:Square pyramid net.svg|400px|rahmenlos|center]]

'''Beispiel:''' a = 6 cm und h = 10 cm. Dann gilt G = 36 cm² und V = 1/3 · 36 · 10 = '''120 cm³'''.

{{BR}}
= Kegel =

Ein gerader Kegel hat einen [[Kreis]] als Grundfläche. Die schräge Strecke von der Spitze zum Kreisrand heißt '''Mantellinie m'''.

[[Datei:Cone net.svg|500px|rahmenlos|center]]

{| class="wikitable" style="margin:auto"
! Größe
! Formel
|-
| Grundfläche
| '''G = π · r²'''
|-
| Volumen
| '''V = 1/3 · π · r² · h'''
|-
| Mantelfläche
| '''M = π · r · m'''
|-
| Oberfläche
| '''O = π · r² + π · r · m'''
|-
| Mantellinie
| '''m = √(r² + h²)'''
|}

'''Beispiel:''' r = 3 cm, h = 4 cm und m = 5 cm. Dann gilt V = 12π cm³ ≈ '''37,7 cm³''' und O = 24π cm² ≈ '''75,4 cm²'''.

{{BR}}
== Warum steht in beiden Volumenformeln ein Drittel? ==

Eine Pyramide hat ein Drittel des Volumens eines passenden [[Prisma|Prismas]] mit gleicher Grundfläche und Höhe. Ein Kegel hat ein Drittel des Volumens eines passenden [[Zylinder|Zylinders]] mit gleicher Grundfläche und Höhe.

[[Datei:Volumen pirámide.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Visual proof cone volume.svg|400px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Einheiten ==

Für Oberflächen nutzt Du Quadrateinheiten wie cm². Für Volumen nutzt Du Kubikeinheiten wie cm³. Rechne alle Längen vor dem Einsetzen in dieselbe Einheit um.

{{BR}}
= Video: Planet Schule =

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=CUm2Dn_7gpg |500|center}}

[https://www.planet-schule.de/schwerpunkt/geometrie/029-volumen-und-oberflaeche-von-pyramide-und-kegel-geometrie-kolleg24-mathematik-100.html Film, Erklärungen und Übungen bei Planet Schule]

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Vorwissen]]: Nenne vor dem Start zwei Gegenstände mit Pyramidenform und zwei Gegenstände mit Kegelform.
# [[Formeln]]: Notiere beim Schauen die vier Formeln für Volumen und Oberfläche.
# [[Pyramide]]: Pausiere beim ersten Beispiel. Markiere Grundfläche, Körperhöhe und Seitenhöhe in einer Skizze.
# [[Kegel]]: Zeichne das rechtwinklige Dreieck aus Radius, Höhe und Mantellinie.
# [[Skalierung]]: Erkläre nach dem Video, warum sich das Kegelvolumen vervierfacht, wenn nur der Radius verdoppelt wird.
# [[Filtertüte]]: Rechne das Beispiel r = 5 cm und m = 12 cm nach. Bestimme zuerst h und dann die Mantelfläche.
# [[Rückblick]]: Schreibe einen Satz zum Unterschied zwischen Volumen und Oberfläche.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}
'''Wie lautet die Volumenformel einer Pyramide?'''
(V = ein Drittel mal G mal h)
(!V = G plus h)
(!V = G mal h)
(!V = zwei mal G mal h)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie berechnet man die Oberfläche einer Pyramide?'''
(O = G plus M)
(!O = G mal M)
(!O = G minus M)
(!O = ein Drittel mal G mal M)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Form hat die Grundfläche eines Kegels?'''
(Einen Kreis)
(!Ein Dreieck)
(!Ein Rechteck)
(!Ein Trapez)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie lautet die Mantelfläche eines Kegels?'''
(M = Pi mal r mal m)
(!M = Pi mal r mal h)
(!M = zwei mal Pi mal r)
(!M = r mal h)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie berechnet man die Mantellinie eines geraden Kegels?'''
(m ist die Wurzel aus r Quadrat plus h Quadrat)
(!m ist r plus h)
(!m ist r mal h)
(!m ist die Wurzel aus r plus h)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Einheit passt zu einem Volumen?'''
(Kubikzentimeter)
(!Zentimeter)
(!Quadratzentimeter)
(!Grad)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Welche Einheit passt zu einer Oberfläche?'''
(Quadratmeter)
(!Meter)
(!Kubikmeter)
(!Liter pro Meter)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Was geschieht mit dem Kegelvolumen, wenn der Radius verdoppelt und die Höhe nicht verändert wird?'''
(Es vervierfacht sich)
(!Es verdoppelt sich)
(!Es verdreifacht sich)
(!Es bleibt gleich)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie groß ist die Grundfläche einer quadratischen Pyramide mit Grundkante a?'''
(G = a Quadrat)
(!G = vier mal a)
(!G = zwei mal a)
(!G = a hoch drei)
{{E}}
<br>

{{MC}}
'''Wie groß ist das Volumen eines Spitzkörpers im Vergleich zum passenden Prisma oder Zylinder?'''
(Ein Drittel)
(!Die Hälfte)
(!Das Doppelte)
(!Das Dreifache)
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Pyramide || Vieleck als Grundfläche
|-
| Kegel || Kreis als Grundfläche
|-
| Volumen || Rauminhalt
|-
| Oberfläche || gesamte Außenhaut
|-
| Grundfläche || Formelzeichen G
|-
| Mantelfläche || Formelzeichen M
|-
| Körperhöhe || senkrechter Abstand
|-
| Mantellinie || schräge Strecke am Kegel
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">
{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Volumen der Pyramide'''
| Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe
|-
| '''Oberfläche der Pyramide'''
| Grundfläche plus Mantelfläche
|-
| '''Volumen des Kegels'''
| Ein Drittel mal Pi mal Radiusquadrat mal Höhe
|-
| '''Mantelfläche des Kegels'''
| Pi mal Radius mal Mantellinie
|-
| '''Mantellinie des Kegels'''
| Wurzel aus Radiusquadrat plus Höhenquadrat
|}
{{E}}
<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Pyramide || Welcher Körper hat eine vieleckige Grundfläche und dreieckige Seitenflächen?
|-
| Kegel || Welcher Körper hat eine kreisförmige Grundfläche und eine Spitze?
|-
| Volumen || Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
|-
| Oberfläche || Wie heißt die gesamte äußere Fläche eines Körpers?
|-
| Mantellinie || Wie heißt die schräge Strecke von der Kegelspitze zum Kreisrand?
|-
| Grundfläche || Welche Fläche liegt einem Spitzkörper unten zugrunde?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Volumen+und+Oberfl%C3%A4che+von+Pyramide+und+Kegel </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Das Volumen beschreibt den { Rauminhalt } eines Körpers.
Die Oberfläche besteht bei einer Pyramide aus Grundfläche und { Mantelfläche }.
Das Pyramidenvolumen wird mit dem Faktor { ein Drittel } berechnet.
Die Grundfläche eines Kegels ist ein { Kreis }.
Für die Kreisfläche braucht man den { Radius }.
Die schräge Strecke am Kegel heißt { Mantellinie }.
Die Mantellinie kann mit dem Satz des { Pythagoras } berechnet werden.
Eine Oberfläche wird in { Quadrateinheiten } angegeben.
Ein Volumen wird in { Kubikeinheiten } angegeben.
</quiz>
<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Formelkarte]]: Gestalte eine Karte mit allen Formeln und einer kleinen Skizze.
# [[Körperjagd]]: Finde vier Gegenstände aus dem Alltag und ordne sie Pyramide oder Kegel zu.
# [[Netzmodell]]: Zeichne ein Netz einer quadratischen Pyramide, schneide es aus und falte es.
# [[Video-Notizen]]: Sammle fünf wichtige Wörter und zwei Beispielrechnungen aus dem Video.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Pyramidenmodell]]: Wähle eigene Maße und berechne Volumen und Oberfläche einer quadratischen Pyramide.
# [[Kegelbecher]]: Miss Radius, Höhe und Mantellinie eines kegelförmigen Gegenstands und prüfe die Formeln.
# [[Erklärplakat]]: Erkläre mit Bildern den Unterschied zwischen Oberfläche und Volumen.
# [[Fehlerdetektiv]]: Erfinde eine falsche Rechnung, markiere den Fehler und schreibe die richtige Lösung daneben.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Skalierung]]: Untersuche, wie sich Volumen und Oberfläche ändern, wenn alle Längen verdoppelt werden.
# [[Optimierung]]: Wähle für zwei Kegel verschiedene Radien und dasselbe Volumen. Berechne die Höhen und vergleiche die Oberflächen.
# [[Experiment]]: Zeige mit Sand oder Wasser, warum ein Kegel ein Drittel des passenden Zylindervolumens hat.
# [[Lernvideo]]: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Skizze, Formel, Beispiel und Einheiten.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Turmdach]]: Ein Dach hat die Form einer quadratischen Pyramide. Erkläre, welche Maße für das Raumvolumen und welche zusätzlichen Maße für die Dachfläche gebraucht werden.
# [[Verpackungsvergleich]]: Entwirf eine pyramidenförmige und eine kegelförmige Verpackung mit demselben Volumen. Berechne und vergleiche den Materialbedarf.
# [[Formelumstellung]]: Stelle die Volumenformel einer Pyramide nach h und die Volumenformel eines Kegels nach r um. Erkläre jeden Schritt.
# [[Maßstabsänderung]]: Ein Modell wird im Maßstab 3 zu 1 vergrößert. Leite die Faktoren für Oberfläche und Volumen her.
# [[Plausibilitätsprüfung]]: Eine Person erhält für eine Oberfläche cm³. Erkläre den Fehler und verbessere die Einheit.
# [[Modellwahl]]: Entscheide bei einer Eistüte, einem Zeltdach und einem Sandhaufen, welches geometrische Modell sinnvoll ist und wo das Modell Grenzen hat.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du:
# die Teile von Pyramide und Kegel benennen,
# Volumen und Oberfläche sicher unterscheiden,
# die passenden Formeln auswählen und umstellen,
# den Satz des Pythagoras für Seitenhöhe oder Mantellinie nutzen,
# Einheiten richtig umrechnen und angeben,
# Rechenwege erklären und Ergebnisse prüfen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Pyramide_(Geometrie) </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kegel_(Geometrie) </iframe>

[https://www.planet-schule.de/schwerpunkt/geometrie/029-uebung-volumen-und-oberflaeche-von-pyramide-und-kegel-geometrie-aufgaben-kolleg24-mathematik-100.html Freie Übungen von Planet Schule]

<br>

{{BR}}
= Lernbereiche =

# [[Mathematik]]: Körper, Flächen, Formeln und Einheiten
# [[Geometrie]]: Pyramide, Kegel, Netze und räumliches Denken
# [[Algebra]]: Formeln einsetzen und umstellen
# [[Anwendungsaufgaben]]: Modelle aus Alltag, Technik und Architektur

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kegel]]'''
# [[Pyramide]]
# [[Kegel]]
# [[Grundfläche]]
# [[Mantelfläche]]
# [[Volumen]]
# [[Oberfläche]]
# [[Kreis]]
# [[Satz des Pythagoras]]
# [[Raumgeometrie]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Pyramide]]
[[Kategorie:Kegel]]
[[Kategorie:Klasse 8-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kegel - Versionsgeschichte

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