Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-14T20:00:43Z

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{{T}}

{{BR}}
= Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck =

{{BR}}
= Einleitung =

Mit der [[Trigonometrie]] kannst Du in einem [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] fehlende Seiten und Winkel berechnen. Dafür nutzt Du vor allem [[Sinus]], [[Kosinus]] und [[Tangens]].

[[Datei:RechtwinkligesDreieck.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Lernbereiche =

# [[Mathematik]]
# [[Geometrie]]
# [[Trigonometrie]]
# [[Rechtwinkliges Dreieck]]
# [[Klasse 8]] bis [[Klasse 13]]

{{BR}}
= Lernziele =

Du lernst:

# [[Hypotenuse]], [[Ankathete]] und [[Gegenkathete]] zu erkennen.
# [[Sinus]], [[Kosinus]] und [[Tangens]] richtig auszuwählen.
# Seiten und Winkel mit dem [[Taschenrechner]] zu berechnen.
# Anwendungen wie Leitern, Steigungen und Höhen zu untersuchen.

{{BR}}
= Grundwissen =

{{BR}}
== Die Seiten des Dreiecks ==

Die '''Hypotenuse''' liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist die längste Seite.

Die '''Ankathete''' liegt am betrachteten Winkel. Die '''Gegenkathete''' liegt diesem Winkel gegenüber.

[[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-2.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Die drei wichtigsten Formeln ==

Für einen Winkel <math>\alpha</math> gilt:

<math>\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}</math>

<math>\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}</math>

<math>\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}</math>

[[Datei:Trigonometric function triangle mnemonic.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Merke:''' Welche Kathete Ankathete oder Gegenkathete ist, hängt vom betrachteten Winkel ab.

{{BR}}
== Ein kurzes Beispiel ==

Ein Dreieck hat zur Ecke <math>\alpha</math> die Gegenkathete 3 cm, die Ankathete 4 cm und die Hypotenuse 5 cm.

<math>\sin(\alpha)=\frac{3}{5}=0{,}6</math>

<math>\cos(\alpha)=\frac{4}{5}=0{,}8</math>

<math>\tan(\alpha)=\frac{3}{4}=0{,}75</math>

Mit der Umkehrfunktion erhältst Du:

<math>\alpha=\sin^{-1}(0{,}6)\approx36{,}9^\circ</math>

Achte darauf, dass Dein Taschenrechner auf '''Grad''' eingestellt ist.

{{BR}}
= Video: Planet Schule =

Das Video erklärt den [[Einheitskreis]], die Seiten im rechtwinkligen Dreieck sowie [[Sinus]], [[Kosinus]] und [[Tangens]].

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=WBoljFC2_Ms |500|center}}

Eine frei nutzbare Fassung des Lernvideos ist auch bei Wikimedia Commons verfügbar:

[[Datei:Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck - kolleg24 Mathematik.webm|500px|rahmenlos|center]]

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== Aufgaben zum Video ==

# [[Vorwissen aktivieren]]: Zeichne vor dem Video ein rechtwinkliges Dreieck und beschrifte den rechten Winkel.
# [[Seiten erkennen]]: Notiere während des Videos die Erklärungen zu Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete.
# [[Formeln sichern]]: Schreibe die drei Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens auf.
# [[Einheitskreis erklären]]: Formuliere in zwei einfachen Sätzen, was der Einheitskreis mit Sinus und Kosinus zu tun hat.
# [[Anwendung finden]]: Nenne ein Beispiel aus dem Video, bei dem Trigonometrie im Alltag genutzt wird.
# [[Video prüfen]]: Wähle eine Rechnung aus dem Video und rechne sie selbst nach.

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= Der Einheitskreis =

Der [[Einheitskreis]] hat den Radius 1. Am Einheitskreis ist der Kosinus die waagerechte Koordinate und der Sinus die senkrechte Koordinate eines Punktes.

[[Datei:Winkelfunktionen Einheitskreis.svg|500px|rahmenlos|center]]

Aus dem [[Satz des Pythagoras]] folgt:

<math>\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1</math>

[[Datei:Circle cos sin.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Anwendungen =

Trigonometrie hilft Dir bei:

# [[Höhenmessung]]: Höhe eines Baumes oder Gebäudes bestimmen.
# [[Steigung]]: Neigung einer Straße oder Rampe untersuchen.
# [[Entfernungsmessung]]: Unzugängliche Strecken berechnen.
# [[Technik]]: Kräfte, Winkel und Bauteile planen.

Der Tangens beschreibt auch eine Steigung:

<math>\tan(\alpha)=\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{waagerechte Strecke}}</math>

[[Datei:Academ Base of trigonometry.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber?'''
(Hypotenuse)
(!Ankathete)
(!Gegenkathete)
(!Winkelhalbierende)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist ein rechter Winkel?'''
(90 Grad)
(!45 Grad)
(!100 Grad)
(!180 Grad)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches Seitenverhältnis beschreibt den Sinus?'''
(Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse)
(!Ankathete geteilt durch Hypotenuse)
(!Gegenkathete geteilt durch Ankathete)
(!Hypotenuse geteilt durch Gegenkathete)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches Seitenverhältnis beschreibt den Kosinus?'''
(Ankathete geteilt durch Hypotenuse)
(!Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse)
(!Gegenkathete geteilt durch Ankathete)
(!Hypotenuse geteilt durch Ankathete)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches Seitenverhältnis beschreibt den Tangens?'''
(Gegenkathete geteilt durch Ankathete)
(!Ankathete geteilt durch Hypotenuse)
(!Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse)
(!Hypotenuse geteilt durch Gegenkathete)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Seite ist im rechtwinkligen Dreieck die längste?'''
(Hypotenuse)
(!Ankathete)
(!Gegenkathete)
(!Höhe)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Taste wird für einen Winkel aus einem Sinuswert genutzt?'''
(Umkehrfunktion des Sinus)
(!Quadratwurzel)
(!Logarithmus)
(!Prozenttaste)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Einstellung braucht der Taschenrechner bei Winkelangaben in Grad?'''
(Gradmodus)
(!Bogenmaßmodus)
(!Statistikmodus)
(!Bruchmodus)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt der Tangens bei einer Straße?'''
(Steigung)
(!Flächeninhalt)
(!Umfang)
(!Geschwindigkeit)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gleichung gilt am Einheitskreis?'''
(Sinusquadrat plus Kosinusquadrat gleich eins)
(!Sinus plus Kosinus gleich null)
(!Tangensquadrat gleich eins)
(!Sinus mal Kosinus gleich zwei)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Hypotenuse || Seite gegenüber dem rechten Winkel
|-
| Ankathete || Kathete am betrachteten Winkel
|-
| Gegenkathete || Kathete gegenüber dem betrachteten Winkel
|-
| Sinus || Gegenkathete durch Hypotenuse
|-
| Kosinus || Ankathete durch Hypotenuse
|-
| Tangens || Gegenkathete durch Ankathete
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Sinus'''
| Verhältnis aus Gegenkathete und Hypotenuse
|-
| '''Kosinus'''
| Verhältnis aus Ankathete und Hypotenuse
|-

| '''Tangens'''
| Verhältnis aus Gegenkathete und Ankathete
|-
| '''Hypotenuse'''
| Seite gegenüber dem rechten Winkel
|-
| '''Einheitskreis'''
| Kreis mit dem Radius eins

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Hypotenuse || Wie heißt die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck?
|-
| Ankathete || Welche Kathete liegt am betrachteten Winkel?
|-
| Gegenkathete || Welche Kathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber?
|-
| Sinus || Welche Funktion nutzt Gegenkathete und Hypotenuse?
|-
| Kosinus || Welche Funktion nutzt Ankathete und Hypotenuse?
|-
| Tangens || Welche Funktion beschreibt Gegenkathete durch Ankathete?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Trigonometrie+am+rechtwinkligen+Dreieck </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel von { 90 Grad }.
Die längste Seite heißt { Hypotenuse }.
Die Kathete gegenüber dem betrachteten Winkel heißt { Gegenkathete }.
Die Kathete am betrachteten Winkel heißt { Ankathete }.
Der Sinus ist Gegenkathete geteilt durch { Hypotenuse }.
Der Kosinus ist Ankathete geteilt durch { Hypotenuse }.
Der Tangens ist Gegenkathete geteilt durch { Ankathete }.
Der Einheitskreis hat den Radius { eins }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Videonotizen]]: Sieh das Planet-Schule-Video an und notiere fünf wichtige Begriffe.
# [[Dreieck beschriften]]: Zeichne drei rechtwinklige Dreiecke und markiere jeweils Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete.
# [[Formelkarte]]: Gestalte eine kleine Lernkarte mit Sinus, Kosinus und Tangens.
# [[Fotoprojekt]]: Fotografiere eine Leiter, Rampe oder Treppe und markiere darin ein rechtwinkliges Dreieck.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Videozusammenfassung]]: Erkläre den Inhalt des Videos in höchstens acht einfachen Sätzen.
# [[Messaufgabe]]: Miss an einer Zeichnung zwei Seiten und berechne einen Winkel.
# [[Schattenmessung]]: Miss Schatten und Höhe eines Gegenstandes und untersuche das entstehende Dreieck.
# [[Wertetabelle]]: Berechne Sinus, Kosinus und Tangens für fünf verschiedene Winkel.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Ähnliche Dreiecke]]: Erkläre, warum gleich große Winkel zu gleichen Seitenverhältnissen führen.
# [[Einheitskreis-Modell]]: Baue oder zeichne einen Einheitskreis und zeige Sinus und Kosinus.
# [[Straßensteigung]]: Untersuche den Zusammenhang zwischen Prozentsteigung und Steigungswinkel.
# [[Erklärvideo]]: Erstelle ein eigenes kurzes Lernvideo mit einer Beispielrechnung und vergleiche es mit dem Planet-Schule-Video.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Leiterproblem]]: Eine Leiter lehnt an einer Wand. Entscheide, welche trigonometrische Funktion Du für die Höhe brauchst, und begründe Deine Wahl.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person verwechselt Ankathete und Gegenkathete. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
# [[Funktionswahl]]: Entwickle eine Regel, mit der Du zwischen Sinus, Kosinus und Tangens auswählst.
# [[Modellvergleich]]: Vergleiche eine trigonometrische Lösung mit einer maßstäblichen Zeichnung. Beurteile mögliche Abweichungen.
# [[Steigung übertragen]]: Erkläre, wie aus einer Straßensteigung ein rechtwinkliges Dreieck entsteht und wie daraus der Winkel berechnet wird.
# [[Video-Transfer]]: Übertrage eine Idee aus dem Planet-Schule-Video auf ein selbst gewähltes Alltagsproblem.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sicher benennen kannst.
# Sinus, Kosinus und Tangens passend auswählst.
# fehlende Seiten und Winkel berechnest.
# Ergebnisse mit Einheit und sinnvoller Rundung angibst.
# Deine Rechenwege verständlich erklärst.
# Trigonometrie auf ein Alltagsproblem überträgst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Trigonometrie </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck]]'''
# [[Rechtwinkliges Dreieck]]
# [[Hypotenuse]]
# [[Kathete]]
# [[Sinus]]
# [[Kosinus]]
# [[Tangens]]
# [[Einheitskreis]]
# [[Satz des Pythagoras]]
# [[Steigung]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Klasse 8]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt