Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-06-13T17:36:36Z

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= Einleitung =

'''Ungleichungen lösen und darstellen''' ist ein zentrales Thema der [[Mathematik]] in [[Klasse 7-8]]. Du lernst, wie man Aussagen wie <math>x>3</math>, <math>x\leq -2</math> oder <math>2x-5\geq 9</math> versteht, umformt, löst und auf der [[Zahlengerade]] darstellt. Eine [[Ungleichung]] beschreibt keinen exakten Gleichstand wie eine [[Gleichung]], sondern einen Größenvergleich. Sie beantwortet Fragen wie: Welche Zahlen sind größer als eine bestimmte Zahl? Welche Werte erfüllen eine Bedingung? Ab wann ist ein Preis günstiger, ein Abstand zu groß oder ein Ergebnis mindestens ausreichend?

In diesem aiMOOC arbeitest Du mit der [[MediaWiki-Extension Math]]. Mathematische Ausdrücke werden deshalb in der Form <code><nowiki><math>...</math></nowiki></code> geschrieben. Beispiele sind <math>x<5</math>, <math>3x+2\geq 11</math> oder <math>L=\{x\in\mathbb{Q}\mid x\leq 4\}</math>. Die Darstellung mit der Math-Extension hilft Dir, mathematische Schreibweisen sauber zu lesen und selbst korrekt zu formulieren.

[[Datei:Number-line.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=HP5LSJPBxus |500|center}}

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= Was ist eine Ungleichung? =

Eine [[Ungleichung]] ist eine mathematische Aussage oder Aussageform, bei der zwei [[Term|Terme]] durch ein [[Vergleichszeichen]] verbunden sind. Während eine [[Gleichung]] zwei Terme mit dem Gleichheitszeichen verbindet, verwendet eine Ungleichung Zeichen wie <math><</math>, <math>\leq</math>, <math>></math> oder <math>\geq</math>.

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== Die wichtigsten Vergleichszeichen ==

# [[Kleinerzeichen]]: <math>x<5</math> bedeutet: <math>x</math> ist kleiner als <math>5</math>.
# [[Kleinergleichzeichen]]: <math>x\leq 5</math> bedeutet: <math>x</math> ist kleiner als <math>5</math> oder gleich <math>5</math>.
# [[Größerzeichen]]: <math>x>5</math> bedeutet: <math>x</math> ist größer als <math>5</math>.
# [[Größergleichzeichen]]: <math>x\geq 5</math> bedeutet: <math>x</math> ist größer als <math>5</math> oder gleich <math>5</math>.
# [[Ungleichheitszeichen]]: <math>x\neq 5</math> bedeutet: <math>x</math> ist nicht gleich <math>5</math>.

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== Aussage, Aussageform und Lösungsmenge ==

Eine Ungleichung kann eine wahre oder falsche [[Aussage]] sein. Beispiel: <math>3<8</math> ist wahr, <math>9<4</math> ist falsch. Enthält die Ungleichung eine [[Variable]], spricht man von einer [[Aussageform]]. Beispiel: <math>x+2<7</math>. Je nachdem, welche Zahl Du für <math>x</math> einsetzt, ist die Aussage wahr oder falsch. Die Menge aller Zahlen, die eine Ungleichung wahr machen, heißt [[Lösungsmenge]].

Beispiel:
<math>x+2<7</math>

Ziehe auf beiden Seiten <math>2</math> ab:
<math>x+2-2<7-2</math>

Damit erhältst Du:
<math>x<5</math>

Die [[Lösungsmenge]] ist also:
<math>L=\{x\mid x<5\}</math>

Wenn der [[Grundbereich]] die [[ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] sind, dann gehören zum Beispiel <math>4</math>, <math>0</math>, <math>-3</math> und <math>-100</math> zur Lösungsmenge. Wenn der Grundbereich die [[rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] oder [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] sind, gehören auch Zahlen wie <math>4{,}5</math>, <math>-2{,}1</math> oder <math>\frac{1}{3}</math> dazu.

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= Ungleichungen an der Zahlengerade darstellen =

Die [[Zahlengerade]] hilft Dir, Ungleichungen sichtbar zu machen. Besonders wichtig ist dabei, ob der Randwert zur Lösungsmenge gehört oder nicht.

[[Datei:Number line with x smaller than y.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

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== Offener und geschlossener Punkt ==

Bei einer Darstellung auf der Zahlengerade unterscheidet man:

# [[Offener Punkt]]: Der Randwert gehört '''nicht''' zur Lösungsmenge. Das gilt bei <math><</math> und <math>></math>. Beispiel: Bei <math>x<3</math> ist <math>3</math> selbst keine Lösung.
# [[Geschlossener Punkt]]: Der Randwert gehört '''zur''' Lösungsmenge. Das gilt bei <math>\leq</math> und <math>\geq</math>. Beispiel: Bei <math>x\leq 3</math> ist <math>3</math> selbst eine Lösung.
# [[Pfeilrichtung]]: Der Pfeil zeigt, in welche Richtung die Lösungsmenge weitergeht. Bei <math>x>3</math> zeigt der Pfeil nach rechts, bei <math>x<3</math> nach links.

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== Beispiele zur Darstellung ==

<math>x<2</math> bedeutet: Alle Zahlen links von <math>2</math> sind Lösungen. Der Punkt bei <math>2</math> ist offen.

<math>x\leq 2</math> bedeutet: Alle Zahlen links von <math>2</math> und die Zahl <math>2</math> selbst sind Lösungen. Der Punkt bei <math>2</math> ist geschlossen.

<math>x> -1</math> bedeutet: Alle Zahlen rechts von <math>-1</math> sind Lösungen. Der Punkt bei <math>-1</math> ist offen.

<math>x\geq -1</math> bedeutet: Alle Zahlen rechts von <math>-1</math> und die Zahl <math>-1</math> selbst sind Lösungen. Der Punkt bei <math>-1</math> ist geschlossen.

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= Ungleichungen lösen =

Beim [[Lösen von Ungleichungen]] formst Du die Ungleichung so um, dass die [[Variable]] allein auf einer Seite steht. Das Ziel ist eine einfache Aussage wie <math>x<4</math>, <math>x\geq -2</math> oder <math>x\leq \frac{3}{2}</math>.

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== Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen ==

Viele Regeln kennst Du bereits vom [[Gleichungen lösen|Lösen von Gleichungen]]. Du darfst auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren. Du darfst beide Seiten mit derselben positiven Zahl multiplizieren oder durch dieselbe positive Zahl dividieren. Wichtig ist aber eine besondere Regel: Wenn Du beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, dann dreht sich das Vergleichszeichen um.

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== Grundregeln mit Beispielen ==

# [[Addition]]: Aus <math>x-4<6</math> wird durch Addition von <math>4</math> die Ungleichung <math>x<10</math>.
# [[Subtraktion]]: Aus <math>x+7\geq 3</math> wird durch Subtraktion von <math>7</math> die Ungleichung <math>x\geq -4</math>.
# [[Multiplikation]] mit positiver Zahl: Aus <math>\frac{x}{3}>2</math> wird durch Multiplikation mit <math>3</math> die Ungleichung <math>x>6</math>.
# [[Division]] durch positive Zahl: Aus <math>5x\leq 20</math> wird durch Division durch <math>5</math> die Ungleichung <math>x\leq 4</math>.
# [[Multiplikation]] mit negativer Zahl: Aus <math>-x<5</math> wird durch Multiplikation mit <math>-1</math> die Ungleichung <math>x>-5</math>.
# [[Division]] durch negative Zahl: Aus <math>-2x\geq 8</math> wird durch Division durch <math>-2</math> die Ungleichung <math>x\leq -4</math>.

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== Die Umkehrregel ==

Die wichtigste Sonderregel beim Lösen von Ungleichungen lautet:

'''Multiplizierst oder dividierst Du beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl, kehrt sich das Vergleichszeichen um.'''

Beispiele:
<math>-3x<12</math>

Teile durch <math>-3</math>. Weil <math>-3</math> negativ ist, wird aus <math><</math> ein <math>></math>:
<math>x>-4</math>

Noch ein Beispiel:
<math>-5x\geq 20</math>

Teile durch <math>-5</math>. Weil <math>-5</math> negativ ist, wird aus <math>\geq</math> ein <math>\leq</math>:
<math>x\leq -4</math>

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== Warum dreht sich das Zeichen um? ==

Die Umkehrregel ist logisch, wenn Du einfache Zahlen betrachtest. Die wahre Aussage <math>2<5</math> bleibt wahr, wenn Du auf beiden Seiten <math>3</math> addierst: <math>5<8</math>. Multiplizierst Du aber beide Seiten mit <math>-1</math>, erhältst Du <math>-2</math> und <math>-5</math>. Auf der Zahlengerade liegt <math>-2</math> rechts von <math>-5</math>. Deshalb ist nicht <math>-2<-5</math> wahr, sondern <math>-2>-5</math>. Das Zeichen muss sich also umdrehen.

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= Schritt-für-Schritt-Methode =

Eine lineare Ungleichung kannst Du meist mit einem festen Verfahren lösen. Dieses Verfahren hilft Dir, Fehler zu vermeiden.

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== Vorgehen beim Lösen ==

# [[Klammer auflösen]]: Falls Klammern vorkommen, löse sie mit dem [[Distributivgesetz]] auf.
# [[Terme zusammenfassen]]: Fasse gleichartige Terme auf jeder Seite zusammen.
# [[Variable sammeln]]: Bringe alle Terme mit der Variable auf eine Seite.
# [[Zahlen sammeln]]: Bringe alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite.
# [[Koeffizient]] entfernen: Dividiere oder multipliziere so, dass die Variable allein steht.
# [[Vergleichszeichen]] prüfen: Achte besonders darauf, ob Du durch eine negative Zahl geteilt oder mit einer negativen Zahl multipliziert hast.
# [[Lösungsmenge]] notieren: Schreibe das Ergebnis als Ungleichung, Lösungsmenge oder Darstellung auf der Zahlengerade.
# [[Probe]] durchführen: Setze eine Zahl aus der Lösungsmenge und eine Zahl außerhalb der Lösungsmenge ein.

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== Beispiel 1: Einfache lineare Ungleichung ==

Löse:
<math>3x+4<16</math>

Subtrahiere <math>4</math>:
<math>3x<12</math>

Dividiere durch <math>3</math>:
<math>x<4</math>

Lösungsmenge:
<math>L=\{x\mid x<4\}</math>

Darstellung: offener Punkt bei <math>4</math>, Pfeil nach links.

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== Beispiel 2: Variable auf beiden Seiten ==

Löse:
<math>5x-3\geq 2x+9</math>

Subtrahiere <math>2x</math>:
<math>3x-3\geq 9</math>

Addiere <math>3</math>:
<math>3x\geq 12</math>

Dividiere durch <math>3</math>:
<math>x\geq 4</math>

Lösungsmenge:
<math>L=\{x\mid x\geq 4\}</math>

Darstellung: geschlossener Punkt bei <math>4</math>, Pfeil nach rechts.

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== Beispiel 3: Division durch eine negative Zahl ==

Löse:
<math>-4x+7<19</math>

Subtrahiere <math>7</math>:
<math>-4x<12</math>

Dividiere durch <math>-4</math>. Das Zeichen dreht sich um:
<math>x>-3</math>

Lösungsmenge:
<math>L=\{x\mid x>-3\}</math>

Darstellung: offener Punkt bei <math>-3</math>, Pfeil nach rechts.

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== Beispiel 4: Ungleichung mit Klammern ==

Löse:
<math>2(x-3)\leq x+5</math>

Klammer auflösen:
<math>2x-6\leq x+5</math>

Subtrahiere <math>x</math>:
<math>x-6\leq 5</math>

Addiere <math>6</math>:
<math>x\leq 11</math>

Lösungsmenge:
<math>L=\{x\mid x\leq 11\}</math>

Darstellung: geschlossener Punkt bei <math>11</math>, Pfeil nach links.

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= Lösungsmenge und Grundbereich =

Die [[Lösungsmenge]] hängt davon ab, welche Zahlen Du erlaubst. Dieser erlaubte Zahlenbereich heißt [[Grundbereich]] oder [[Definitionsbereich]]. In Klasse 7-8 arbeitest Du häufig mit [[ganze Zahlen|ganzen Zahlen]], [[rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] oder [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]].

Beispiel:
<math>x<3</math>

Wenn <math>x\in\mathbb{Z}</math> gilt, sind mögliche Lösungen:
<math>\ldots,-2,-1,0,1,2</math>

Wenn <math>x\in\mathbb{Q}</math> gilt, sind auch Brüche und Dezimalzahlen wie <math>2{,}5</math>, <math>\frac{7}{3}</math> oder <math>-1{,}25</math> erlaubt.

Wenn <math>x\in\mathbb{R}</math> gilt, gehören alle reellen Zahlen kleiner als <math>3</math> zur Lösungsmenge.

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= Darstellung als Intervall =

In höheren Klassen wird eine Lösungsmenge oft als [[Intervall]] geschrieben. Auch in Klasse 7-8 kann diese Schreibweise hilfreich sein.

# <math>x<3</math> entspricht <math>L=(-\infty,3)</math>.
# <math>x\leq 3</math> entspricht <math>L=(-\infty,3]</math>.
# <math>x>3</math> entspricht <math>L=(3,\infty)</math>.
# <math>x\geq 3</math> entspricht <math>L=[3,\infty)</math>.
# <math>-2<x\leq 5</math> entspricht <math>L=(-2,5]</math>.

Bei einem runden Klammerzeichen gehört der Randwert nicht dazu. Bei einem eckigen Klammerzeichen gehört der Randwert dazu. Das Symbol <math>\infty</math> steht für [[Unendlichkeit]] und ist keine Zahl. Deshalb steht bei <math>\infty</math> immer eine runde Klammer.

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= Doppelte Ungleichungen =

Eine doppelte Ungleichung beschreibt einen Bereich zwischen zwei Grenzen. Beispiel:
<math>2<x\leq 7</math>

Das bedeutet: <math>x</math> ist größer als <math>2</math> und zugleich kleiner oder gleich <math>7</math>. Auf der Zahlengerade liegt die Lösungsmenge zwischen <math>2</math> und <math>7</math>. Bei <math>2</math> wird ein offener Punkt gezeichnet, bei <math>7</math> ein geschlossener Punkt.

Du kannst auch doppelte Ungleichungen umformen. Dabei musst Du dieselbe Umformung auf alle drei Teile anwenden.

Beispiel:
<math>1< x+3 \leq 8</math>

Subtrahiere überall <math>3</math>:
<math>-2<x\leq 5</math>

Lösungsmenge:
<math>L=\{x\mid -2<x\leq 5\}</math>

{{BR}}
= Häufige Fehler und wie Du sie vermeidest =

# [[Vorzeichenfehler]]: Prüfe bei jeder Multiplikation oder Division, ob die Zahl negativ ist.
# [[Vergleichszeichen]] vergessen: Schreibe das Zeichen in jedem Umformungsschritt sauber mit.
# [[Randwert]] falsch markiert: Bei <math><</math> und <math>></math> ist der Punkt offen, bei <math>\leq</math> und <math>\geq</math> geschlossen.
# [[Grundbereich]] übersehen: Die Lösungsmenge sieht anders aus, wenn nur ganze Zahlen erlaubt sind.
# [[Probe]] ausgelassen: Eine Probe mit einer passenden und einer unpassenden Zahl entdeckt viele Fehler.
# [[Klammern]] falsch aufgelöst: Nutze das Distributivgesetz sorgfältig, besonders bei negativen Faktoren.

{{BR}}
= Sachaufgaben mit Ungleichungen =

Ungleichungen sind nicht nur Rechenaufgaben. Sie helfen Dir, reale Bedingungen mathematisch zu beschreiben. Oft kommen Wörter wie '''höchstens''', '''mindestens''', '''mehr als''', '''weniger als''', '''unter''', '''über''' oder '''nicht mehr als''' vor.

{{BR}}
== Sprachliche Hinweise ==

# [[Mindestens]]: Bedeutet <math>\geq</math>. Beispiel: Mindestens <math>12</math> Punkte heißt <math>x\geq 12</math>.
# [[Höchstens]]: Bedeutet <math>\leq</math>. Beispiel: Höchstens <math>20</math> Euro heißt <math>x\leq 20</math>.
# [[Mehr als]]: Bedeutet <math>></math>. Beispiel: Mehr als <math>5</math> Kilometer heißt <math>x>5</math>.
# [[Weniger als]]: Bedeutet <math><</math>. Beispiel: Weniger als <math>10</math> Minuten heißt <math>x<10</math>.
# [[Nicht weniger als]]: Bedeutet <math>\geq</math>.
# [[Nicht mehr als]]: Bedeutet <math>\leq</math>.

{{BR}}
== Beispiel einer Sachaufgabe ==

Ein Kino verlangt <math>6</math> Euro Eintritt. Du hast höchstens <math>30</math> Euro zur Verfügung. Wie viele Eintrittskarten <math>x</math> kannst Du kaufen?

Mathematischer Ansatz:
<math>6x\leq 30</math>

Division durch <math>6</math>:
<math>x\leq 5</math>

Da Eintrittskarten nur als ganze Stückzahl gekauft werden können, gilt:
<math>x\in\{0,1,2,3,4,5\}</math>

Du kannst also höchstens <math>5</math> Eintrittskarten kaufen.

{{BR}}
= Grafische Vertiefung =

In höheren Klassen werden Ungleichungen auch in [[Koordinatensystem|Koordinatensystemen]] dargestellt. Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen beschreibt dann häufig eine [[Halbebene]]. Für Klasse 7-8 ist vor allem die Zahlengerade wichtig, aber der folgende Ausblick zeigt Dir, dass Ungleichungen später noch breiter verwendet werden.

[[Datei:Linearineq1.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was beschreibt eine Ungleichung?'''
(Einen Größenvergleich zwischen zwei Termen)
(!Immer den exakten Wert einer Variablen)
(!Nur eine Rechnung mit Pluszeichen)
(!Eine geometrische Figur)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Bedeutung hat das Zeichen kleiner gleich?'''
(Kleiner als oder gleich)
(!Nur kleiner als)
(!Nur größer als)
(!Ungleich)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Lösungsmenge passt zu x plus 2 kleiner 7?'''
(x kleiner 5)
(!x größer 5)
(!x kleiner 9)
(!x gleich 5)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann muss sich das Vergleichszeichen beim Lösen einer Ungleichung umdrehen?'''
(Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl)
(!Beim Addieren einer positiven Zahl)
(!Beim Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten)
(!Beim Abschreiben der Ungleichung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie wird x kleiner 4 auf der Zahlengerade dargestellt?'''
(Mit offenem Punkt bei 4 und Pfeil nach links)
(!Mit geschlossenem Punkt bei 4 und Pfeil nach rechts)
(!Mit offenem Punkt bei 4 und Pfeil nach rechts)
(!Mit geschlossenem Punkt bei 4 und Pfeil nach links)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie wird x größer gleich minus 2 auf der Zahlengerade dargestellt?'''
(Mit geschlossenem Punkt bei minus 2 und Pfeil nach rechts)
(!Mit offenem Punkt bei minus 2 und Pfeil nach links)
(!Mit geschlossenem Punkt bei minus 2 und Pfeil nach links)
(!Mit offenem Punkt bei minus 2 und Pfeil nach rechts)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Lösung erhält man aus minus 2x größer 8?'''
(x kleiner minus 4)
(!x größer minus 4)
(!x größer 4)
(!x kleiner 4)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet höchstens 12 in mathematischer Schreibweise?'''
(x kleiner gleich 12)
(!x größer gleich 12)
(!x größer 12)
(!x gleich 12)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gehört bei x kleiner gleich 3 zur Lösungsmenge?'''
(Die Zahl 3)
(!Nur Zahlen größer als 3)
(!Keine negativen Zahlen)
(!Nur die Zahl 3 und keine andere)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum ist eine Probe sinnvoll?'''
(Sie hilft, Rechenfehler und Vorzeichenfehler zu entdecken)
(!Sie ersetzt alle Umformungsschritte)
(!Sie macht jede Ungleichung zu einer Gleichung)
(!Sie verhindert, dass man eine Lösungsmenge angeben muss)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Kleinerzeichen || Randwert gehört nicht dazu
|-
| Kleinergleichzeichen || Randwert gehört dazu
|-
| Geschlossener Punkt || Lösung enthält die Grenze
|-
| Offener Punkt || Lösung enthält die Grenze nicht
|-
| Pfeil nach rechts || Größere Zahlen
|-
| Pfeil nach links || Kleinere Zahlen
|-
| Umkehrregel || Negative Multiplikation oder Division
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''x kleiner 5'''
| Offener Punkt bei 5 und Pfeil nach links
|-
| '''x kleiner gleich 5'''
| Geschlossener Punkt bei 5 und Pfeil nach links
|-
| '''x größer 5'''
| Offener Punkt bei 5 und Pfeil nach rechts
|-
| '''x größer gleich 5'''
| Geschlossener Punkt bei 5 und Pfeil nach rechts
|-
| '''minus 2x kleiner 10'''
| Beim Teilen durch minus 2 dreht sich das Zeichen um
|-
| '''höchstens 8'''
| kleiner gleich 8

|}
{{E}}

<br>
...
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Zahlengerade || Worauf stellt man Lösungsbereiche mit Punkten und Pfeilen dar?
|-
| Intervall || Wie nennt man eine zusammenhängende Zahlenmenge zwischen Grenzen?
|-
| Umkehrregel || Welche Regel gilt beim Multiplizieren oder Dividieren mit negativen Zahlen?
|-
| Probe || Wie heißt das Einsetzen eines Wertes zur Kontrolle der Lösung?
|-
| Variable || Wie heißt ein Platzhalter für eine Zahl?
|-
| Lösungsmenge || Wie heißt die Menge aller Zahlen, die eine Ungleichung wahr machen?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Ungleichungen+lösen+und+darstellen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit einem { Vergleichszeichen }. Eine Ungleichung mit einer Variablen ist eine { Aussageform }. Alle Werte, die eine Ungleichung wahr machen, bilden die { Lösungsmenge }. Bei <math>x<4</math> gehört die Zahl vier { nicht } zur Lösungsmenge. Bei <math>x\leq 4</math> wird der Randpunkt auf der Zahlengerade { geschlossen } gezeichnet. Bei <math>x>4</math> zeigt der Pfeil nach { rechts }. Beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl muss sich das Vergleichszeichen { umdrehen }. Die Kontrolle einer Lösung durch Einsetzen nennt man { Probe }. Das Wort höchstens wird meist mit dem Zeichen { kleiner gleich } übersetzt. Das Wort mindestens wird meist mit dem Zeichen { größer gleich } übersetzt.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Vergleichszeichen]]: Sammle zehn Alltagssätze mit den Wörtern '''mehr als''', '''weniger als''', '''mindestens''' oder '''höchstens''' und übersetze sie in mathematische Ungleichungen.
# [[Zahlengerade]]: Zeichne eine Zahlengerade von <math>-10</math> bis <math>10</math> und stelle vier Ungleichungen Deiner Wahl dar.
# [[Randwert]]: Erkläre mit eigenen Worten den Unterschied zwischen einem offenen und einem geschlossenen Punkt.
# [[Probe]]: Wähle drei einfache Ungleichungen und prüfe jeweils eine passende und eine unpassende Zahl durch Einsetzen.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Ungleichungen lösen]]: Erstelle ein Lernplakat mit den wichtigsten Umformungsregeln und jeweils einem Beispiel.
# [[Sachaufgabe]]: Formuliere drei eigene Sachaufgaben, die mit Ungleichungen gelöst werden können, und gib die Lösungen an.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde eine falsch gelöste Ungleichung, markiere den Fehler und korrigiere die Lösung Schritt für Schritt.
# [[Intervall]]: Schreibe fünf Ungleichungen als Intervall und erkläre, welche Randwerte dazugehören.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Doppelte Ungleichung]]: Entwickle eine Aufgabe mit einer doppelten Ungleichung aus einer Alltagssituation und stelle die Lösung auf der Zahlengerade dar.
# [[Grundbereich]]: Vergleiche dieselbe Ungleichung für <math>x\in\mathbb{Z}</math>, <math>x\in\mathbb{Q}</math> und <math>x\in\mathbb{R}</math> und erkläre die Unterschiede.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video, in dem Du die Umkehrregel anhand der Zahlengerade erklärst.
# [[Mathematische Argumentation]]: Begründe schriftlich, warum sich beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl das Vergleichszeichen umdrehen muss.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transferaufgabe]]: Ein Schwimmbad verlangt eine Grundgebühr und zusätzlich einen Betrag pro Stunde. Entwickle selbst passende Zahlen, formuliere eine Ungleichung für ein begrenztes Budget und interpretiere die Lösung im Sachzusammenhang.
# [[Darstellungswechsel]]: Übersetze eine vorgegebene Zahlengeraden-Darstellung in eine Ungleichung, eine Intervallschreibweise und einen erklärenden Satz.
# [[Fehler begründen]]: Eine Schülerin löst <math>-3x<12</math> zu <math>x< -4</math>. Erkläre, warum das falsch ist, und korrigiere den Lösungsweg.
# [[Vergleich von Grundbereichen]]: Erkläre anhand eines Beispiels, warum die Lösungsmenge einer Ungleichung davon abhängt, ob nur ganze Zahlen oder alle rationalen Zahlen erlaubt sind.
# [[Sachkontext prüfen]]: Beurteile, ob die Lösung <math>x<6{,}5</math> in einer Aufgabe über die Anzahl von Eintrittskarten sinnvoll direkt übernommen werden kann oder ob sie angepasst werden muss.
# [[Mathematisches Modellieren]]: Beschreibe eine reale Situation mit zwei Bedingungen gleichzeitig, formuliere daraus eine doppelte Ungleichung und stelle die Lösungsmenge dar.

{{BR}}
= Lernnachweis =

# [[Rechenweg dokumentieren]]: Löse mindestens vier lineare Ungleichungen mit vollständigen Umformungsschritten und markiere alle Stellen, an denen das Vergleichszeichen überprüft werden muss.
# [[Zahlengerade anwenden]]: Stelle die vier Lösungsbereiche korrekt auf Zahlengeraden dar und unterscheide offene und geschlossene Randpunkte.
# [[Sprache übersetzen]]: Übersetze mindestens sechs Alltagssätze in mathematische Ungleichungen und erkläre Deine Wahl des Vergleichszeichens.
# [[Reflexion]]: Schreibe eine kurze Erklärung, welche Fehler beim Lösen von Ungleichungen besonders häufig passieren und wie Du sie vermeidest.
# [[Eigenes Beispiel]]: Erfinde eine Sachaufgabe, die zu einer Ungleichung führt, löse sie und interpretiere die Lösung im Kontext.

<br>
<br>
{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Ungleichung </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6sen_von_Ungleichungen </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Ungleichungen lösen und darstellen]]'''
# [[Ungleichung]]
# [[Lösen von Ungleichungen]]
# [[Gleichung]]
# [[Term]]
# [[Variable]]
# [[Vergleichszeichen]]
# [[Zahlengerade]]
# [[Lösungsmenge]]
# [[Intervall]]
# [[Lineare Ungleichung]]
# [[Äquivalenzumformung]]
# [[Probe]]
# [[Sachaufgabe]]
# [[Mathematik]]
|}

{{BR}}
= Zusammenfassung =

Ungleichungen beschreiben Größenvergleiche und werden mit Zeichen wie <math><</math>, <math>\leq</math>, <math>></math> und <math>\geq</math> formuliert. Beim Lösen einer linearen Ungleichung formst Du so lange äquivalent um, bis die Variable allein steht. Die wichtigste Besonderheit ist die Umkehrregel: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl dreht sich das Vergleichszeichen um. Die Lösung kannst Du als Ungleichung, als Lösungsmenge, als Intervall oder auf der Zahlengerade darstellen. Offene Punkte zeigen, dass ein Randwert nicht dazugehört; geschlossene Punkte zeigen, dass er dazugehört. In Sachaufgaben helfen Dir Schlüsselwörter wie '''mindestens''', '''höchstens''', '''mehr als''' und '''weniger als''', die passende Ungleichung zu finden.

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse_7-8]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Gleichungen und Ungleichungen]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]
[[Kategorie:Mathematik Klasse 7]]
[[Kategorie:Mathematik Klasse 8]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Ungleichungen lösen und darstellen - aiMOOC - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt