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2026-07-04T06:21:18Z

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= Einleitung =

'''Vielfache einer Zahl ermitteln''' ist eine Grundtechnik der [[Arithmetik]], die Dir beim [[Bruchrechnen]] besonders dann hilft, wenn Brüche unterschiedliche [[Nenner]] haben. Beim [[Addieren]] und [[Subtrahieren]] von [[Bruch|Brüchen]] brauchst Du meist einen gemeinsamen Nenner. Der günstigste gemeinsame Nenner ist oft der '''[[Hauptnenner]]'''. Er ist das '''[[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinste gemeinsame Vielfache]]''' der vorkommenden Nenner.

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du [[Vielfaches|Vielfache]] sicher bildest, gemeinsame Vielfache findest und daraus den [[Hauptnenner]] für die [[Bruchrechnung]] bestimmst. Du übst das Vorgehen an Beispielen, erkennst typische Fehler und wendest die Strategie auf Vergleiche, Additionen und Subtraktionen von Brüchen an.

[[Datei:Fraction Circles Shaded.png|500px|rahmenlos|center]]

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== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was ein '''Vielfaches''' einer Zahl ist. Du kannst Vielfache durch [[Multiplikation]] bilden, gemeinsame Vielfache zweier oder mehrerer Zahlen finden und das '''kleinste gemeinsame Vielfache''' als [[Hauptnenner]] nutzen. Außerdem kannst Du Brüche durch [[Erweitern]] auf gleiche Nenner bringen und dann vergleichen, addieren oder subtrahieren.

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== Vorwissen ==

Du solltest die [[Multiplikation]] im kleinen Einmaleins sicher beherrschen, wissen, was ein [[Bruch]] aus [[Zähler]] und [[Nenner]] bedeutet, und einfache Brüche erweitern können. Wenn Du diese Grundlagen noch unsicher findest, wiederhole zuerst [[Brüche erweitern]], [[Brüche kürzen]] und [[Teilbarkeit]].

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= Vielfache verstehen =

Ein '''Vielfaches''' einer natürlichen Zahl entsteht, wenn Du diese Zahl mit einer natürlichen Zahl multiplizierst. Die Vielfachen von 4 sind zum Beispiel 4, 8, 12, 16, 20, 24 und so weiter. Du rechnest also 4 · 1, 4 · 2, 4 · 3, 4 · 4 und so weiter.

Die Vielfachen von 6 lauten 6, 12, 18, 24, 30, 36 und so weiter. Du kannst sie Dir wie gleich große Sprünge auf einem [[Zahlenstrahl]] vorstellen. Bei der Zahl 6 springst Du immer 6 weiter. Bei der Zahl 8 springst Du immer 8 weiter.

[[Datei:Least common multiple.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Vielfache durch Zählen ermitteln ==

Die einfachste Methode ist das '''Weiterzählen in gleichen Schritten'''. Für kleine Zahlen ist das oft der schnellste Weg.

# [[Vielfache von 3]]: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24
# [[Vielfache von 5]]: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40
# [[Vielfache von 7]]: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56

Wenn Du die Vielfachen zweier Zahlen nebeneinander aufschreibst, kannst Du gemeinsame Vielfache erkennen. Bei 3 und 5 ist 15 ein gemeinsames Vielfaches, denn 15 kommt in beiden Reihen vor.

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== Vielfache durch Multiplikation ermitteln ==

Du kannst Vielfache auch gezielt mit einer Tabelle bilden. Für die Zahl 9 rechnest Du 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter. So entstehen 9, 18, 27, 36, 45, 54 und weitere Vielfache. Diese Methode hilft besonders, wenn Du nicht nur auswendig weiterzählst, sondern kontrollieren möchtest, ob ein Wert wirklich ein Vielfaches ist.

Ein Beispiel: Ist 42 ein Vielfaches von 7? Ja, denn 7 · 6 = 42. Ist 43 ein Vielfaches von 7? Nein, denn 43 lässt sich nicht ohne Rest durch 7 teilen.

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== Gemeinsame Vielfache ==

Ein '''gemeinsames Vielfaches''' gehört zu den Vielfachen von mindestens zwei Zahlen. Für die Zahlen 4 und 6 sieht das so aus:

# [[Vielfache von 4]]: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36
# [[Vielfache von 6]]: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42

Gemeinsame Vielfache sind 12, 24 und 36. Das '''kleinste''' gemeinsame Vielfache ist 12. Man schreibt: kgV(4, 6) = 12.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=tGDCF575v2o |500|center}}

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= Bedeutung für das Bruchrechnen =

Beim [[Bruchrechnen]] müssen Brüche mit unterschiedlichen Nennern häufig zuerst '''gleichnamig''' gemacht werden. Gleichnamige Brüche haben denselben Nenner. Erst dann kannst Du die Zähler direkt vergleichen, addieren oder subtrahieren.

Der [[Hauptnenner]] ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Er macht die Rechnung übersichtlich, weil die Zahlen meist kleiner bleiben als bei einem beliebigen gemeinsamen Nenner.

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== Beispiel: Brüche addieren ==

Berechne <math>\frac{1}{4}+\frac{1}{6}</math>.

Zuerst schaust Du auf die Nenner 4 und 6. Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12, 16 und so weiter. Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24 und so weiter. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 12. Deshalb ist 12 der [[Hauptnenner]].

Nun erweiterst Du beide Brüche auf den Nenner 12. Aus <math>\frac{1}{4}</math> wird <math>\frac{3}{12}</math>, weil 4 · 3 = 12. Aus <math>\frac{1}{6}</math> wird <math>\frac{2}{12}</math>, weil 6 · 2 = 12. Dann addierst Du die Zähler: <math>\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}</math>.

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== Beispiel: Brüche vergleichen ==

Vergleiche <math>\frac{2}{5}</math> und <math>\frac{3}{8}</math>.

Die Nenner sind 5 und 8. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 40. Daher erweiterst Du beide Brüche auf den Nenner 40. Aus <math>\frac{2}{5}</math> wird <math>\frac{16}{40}</math>. Aus <math>\frac{3}{8}</math> wird <math>\frac{15}{40}</math>. Weil 16 größer ist als 15, gilt: <math>\frac{2}{5}>\frac{3}{8}</math>.

[[Datei:Equal Fractions 123.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Beispiel: Mehrere Brüche addieren ==

Berechne <math>\frac{1}{6}+\frac{3}{8}+\frac{5}{12}</math>.

Die Nenner sind 6, 8 und 12. Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24. Die Vielfachen von 8 sind 8, 16, 24. Die Vielfachen von 12 sind 12, 24. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 24. Also ist 24 der Hauptnenner.

Jetzt erweiterst Du: <math>\frac{1}{6}=\frac{4}{24}</math>, <math>\frac{3}{8}=\frac{9}{24}</math> und <math>\frac{5}{12}=\frac{10}{24}</math>. Dann addierst Du: <math>\frac{4}{24}+\frac{9}{24}+\frac{10}{24}=\frac{23}{24}</math>.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=xLYnWaNNHOc |500|center}}

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= Schritt-für-Schritt-Methode =

Mit der folgenden Methode kannst Du viele Aufgaben sicher lösen:

# [[Nenner erkennen]]: Markiere zuerst die Nenner der Brüche.
# [[Vielfache bilden]]: Schreibe Vielfache der Nenner auf.
# [[Gemeinsames Vielfaches finden]]: Suche die erste Zahl, die in allen Vielfachenreihen vorkommt.
# [[Hauptnenner bestimmen]]: Nutze das kleinste gemeinsame Vielfache als Hauptnenner.
# [[Erweiterungsfaktor berechnen]]: Teile den Hauptnenner durch den ursprünglichen Nenner.
# [[Bruch erweitern]]: Multipliziere Zähler und Nenner mit demselben Erweiterungsfaktor.
# [[Rechnen mit Brüchen]]: Addiere, subtrahiere oder vergleiche nun die Zähler.

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== Warum der Zähler mit verändert werden muss ==

Wenn Du einen Bruch auf einen neuen Nenner bringst, darfst Du nicht nur den Nenner ändern. Du musst Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Nur dann bleibt der Wert des Bruchs gleich.

Beispiel: <math>\frac{1}{3}</math> soll den Nenner 12 erhalten. Der Nenner 3 wird mit 4 multipliziert. Deshalb muss auch der Zähler 1 mit 4 multipliziert werden. Es entsteht <math>\frac{4}{12}</math>. Beide Brüche beschreiben dieselbe Bruchzahl.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=GFTAoBJPxbs |500|center}}

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= Strategien zum Finden des Hauptnenners =

Für kleine Nenner reicht oft die '''Vielfachenliste'''. Bei 6 und 9 notierst Du 6, 12, 18 und 9, 18. Schon erkennst Du: Der Hauptnenner ist 18.

Wenn ein Nenner bereits ein Vielfaches des anderen Nenners ist, ist die größere Zahl oft direkt der Hauptnenner. Bei den Nennern 5 und 10 ist 10 der Hauptnenner, weil 10 ein Vielfaches von 5 und von 10 ist.

Bei größeren Zahlen hilft die [[Primfaktorzerlegung]]. Dabei zerlegst Du die Nenner in [[Primzahl|Primzahlen]] und nimmst jeden Primfaktor in der höchsten benötigten Anzahl. Für den Einstieg in die Bruchrechnung ist aber die Vielfachenliste meistens anschaulicher.

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== Unterschied zwischen gemeinsamen Nenner und Hauptnenner ==

Ein '''gemeinsamer Nenner''' muss nur ein gemeinsames Vielfaches der Nenner sein. Ein '''Hauptnenner''' ist das kleinste gemeinsame Vielfache. Beim Rechnen mit <math>\frac{1}{4}+\frac{1}{6}</math> wäre 24 ebenfalls ein gemeinsamer Nenner. Der Hauptnenner ist aber 12. Beide Wege können zum richtigen Ergebnis führen, doch der Hauptnenner macht die Rechnung meist kürzer.

[[Datei:Fraction addition example.svg|500px|rahmenlos|center]]

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= Typische Fehler und wie Du sie vermeidest =

Ein häufiger Fehler ist, die Nenner beim Addieren einfach mitzuzählen. Das ist falsch. Bei gleichnamigen Brüchen werden nur die Zähler addiert, der Nenner bleibt gleich. Aus <math>\frac{2}{7}+\frac{3}{7}</math> wird <math>\frac{5}{7}</math>, nicht <math>\frac{5}{14}</math>.

Ein weiterer Fehler ist, beim Erweitern nur den Nenner zu verändern. Wenn Du aus <math>\frac{2}{3}</math> fälschlich <math>\frac{2}{12}</math> machst, ist der Wert kleiner geworden. Richtig ist <math>\frac{2}{3}=\frac{8}{12}</math>, weil Zähler und Nenner mit 4 multipliziert werden.

Außerdem ist nicht immer das Produkt der Nenner der beste Hauptnenner. Bei den Nennern 6 und 8 ist das Produkt 48, der Hauptnenner aber 24. Mit 24 rechnest Du einfacher.

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= Übungsbeispiele mit Lösungen =

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== Aufgabe 1: Hauptnenner finden ==

Finde den Hauptnenner von <math>\frac{2}{3}</math> und <math>\frac{5}{4}</math>. Die Nenner sind 3 und 4. Vielfache von 3 sind 3, 6, 9, 12. Vielfache von 4 sind 4, 8, 12. Der Hauptnenner ist 12.

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== Aufgabe 2: Brüche gleichnamig machen ==

Mache <math>\frac{3}{5}</math> und <math>\frac{1}{2}</math> gleichnamig. Die Nenner 5 und 2 haben das kleinste gemeinsame Vielfache 10. Also gilt: <math>\frac{3}{5}=\frac{6}{10}</math> und <math>\frac{1}{2}=\frac{5}{10}</math>.

{{BR}}
== Aufgabe 3: Brüche subtrahieren ==

Berechne <math>\frac{7}{9}-\frac{1}{6}</math>. Die Nenner 9 und 6 haben das kleinste gemeinsame Vielfache 18. Es gilt <math>\frac{7}{9}=\frac{14}{18}</math> und <math>\frac{1}{6}=\frac{3}{18}</math>. Also ist <math>\frac{14}{18}-\frac{3}{18}=\frac{11}{18}</math>.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist ein Vielfaches von 6?'''
(24)
(!25)
(!31)
(!14)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6?'''
(12)
(!10)
(!16)
(!24)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum braucht man beim Addieren ungleichnamiger Brüche oft ein gemeinsames Vielfaches der Nenner?'''
(Damit die Brüche gleichnamig werden)
(!Damit die Zähler kleiner werden)
(!Damit die Nenner addiert werden können)
(!Damit der Bruch immer größer wird)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der Hauptnenner von den Nennern 5 und 10?'''
(10)
(!5)
(!15)
(!50)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zum Erweitern eines Bruchs ist richtig?'''
(Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert)
(!Nur der Nenner wird multipliziert)
(!Nur der Zähler wird multipliziert)
(!Zähler und Nenner werden addiert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der Hauptnenner von 3 und 8?'''
(24)
(!11)
(!18)
(!32)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Vielfachenreihe gehört zur Zahl 7?'''
(7, 14, 21, 28)
(!7, 12, 17, 22)
(!7, 15, 23, 31)
(!7, 10, 13, 16)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Rechnung macht den Bruch 1/4 gleichnamig mit dem Nenner 12?'''
(1/4 wird zu 3/12)
(!1/4 wird zu 1/12)
(!1/4 wird zu 4/12)
(!1/4 wird zu 12/4)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist das Ergebnis von 1/4 plus 1/6?'''
(5/12)
(!2/10)
(!1/24)
(!7/12)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei gleichnamigen Brüchen beim Addieren richtig?'''
(Die Zähler werden addiert und der Nenner bleibt gleich)
(!Die Nenner werden addiert und der Zähler bleibt gleich)
(!Zähler und Nenner werden vertauscht)
(!Alle Zahlen werden miteinander multipliziert)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Vielfaches || Ergebnis einer Multiplikation mit einer ganzen Zahl
|-
| Hauptnenner || kleinstes gemeinsames Vielfaches der Nenner
|-
| Erweitern || Zähler und Nenner gleich multiplizieren
|-
| Gleichnamig || Brüche besitzen denselben Nenner
|-
| Nenner || Zahl unter dem Bruchstrich
|-
| Zähler || Zahl über dem Bruchstrich
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Nenner betrachten'''
| Ausgangspunkt beim Bruchrechnen
|-
| '''Vielfache aufschreiben'''
| Suche nach gemeinsamen Zahlen
|-
| '''Hauptnenner wählen'''
| kleinstes gemeinsames Vielfaches
|-
| '''Erweiterungsfaktor bestimmen'''
| Hauptnenner durch alten Nenner teilen
|-
| '''Zähler anpassen'''
| Wert des Bruchs erhalten

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Vielfaches || Wie nennt man das Ergebnis, wenn eine Zahl mit einer natürlichen Zahl multipliziert wird?
|-
| Nenner || Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
|-
| Zaehler || Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich?
|-
| Hauptnenner || Wie nennt man das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner?
|-
| Erweitern || Wie nennt man das gleichzeitige Multiplizieren von Zähler und Nenner?
|-
| Addieren || Wie heißt die Rechenart des Zusammenzählens?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Vielfache+einer+Zahl+ermitteln+Bruchrechnen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein Vielfaches entsteht durch eine { Multiplikation }. Beim Bruchrechnen betrachtet man zuerst die { Nenner }. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner heißt { Hauptnenner }. Durch den Hauptnenner werden Brüche { gleichnamig }. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl { multipliziert }. Gleichnamige Brüche kann man addieren, indem man die { Zähler } addiert. Der Nenner bleibt beim Addieren gleichnamiger Brüche { gleich }. Nach dem Rechnen prüft man oft, ob man den Bruch noch { kürzen } kann.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Vielfachenliste]]: Schreibe die ersten zehn Vielfachen von 3, 4, 5 und 6 auf und markiere gemeinsame Vielfache farbig.
# [[Zahlenstrahl]]: Zeichne einen Zahlenstrahl bis 40 und trage Sprünge der Zahlen 4 und 8 ein. Beschreibe, wo die Sprünge zusammentreffen.
# [[Bruchkarten]]: Erstelle Karten mit Brüchen wie 1/2, 1/3, 1/4 und 1/6. Notiere zu jeder Karte passende Erweiterungen.
# [[Fehlersuche]]: Erfinde drei falsche Rechnungen zu ungleichnamigen Brüchen und erkläre jeweils, wie man sie korrigiert.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Hauptnenner-Tabelle]]: Erstelle eine Tabelle mit Nennerpaaren wie 3 und 4, 4 und 6, 6 und 9, 8 und 12. Bestimme jeweils den Hauptnenner.
# [[Brüche vergleichen]]: Vergleiche fünf selbst gewählte Bruchpaare, indem Du sie auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringst.
# [[Alltagsaufgabe]]: Formuliere eine Sachaufgabe, in der zwei Personen unterschiedlich große Bruchteile einer Pizza oder eines Kuchens bekommen. Löse sie mit einem Hauptnenner.
# [[Erklärvideo]]: Plane ein kurzes Erklärvideo, in dem Du zeigst, wie man den Hauptnenner von 6 und 8 findet.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Strategievergleich]]: Vergleiche die Vielfachenliste und die Primfaktorzerlegung als Wege zum Hauptnenner. Erkläre, wann welche Methode sinnvoller ist.
# [[Mehrere Nenner]]: Löse fünf Aufgaben mit drei Brüchen und drei unterschiedlichen Nennern. Beschreibe jeden Rechenschritt.
# [[Mathe-Plakat]]: Gestalte ein Lernplakat zum Thema Hauptnenner mit Definition, Beispiel, Warnhinweisen und Übungsaufgabe.
# [[Interview]]: Befrage Mitschülerinnen oder Mitschüler, welche Fehler ihnen beim Bruchrechnen passieren. Werte die Antworten aus und gib Lerntipps.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Fehleranalyse]]: Eine Person rechnet 1/3 + 1/6 = 2/9. Erkläre genau, warum das falsch ist, und löse die Aufgabe richtig.
# [[Methodenwahl]]: Entscheide bei den Nennern 6, 8 und 12, ob Du eine Vielfachenliste oder eine Primfaktorzerlegung nutzen würdest. Begründe Deine Entscheidung.
# [[Transferaufgabe]]: Erfinde eine Alltagssituation, in der man Bruchteile mit unterschiedlichen Nennern vergleichen muss. Löse Deine eigene Aufgabe.
# [[Begründung]]: Erkläre, warum der Hauptnenner nicht immer das Produkt der Nenner ist. Nutze ein selbst gewähltes Beispiel.
# [[Darstellung wechseln]]: Zeige die Aufgabe 2/5 + 1/10 einmal rechnerisch und einmal mit einer Zeichnung. Vergleiche beide Darstellungen.
# [[Rechenweg prüfen]]: Zwei Lernende erhalten verschiedene gemeinsame Nenner, aber dasselbe Endergebnis. Prüfe, ob beide Wege mathematisch richtig sein können.

<br>
<br>
{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du Vielfache sicher bilden kannst, gemeinsame Vielfache erkennst und das kleinste gemeinsame Vielfache als Hauptnenner bestimmst. Du solltest Brüche korrekt erweitern, gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren sowie Brüche mit unterschiedlichen Nennern vergleichen können. Besonders wichtig ist, dass Du Deinen Rechenweg begründest und typische Fehler erklären kannst. Ein guter Lernnachweis enthält mindestens eine Rechnung mit zwei Brüchen, eine Rechnung mit drei Brüchen, eine Vergleichsaufgabe, eine Fehleranalyse und eine kurze Erklärung in eigenen Worten.

<br>
<br>
{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Bruchrechnung </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kleinstes_gemeinsames_Vielfaches </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hauptnenner </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Vielfache einer Zahl ermitteln]]'''
# [[Vielfaches]]
# [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches]]
# [[Hauptnenner]]
# [[Bruchrechnung]]
# [[Brüche erweitern]]
# [[Brüche kürzen]]
# [[Brüche addieren]]
# [[Brüche subtrahieren]]
# [[Brüche vergleichen]]
# [[Primfaktorzerlegung]]
# [[Teilbarkeit]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Bruchrechnung]]
[[Kategorie:Arithmetik]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]
[[Kategorie:Klasse 5-6]]
[[Kategorie:Klasse 7-8]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Vielfache einer Zahl ermitteln - Bruchrechnen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt