Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:41:56Z

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{{T}}
{{BR}}
= Urnenmodelle und Baumdiagramm =

'''Fach:''' [[Mathematik]] | '''Klasse:''' 8–12 | '''Lernbereich:''' [[Stochastik]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=J8UEX5X7qQo |500|center}}

{{BR}}
= Einleitung =

Ein [[Urnenmodell]] beschreibt einen [[Zufallsexperiment|Zufallsversuch]] mit Kugeln. Ein [[Baumdiagramm]] zeigt alle möglichen Wege. Du lernst, wie sich Ziehen '''mit Zurücklegen''' und '''ohne Zurücklegen''' unterscheiden und wie Du Wahrscheinlichkeiten berechnest.

[[Datei:Urn problem qtl8.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernziele ==

Du kannst ein Baumdiagramm zeichnen, Astwahrscheinlichkeiten eintragen und die beiden [[Pfadregel|Pfadregeln]] anwenden.

{{BR}}
= Grundwissen =

{{BR}}
== Mit Zurücklegen ==

Die gezogene Kugel kommt zurück in die Urne. Deshalb bleibt die Zusammensetzung gleich. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben bei jedem Zug gleich.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=9hKlMQUmips |500|center}}

{{BR}}
== Ohne Zurücklegen ==

Die gezogene Kugel bleibt draußen. Die Anzahl der Kugeln wird kleiner. Deshalb ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim nächsten Zug.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=v5IhVQ7bYA4 |500|center}}

[[Datei:Urn problem qtl6.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Baumdiagramm und Pfadregeln ==

Jeder Ast steht für ein mögliches Ergebnis. An jedem Knoten müssen sich die Astwahrscheinlichkeiten zu 1 addieren.

# [[Erste Pfadregel]]: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades.
# [[Zweite Pfadregel]]: Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller passenden Pfade.

[[Datei:Probability tree diagram.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Beispiel:''' In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Beim Ziehen mit Zurücklegen gilt für zweimal Rot: 3/5 · 3/5 = 9/25. Ohne Zurücklegen gilt: 3/5 · 2/4 = 3/10.

[[Datei:Probability tree urn problem.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Aufgaben zum Video =

Sieh das Video aufmerksam an. Stoppe es bei wichtigen Stellen.

# [[Videoauftrag – Grundidee]]: Erkläre in einem Satz, wozu ein Urnenmodell dient.
# [[Videoauftrag – Baum]]: Zeichne eines der Baumdiagramme aus dem Video ab.
# [[Videoauftrag – Äste]]: Notiere, was die erste und die zweite Stufe des Baumes bedeuten.
# [[Videoauftrag – Wahrscheinlichkeiten]]: Übernimm eine Rechnung aus dem Video und erkläre jeden Faktor.
# [[Videoauftrag – Vergleich]]: Beschreibe den Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen.
# [[Videoauftrag – Merksatz]]: Formuliere einen eigenen Merksatz zu den Pfadregeln.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wozu dient ein Urnenmodell?'''
(Zur Darstellung eines Zufallsversuchs)
(!Zur Messung einer Strecke)
(!Zur Lösung einer Gleichung)
(!Zur Darstellung einer Funktion)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was passiert beim Ziehen mit Zurücklegen?'''
(Die gezogene Kugel kommt zurück)
(!Die gezogene Kugel wird entfernt)
(!Alle Kugeln werden ausgetauscht)
(!Die Urne wird geleert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was passiert beim Ziehen ohne Zurücklegen?'''
(Die Zusammensetzung der Urne ändert sich)
(!Die Zusammensetzung bleibt immer gleich)
(!Jede Wahrscheinlichkeit wird null)
(!Alle Ergebnisse werden gleich)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was stellt ein Ast im Baumdiagramm dar?'''
(Ein mögliches Ergebnis)
(!Eine fertige Tabelle)
(!Eine geometrische Figur)
(!Eine Maßeinheit)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was fordert die erste Pfadregel?'''
(Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren)
(!Alle Wahrscheinlichkeiten subtrahieren)
(!Nur den ersten Ast betrachten)
(!Die Anzahl der Kugeln quadrieren)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was fordert die zweite Pfadregel?'''
(Wahrscheinlichkeiten passender Pfade addieren)
(!Alle Äste multiplizieren)
(!Nur Gegenereignisse zählen)
(!Die Urne zweimal leeren)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist bei 3 roten und 2 blauen Kugeln die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot mit Zurücklegen?'''
(9/25)
(!3/10)
(!6/25)
(!2/5)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist bei 3 roten und 2 blauen Kugeln die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot ohne Zurücklegen?'''
(3/10)
(!9/25)
(!1/5)
(!4/5)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Summe haben die Astwahrscheinlichkeiten an einem Knoten?'''
(1)
(!0)
(!2)
(!10)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Darstellung eignet sich für einen mehrstufigen Zufallsversuch?'''
(Ein Baumdiagramm)
(!Ein Zahlenstrahl)
(!Ein Kreisdiagramm ohne Angaben)
(!Eine Wertetabelle für Funktionen)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Urnenmodell || Modell für einen Zufallsversuch
|-
| Baumdiagramm || Darstellung eines mehrstufigen Versuchs
|-
| Mit Zurücklegen || Zusammensetzung bleibt gleich
|-
| Ohne Zurücklegen || Zusammensetzung ändert sich
|-
| Erste Pfadregel || Wahrscheinlichkeiten auf einem Pfad multiplizieren
|-
| Zweite Pfadregel || Passende Pfade addieren
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Mit Zurücklegen'''
| Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich
|-
| '''Ohne Zurücklegen'''
| Wahrscheinlichkeiten können sich ändern
|-
| '''Ast'''
| Einzelner möglicher Ausgang
|-
| '''Pfad'''
| Folge mehrerer Ergebnisse
|-
| '''Endknoten'''
| Vollständiges Ergebnis des Versuchs

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Urnenmodell || Wie heißt das Gedankenmodell mit Kugeln in einem Gefäß?
|-
| Baumdiagramm || Welche Darstellung zeigt die möglichen Wege eines mehrstufigen Versuchs?
|-
| Pfadregel || Wie heißt eine Rechenregel für Wege im Baum?
|-
| Ergebnis || Wie heißt ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuchs?
|-
| Kugel || Was wird im klassischen Urnenmodell gezogen?
|-
| Ereignis || Wie heißt eine Menge von Ergebnissen?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Urnenmodelle+und+Baumdiagramm </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein { Urnenmodell } beschreibt einen Zufallsversuch mit Kugeln. Beim Ziehen mit { Zurücklegen } kommt die Kugel wieder in die Urne. Dann bleiben die Wahrscheinlichkeiten { gleich }. Beim Ziehen ohne Zurücklegen { ändert } sich die Zusammensetzung der Urne. Entlang eines Pfades werden Wahrscheinlichkeiten { multipliziert }. Wahrscheinlichkeiten passender Pfade werden { addiert }. An jedem Knoten ist die Summe der Astwahrscheinlichkeiten { eins }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Urne bauen]]: Fülle einen Beutel mit drei roten und zwei blauen Gegenständen. Ziehe zehnmal mit Zurücklegen und notiere die Ergebnisse.
# [[Baum skizzieren]]: Zeichne ein Baumdiagramm für zwei Münzwürfe.
# [[Begriffe erklären]]: Erkläre Ast, Pfad und Endknoten in eigenen Worten.
# [[Bild beschreiben]]: Wähle eine Abbildung aus dem Kurs und beschreibe, was sie zeigt.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Modelle vergleichen]]: Zeichne für dieselbe Urne je einen Baum mit und ohne Zurücklegen.
# [[Experiment prüfen]]: Führe 30 Ziehungen durch und vergleiche relative Häufigkeit und theoretische Wahrscheinlichkeit.
# [[Fehler finden]]: Erstelle absichtlich ein fehlerhaftes Baumdiagramm und lasse eine Partnerin oder einen Partner den Fehler erklären.
# [[Erklärvideo planen]]: Schreibe ein kurzes Drehbuch zu den beiden Pfadregeln.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Faires Spiel entwickeln]]: Erfinde ein Urnenspiel und passe die Gewinne so an, dass das Spiel möglichst fair ist.
# [[Alltag modellieren]]: Übertrage eine reale Situation auf ein Urnenmodell und begründe Deine Entscheidungen.
# [[Simulation erstellen]]: Simuliere mindestens 1000 Ziehungen mit einer Tabellenkalkulation oder einem Programm.
# [[Modellkritik]]: Erkläre, welche Annahmen des Urnenmodells in einem echten Experiment verletzt werden könnten.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellwahl begründen]]: Entscheide bei einer Qualitätskontrolle, ob ein Modell mit oder ohne Zurücklegen passt. Begründe Deine Wahl.
# [[Baumdiagramm korrigieren]]: In einem Baum ändern sich die Wahrscheinlichkeiten trotz Zurücklegens. Erkläre den Fehler und verbessere den Baum.
# [[Spiel bewerten]]: Untersuche ein Urnenspiel mit Gewinnen und Verlusten. Entscheide, ob es fair ist.
# [[Ergebnisse deuten]]: Ein Experiment liefert nach 20 Ziehungen eine stark abweichende relative Häufigkeit. Erkläre, warum das möglich ist.
# [[Transferaufgabe]]: Entwickle zu einer Ziehung aus einer Kartenbox ein passendes Urnenmodell und berechne ein selbst gewähltes Ereignis.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für den Lernnachweis sollst Du:
# ein korrektes Baumdiagramm erstellen,
# mit und ohne Zurücklegen unterscheiden,
# beide Pfadregeln sicher anwenden,
# Ergebnisse verständlich erklären,
# ein Urnenmodell auf eine neue Situation übertragen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Urnenmodell </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Urnenmodelle und Baumdiagramm]]'''
# [[Urnenmodell]]
# [[Baumdiagramm]]
# [[Zufallsexperiment]]
# [[Wahrscheinlichkeit]]
# [[Pfadregel]]
# [[Ziehen mit Zurücklegen]]
# [[Ziehen ohne Zurücklegen]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Klasse 8-12]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Urnenmodelle und Baumdiagramm - Versionsgeschichte

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