Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-06-13T15:47:19Z

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{{T}}

{{BR}}
= Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln =

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== Einleitung ==

'''Teilbarkeit''' ist ein Grundbegriff der [[Arithmetik]]. Du verwendest ihn immer dann, wenn Du prüfen willst, ob eine [[natürliche Zahl]] ohne [[Rest]] durch eine andere Zahl geteilt werden kann. In diesem aiMOOC lernst Du, was [[Teiler]], [[Vielfache]], [[Primzahl]], [[Primfaktorzerlegung]], [[Quersumme]] und [[Teilbarkeitsregel]] bedeuten. Du übst außerdem, Teilbarkeit schnell zu erkennen, Teilermengen zu bestimmen und eigene Begründungen zu formulieren.

Im Alltag brauchst Du Teilbarkeit zum Beispiel beim gerechten Verteilen, beim Bilden von Gruppen, beim Kürzen von [[Bruch|Brüchen]], beim Rechnen mit [[Maßeinheit|Maßeinheiten]], bei Mustern in [[Zahlenfolge|Zahlenfolgen]] und später in der [[Algebra]]. Teilbarkeitsregeln helfen Dir, Zahlen zu untersuchen, ohne immer eine vollständige schriftliche Division durchführen zu müssen.

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== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

# [[Teilbarkeit]]: erklären, wann eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist.
# [[Teiler]] und [[Vielfaches|Vielfache]]: bestimmen und unterscheiden.
# [[Teilermenge]]: für einfache Zahlen vollständig angeben.
# [[Teilbarkeitsregel]]: Regeln für 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 und 100 anwenden.
# [[Quersumme]]: bilden und für Teilbarkeitsregeln nutzen.
# [[Primzahl]] und [[Primfaktorzerlegung]]: mit Teilbarkeit verbinden.
# [[Begründung]]: einfache Teilbarkeitsregeln mit dem Stellenwertsystem erklären.
# [[Fehleranalyse]]: falsche Aussagen zur Teilbarkeit erkennen und verbessern.

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== Grundidee der Teilbarkeit ==

Eine Zahl <math>a</math> ist durch eine Zahl <math>b</math> teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt. Man schreibt:

<math>b \mid a</math>

Das liest Du: '''b teilt a''' oder '''a ist durch b teilbar'''.

Beispiel:

<math>3 \mid 18</math>, denn <math>18 : 3 = 6</math> ohne Rest.

Nicht richtig wäre:

<math>5 \mid 18</math>, denn <math>18 : 5 = 3</math> Rest <math>3</math>.

Mathematisch bedeutet Teilbarkeit:

<math>b \mid a \Longleftrightarrow \text{Es gibt eine ganze Zahl } k \text{ mit } a = b \cdot k.</math>

Für Klasse 5-6 genügt oft die Formulierung: '''Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn das Ergebnis eine ganze Zahl ist und kein Rest bleibt.'''

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== Teiler und Vielfache ==

Ein '''Teiler''' einer Zahl ist eine Zahl, durch die man ohne Rest teilen kann. Ein '''Vielfaches''' einer Zahl entsteht, wenn man diese Zahl mit einer natürlichen Zahl multipliziert.

Beispiel zur Zahl <math>12</math>:

# [[Teiler]] von <math>12</math>: <math>1, 2, 3, 4, 6, 12</math>
# [[Vielfache]] von <math>12</math>: <math>12, 24, 36, 48, 60, \dots</math>

Die '''Teilermenge''' von <math>12</math> schreibt man:

<math>T_{12} = \{1,2,3,4,6,12\}</math>

Die '''Vielfachenmenge''' von <math>12</math> beginnt so:

<math>V_{12} = \{12,24,36,48,60,\dots\}</math>

Der wichtigste Unterschied lautet: Eine Zahl hat nur endlich viele positive Teiler, aber unendlich viele Vielfache.

[[Datei:Relation repr 12div svg.svg|500px|rahmenlos|zentriert]]

Das Bild zeigt Beziehungen zwischen Teilern der Zahl <math>12</math>. Solche Darstellungen helfen Dir zu sehen, welche Zahlen andere Zahlen teilen.

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== Division mit Rest ==

Wenn eine Zahl nicht ohne Rest teilbar ist, entsteht bei der [[Division]] ein Rest. Jede Division natürlicher Zahlen kann so beschrieben werden:

<math>a = b \cdot q + r</math>

Dabei ist <math>a</math> die Zahl, die geteilt wird, <math>b</math> der Teiler, <math>q</math> das Ergebnis ohne Rest und <math>r</math> der Rest. Der Rest ist immer kleiner als der Teiler:

<math>0 \le r < b</math>

Beispiel:

<math>29 : 6 = 4</math> Rest <math>5</math>

Denn:

<math>29 = 6 \cdot 4 + 5</math>

Da der Rest nicht <math>0</math> ist, gilt:

<math>6 \nmid 29</math>

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== Warum Teilbarkeitsregeln nützlich sind ==

Teilbarkeitsregeln sind kurze Prüfverfahren. Du musst nicht immer die ganze Division ausführen. Stattdessen schaust Du zum Beispiel auf die letzte Ziffer, die letzten zwei Ziffern oder die [[Quersumme]].

Beispiel:

Ist <math>7\,236</math> durch <math>3</math> teilbar?

Du bildest die Quersumme:

<math>7+2+3+6=18</math>

Da <math>18</math> durch <math>3</math> teilbar ist, ist auch <math>7\,236</math> durch <math>3</math> teilbar.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=uSJqX8JBaN4 |500|center}}

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== Das Stellenwertsystem als Grundlage ==

Unsere Zahlen werden im [[Dezimalsystem]] geschrieben. Jede Stelle hat einen Wert:

# [[Einer]]: <math>1</math>
# [[Zehner]]: <math>10</math>
# [[Hunderter]]: <math>100</math>
# [[Tausender]]: <math>1000</math>

Die Zahl <math>4\,582</math> bedeutet:

<math>4\,582 = 4\cdot1000 + 5\cdot100 + 8\cdot10 + 2</math>

Viele Teilbarkeitsregeln funktionieren, weil die Zehnerpotenzen besondere Reste haben. Zum Beispiel sind <math>10, 100, 1000</math> alle durch <math>2</math>, <math>5</math> und <math>10</math> teilbar. Deshalb reicht bei diesen Regeln oft ein Blick auf die letzte Ziffer.

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= Wichtige Teilbarkeitsregeln =

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== Teilbarkeit durch 2 ==

Eine Zahl ist durch <math>2</math> teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist.

Gerade Endziffern sind:

<math>0, 2, 4, 6, 8</math>

Beispiele:

# <math>846</math> ist durch <math>2</math> teilbar, weil die letzte Ziffer <math>6</math> ist.
# <math>913</math> ist nicht durch <math>2</math> teilbar, weil die letzte Ziffer <math>3</math> ist.

Eine Zahl, die durch <math>2</math> teilbar ist, nennt man [[gerade Zahl]]. Eine Zahl, die nicht durch <math>2</math> teilbar ist, nennt man [[ungerade Zahl]].

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== Teilbarkeit durch 3 ==

Eine Zahl ist durch <math>3</math> teilbar, wenn ihre [[Quersumme]] durch <math>3</math> teilbar ist.

Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern.

Beispiel:

<math>5\,724</math>

<math>5+7+2+4=18</math>

Da <math>18</math> durch <math>3</math> teilbar ist, ist <math>5\,724</math> durch <math>3</math> teilbar.

Warum funktioniert das? Im Dezimalsystem gilt:

<math>10 = 9 + 1</math>

<math>100 = 99 + 1</math>

<math>1000 = 999 + 1</math>

Die Zahlen <math>9, 99, 999</math> sind durch <math>3</math> teilbar. Deshalb bleibt für die Teilbarkeit durch <math>3</math> im Grunde die Summe der Ziffern entscheidend.

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== Teilbarkeit durch 4 ==

Eine Zahl ist durch <math>4</math> teilbar, wenn die Zahl aus ihren letzten beiden Ziffern durch <math>4</math> teilbar ist.

Beispiele:

# <math>3\,516</math> ist durch <math>4</math> teilbar, denn <math>16</math> ist durch <math>4</math> teilbar.
# <math>8\,734</math> ist nicht durch <math>4</math> teilbar, denn <math>34</math> ist nicht durch <math>4</math> teilbar.

Warum reichen die letzten beiden Ziffern? Weil <math>100</math>, <math>200</math>, <math>300</math> und alle höheren Hunderter durch <math>4</math> teilbar sind. Entscheidend bleibt daher der Rest aus Zehnern und Einern.

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== Teilbarkeit durch 5 ==

Eine Zahl ist durch <math>5</math> teilbar, wenn ihre letzte Ziffer <math>0</math> oder <math>5</math> ist.

Beispiele:

# <math>1\,245</math> ist durch <math>5</math> teilbar.
# <math>7\,910</math> ist durch <math>5</math> teilbar.
# <math>3\,412</math> ist nicht durch <math>5</math> teilbar.

{{BR}}
== Teilbarkeit durch 6 ==

Eine Zahl ist durch <math>6</math> teilbar, wenn sie gleichzeitig durch <math>2</math> und durch <math>3</math> teilbar ist.

Beispiel:

<math>4\,218</math>

Die letzte Ziffer ist <math>8</math>, also ist die Zahl durch <math>2</math> teilbar.

Die Quersumme ist:

<math>4+2+1+8=15</math>

<math>15</math> ist durch <math>3</math> teilbar. Also ist <math>4\,218</math> durch <math>6</math> teilbar.

{{BR}}
== Teilbarkeit durch 8 ==

Eine Zahl ist durch <math>8</math> teilbar, wenn die Zahl aus ihren letzten drei Ziffern durch <math>8</math> teilbar ist.

Beispiele:

# <math>12\,536</math> ist durch <math>8</math> teilbar, denn <math>536 : 8 = 67</math>.
# <math>4\,218</math> ist nicht durch <math>8</math> teilbar, denn <math>218</math> ist nicht durch <math>8</math> teilbar.

Der Grund ist ähnlich wie bei der Regel für <math>4</math>: Alle Tausender sind durch <math>8</math> teilbar, denn <math>1000 : 8 = 125</math>.

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== Teilbarkeit durch 9 ==

Eine Zahl ist durch <math>9</math> teilbar, wenn ihre Quersumme durch <math>9</math> teilbar ist.

Beispiel:

<math>8\,379</math>

<math>8+3+7+9=27</math>

Da <math>27</math> durch <math>9</math> teilbar ist, ist <math>8\,379</math> durch <math>9</math> teilbar.

Die Regel ist ähnlich wie bei <math>3</math>, weil <math>9, 99, 999</math> durch <math>9</math> teilbar sind.

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== Teilbarkeit durch 10, 100 und 1000 ==

Eine Zahl ist durch <math>10</math> teilbar, wenn sie auf <math>0</math> endet.

Eine Zahl ist durch <math>100</math> teilbar, wenn sie auf <math>00</math> endet.

Eine Zahl ist durch <math>1000</math> teilbar, wenn sie auf <math>000</math> endet.

Beispiele:

# <math>5\,430</math> ist durch <math>10</math> teilbar.
# <math>72\,800</math> ist durch <math>100</math> teilbar.
# <math>91\,000</math> ist durch <math>1000</math> teilbar.

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== Teilbarkeit durch 11 ==

Eine Zahl ist durch <math>11</math> teilbar, wenn die Differenz zwischen der Summe der Ziffern an ungeraden Stellen und der Summe der Ziffern an geraden Stellen durch <math>11</math> teilbar ist. Diese Differenz darf auch <math>0</math> sein.

Beispiel:

<math>2\,728</math>

Von rechts gezählt:

# Ungerade Stellen: <math>8</math> und <math>7</math>, Summe <math>15</math>
# Gerade Stellen: <math>2</math> und <math>2</math>, Summe <math>4</math>

Differenz:

<math>15-4=11</math>

Da <math>11</math> durch <math>11</math> teilbar ist, ist <math>2\,728</math> durch <math>11</math> teilbar.

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== Teilbarkeit durch 25 ==

Eine Zahl ist durch <math>25</math> teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern <math>00</math>, <math>25</math>, <math>50</math> oder <math>75</math> sind.

Beispiele:

# <math>1\,275</math> ist durch <math>25</math> teilbar.
# <math>6\,450</math> ist durch <math>25</math> teilbar.
# <math>8\,412</math> ist nicht durch <math>25</math> teilbar.

{{BR}}
== Übersicht wichtiger Regeln ==

{| class="wikitable"
! Teiler
! Regel
! Beispiel
|-
| <math>2</math>
| letzte Ziffer ist <math>0,2,4,6,8</math>
| <math>438</math>
|-
| <math>3</math>
| Quersumme ist durch <math>3</math> teilbar
| <math>741</math>, denn <math>7+4+1=12</math>
|-
| <math>4</math>
| letzte zwei Ziffern sind durch <math>4</math> teilbar
| <math>1\,228</math>, denn <math>28</math> ist durch <math>4</math> teilbar
|-
| <math>5</math>
| letzte Ziffer ist <math>0</math> oder <math>5</math>
| <math>935</math>
|-
| <math>6</math>
| durch <math>2</math> und <math>3</math> teilbar
| <math>1\,254</math>
|-
| <math>8</math>
| letzte drei Ziffern sind durch <math>8</math> teilbar
| <math>5\,128</math>
|-
| <math>9</math>
| Quersumme ist durch <math>9</math> teilbar
| <math>6\,561</math>, denn <math>6+5+6+1=18</math>
|-
| <math>10</math>
| letzte Ziffer ist <math>0</math>
| <math>780</math>
|-
| <math>11</math>
| alternierende Quersumme ist durch <math>11</math> teilbar
| <math>2\,728</math>
|-
| <math>25</math>
| Endung <math>00,25,50,75</math>
| <math>3\,675</math>
|}

{{BR}}
= Teilermengen bestimmen =

{{BR}}
== Systematisches Vorgehen ==

Um alle Teiler einer Zahl zu finden, gehst Du geordnet vor. Du prüfst Zahlen von <math>1</math> aufwärts. Sobald Du einen Teiler findest, gehört der passende Partnerteiler ebenfalls dazu.

Beispiel: Teilermenge von <math>36</math>

# <math>1 \cdot 36 = 36</math>, also sind <math>1</math> und <math>36</math> Teiler.
# <math>2 \cdot 18 = 36</math>, also sind <math>2</math> und <math>18</math> Teiler.
# <math>3 \cdot 12 = 36</math>, also sind <math>3</math> und <math>12</math> Teiler.
# <math>4 \cdot 9 = 36</math>, also sind <math>4</math> und <math>9</math> Teiler.
# <math>6 \cdot 6 = 36</math>, also ist <math>6</math> ein Teiler.

Damit gilt:

<math>T_{36}=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}</math>

Achte darauf, keine Teiler zu vergessen und keine Zahl doppelt aufzuschreiben.

{{BR}}
== Partnerteiler ==

Partnerteiler sind zwei Zahlen, deren Produkt die gesuchte Zahl ergibt.

Für <math>48</math> sind zum Beispiel <math>6</math> und <math>8</math> Partnerteiler, denn:

<math>6 \cdot 8 = 48</math>

Wer Partnerteiler nutzt, findet Teilermengen schneller und übersichtlicher.

{{BR}}
== Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen ==

Eine [[Primzahl]] hat genau zwei positive Teiler: <math>1</math> und sich selbst.

Beispiele:

<math>2,3,5,7,11,13,17,19,23,29</math>

Die Zahl <math>1</math> ist keine Primzahl, weil sie nur einen positiven Teiler hat.

Eine [[zusammengesetzte Zahl]] hat mehr als zwei positive Teiler. Beispiele sind <math>4,6,8,9,10,12</math>.

{{BR}}
== Primfaktorzerlegung ==

Bei der [[Primfaktorzerlegung]] zerlegst Du eine Zahl in ein Produkt aus Primzahlen.

Beispiel:

<math>60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5</math>

Kurzschreibweise:

<math>60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5</math>

Die Primfaktorzerlegung zeigt Dir, aus welchen grundlegenden Bausteinen eine Zahl zusammengesetzt ist. Sie hilft beim Finden von Teilern, beim Kürzen von Brüchen und später beim kleinsten gemeinsamen Vielfachen und größten gemeinsamen Teiler.

[[Datei:Verband Teiler30.png|500px|rahmenlos|zentriert]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=TV2XvY1PkJY |500|center}}

{{BR}}
= Teilbarkeit begründen =

{{BR}}
== Beispiel: Warum funktioniert die Regel für 2? ==

Jede Zahl kann in Zehner und Einer zerlegt werden. Zum Beispiel:

<math>4\,386 = 438 \cdot 10 + 6</math>

Da <math>10</math> durch <math>2</math> teilbar ist, ist auch <math>438 \cdot 10</math> durch <math>2</math> teilbar. Für die Teilbarkeit der ganzen Zahl entscheidet nur noch der Einer. Deshalb reicht die letzte Ziffer.

{{BR}}
== Beispiel: Warum funktioniert die Regel für 5? ==

Auch hier gilt:

<math>4\,385 = 438 \cdot 10 + 5</math>

Da <math>10</math> durch <math>5</math> teilbar ist, entscheidet die letzte Ziffer. Nur <math>0</math> und <math>5</math> ergeben bei einer Zahl im Dezimalsystem eine Teilbarkeit durch <math>5</math>.

{{BR}}
== Beispiel: Warum funktioniert die Regel für 3? ==

Nimm die Zahl <math>abc</math> als dreistellige Zahl. Sie bedeutet:

<math>100a + 10b + c</math>

Nun kann man schreiben:

<math>100a + 10b + c = 99a + 9b + a + b + c</math>

Die Teile <math>99a</math> und <math>9b</math> sind durch <math>3</math> teilbar. Übrig bleibt für die Prüfung die Quersumme:

<math>a+b+c</math>

Darum ist eine Zahl genau dann durch <math>3</math> teilbar, wenn ihre Quersumme durch <math>3</math> teilbar ist.

{{BR}}
= Typische Fehler und wie Du sie vermeidest =

{{BR}}
== Fehler 1: Teiler und Vielfache verwechseln ==

Falsch: <math>48</math> ist ein Teiler von <math>6</math>.

Richtig: <math>48</math> ist ein Vielfaches von <math>6</math>, denn <math>6 \cdot 8 = 48</math>. Die Zahl <math>6</math> ist ein Teiler von <math>48</math>.

{{BR}}
== Fehler 2: Nur die letzte Ziffer betrachten, obwohl das nicht reicht ==

Für Teilbarkeit durch <math>3</math> oder <math>9</math> reicht die letzte Ziffer nicht. Du brauchst die Quersumme.

Beispiel:

<math>123</math> endet auf <math>3</math>, aber die Regel lautet nicht: Ende <math>3</math>. Du bildest:

<math>1+2+3=6</math>

Da <math>6</math> durch <math>3</math> teilbar ist, ist <math>123</math> durch <math>3</math> teilbar.

{{BR}}
== Fehler 3: Die Regel für 6 unvollständig anwenden ==

Eine Zahl ist nicht schon durch <math>6</math> teilbar, wenn sie nur durch <math>2</math> teilbar ist. Sie muss durch <math>2</math> und <math>3</math> teilbar sein.

Beispiel:

<math>14</math> ist durch <math>2</math> teilbar, aber nicht durch <math>3</math>. Also ist <math>14</math> nicht durch <math>6</math> teilbar.

{{BR}}
== Fehler 4: Bei Teilbarkeit durch 4 nur die letzte Ziffer prüfen ==

Für <math>4</math> prüfst Du die letzten beiden Ziffern.

Beispiel:

<math>312</math> endet auf <math>2</math>. Die letzte Ziffer allein hilft nicht. Die letzten zwei Ziffern sind <math>12</math>. Da <math>12</math> durch <math>4</math> teilbar ist, ist <math>312</math> durch <math>4</math> teilbar.

{{BR}}
= Beispiele zum Mitdenken =

{{BR}}
== Beispiel 1: Ist 8 145 durch 5 teilbar? ==

Die letzte Ziffer ist <math>5</math>. Deshalb ist <math>8\,145</math> durch <math>5</math> teilbar.

{{BR}}
== Beispiel 2: Ist 6 732 durch 9 teilbar? ==

Quersumme:

<math>6+7+3+2=18</math>

Da <math>18</math> durch <math>9</math> teilbar ist, ist <math>6\,732</math> durch <math>9</math> teilbar.

{{BR}}
== Beispiel 3: Ist 12 348 durch 6 teilbar? ==

Die Zahl endet auf <math>8</math>, also ist sie durch <math>2</math> teilbar.

Quersumme:

<math>1+2+3+4+8=18</math>

Da <math>18</math> durch <math>3</math> teilbar ist, ist die Zahl auch durch <math>3</math> teilbar. Deshalb ist <math>12\,348</math> durch <math>6</math> teilbar.

{{BR}}
== Beispiel 4: Bestimme die Teilermenge von 24 ==

Partnerteiler:

<math>1\cdot24</math>, <math>2\cdot12</math>, <math>3\cdot8</math>, <math>4\cdot6</math>

Also:

<math>T_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}</math>

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wann ist eine Zahl durch 2 teilbar?'''
(Wenn ihre letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist)
(!Wenn ihre Quersumme gerade ist)
(!Wenn sie mindestens zwei Ziffern hat)
(!Wenn sie auf 5 endet)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage zur Teilbarkeit ist richtig?'''
(24 ist durch 6 teilbar)
(!24 ist durch 7 teilbar)
(!24 ist durch 5 teilbar)
(!24 ist durch 9 teilbar)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Quersumme hat die Zahl 5 418?'''
(18)
(!17)
(!19)
(!20)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist eine Zahl durch 3 teilbar?'''
(Wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist)
(!Wenn ihre letzte Ziffer 3 ist)
(!Wenn sie drei Stellen hat)
(!Wenn ihre erste Ziffer durch 3 teilbar ist)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist durch 5 teilbar?'''
(740)
(!742)
(!743)
(!746)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Teilermenge gehört zur Zahl 10?'''
(1, 2, 5, 10)
(!1, 3, 5, 10)
(!2, 4, 6, 10)
(!1, 2, 4, 10)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist eine Zahl durch 4 teilbar?'''
(Wenn die letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden)
(!Wenn die letzte Ziffer durch 4 teilbar ist)
(!Wenn die Quersumme durch 4 teilbar ist)
(!Wenn die Zahl auf 4 endet)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist eine Primzahl?'''
(13)
(!1)
(!15)
(!21)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Regel prüft Teilbarkeit durch 9?'''
(Die Quersumme muss durch 9 teilbar sein)
(!Die letzte Ziffer muss 9 sein)
(!Die letzten zwei Ziffern müssen 09 sein)
(!Die Zahl muss ungerade sein)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist eine Zahl durch 6 teilbar?'''
(Wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist)
(!Wenn sie auf 6 endet)
(!Wenn ihre Quersumme 6 ist)
(!Wenn ihre letzte Ziffer gerade ist)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Teiler || Zahl, durch die ohne Rest geteilt werden kann
|-
| Vielfaches || Ergebnis einer Multiplikation mit einer natürlichen Zahl
|-
| Quersumme || Summe aller Ziffern einer Zahl
|-
| Primzahl || Zahl mit genau zwei positiven Teilern
|-
| Rest || Übrigbleibender Teil bei einer nicht aufgehenden Division
|-
| Teilermenge || Menge aller positiven Teiler einer Zahl
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Endziffer gerade'''
| Teilbarkeit durch 2
|-
| '''Quersumme durch 3 teilbar'''
| Teilbarkeit durch 3
|-
| '''Letzte zwei Ziffern durch 4 teilbar'''
| Teilbarkeit durch 4
|-
| '''Endziffer 0 oder 5'''
| Teilbarkeit durch 5
|-
| '''Quersumme durch 9 teilbar'''
| Teilbarkeit durch 9

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Teiler || Wie nennt man eine Zahl, durch die ohne Rest geteilt werden kann?
|-
| Rest || Was bleibt bei einer nicht aufgehenden Division übrig?
|-
| Quersumme || Wie nennt man die Summe aller Ziffern einer Zahl?
|-
| Primzahl || Wie nennt man eine Zahl mit genau zwei positiven Teilern?
|-
| Vielfaches || Wie nennt man ein Ergebnis einer Multiplikation mit einer Zahl?
|-
| Division || Wie heißt die Rechenart des Teilens?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Teilbarkeit+und+Teilbarkeitsregeln </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn beim Teilen kein { Rest } bleibt. Die Summe aller Ziffern einer Zahl nennt man { Quersumme }. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer { gerade } ist. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder { 5 } endet. Für die Teilbarkeit durch 3 prüfst Du, ob die Quersumme durch { 3 } teilbar ist. Für die Teilbarkeit durch 4 betrachtest Du die letzten { zwei } Ziffern. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch { 3 } teilbar ist. Eine Primzahl hat genau { zwei } positive Teiler.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Teilbarkeitsregeln-Karte]]: Gestalte eine übersichtliche Lernkarte mit den Regeln für <math>2</math>, <math>3</math>, <math>4</math>, <math>5</math>, <math>6</math>, <math>9</math> und <math>10</math>. Schreibe zu jeder Regel ein eigenes Beispiel.
# [[Teilermengen finden]]: Bestimme die Teilermengen von <math>12</math>, <math>18</math>, <math>20</math> und <math>30</math>. Markiere jeweils die Partnerteiler.
# [[Quersummen-Training]]: Erfinde zehn vierstellige Zahlen und prüfe jeweils, ob sie durch <math>3</math> und durch <math>9</math> teilbar sind.
# [[Gerade und ungerade Zahlen]]: Suche in Deiner Umgebung Zahlen, zum Beispiel Hausnummern, Preise oder Seitenzahlen, und ordne sie in gerade und ungerade Zahlen.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Teilbarkeit erklären]]: Erkläre schriftlich, warum bei der Teilbarkeit durch <math>4</math> die letzten beiden Ziffern genügen.
# [[Zahlenrätsel entwickeln]]: Erfinde fünf Zahlenrätsel, bei denen Teilbarkeitsregeln genutzt werden müssen. Schreibe auch Musterlösungen.
# [[Fehler finden]]: Formuliere drei falsche Aussagen zur Teilbarkeit und verbessere sie mit einer Begründung.
# [[Primzahlen untersuchen]]: Erstelle eine Tabelle der Zahlen von <math>1</math> bis <math>50</math>. Markiere Primzahlen, zusammengesetzte Zahlen und die Zahl <math>1</math> jeweils unterschiedlich.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Eigene Teilbarkeitsregel begründen]]: Begründe mit dem Stellenwertsystem, warum die Regel für die Teilbarkeit durch <math>9</math> funktioniert.
# [[Teilermengen vergleichen]]: Vergleiche die Teilermengen von <math>24</math>, <math>36</math> und <math>48</math>. Finde Gemeinsamkeiten und Unterschiede.
# [[Primfaktorzerlegung anwenden]]: Zerlege <math>72</math>, <math>84</math>, <math>96</math> und <math>120</math> in Primfaktoren und leite daraus jeweils mehrere Teiler ab.
# [[Mathe-Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Erklärvideo zu einer Teilbarkeitsregel. Nutze ein eigenes Beispiel und erkläre auch, warum die Regel funktioniert.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Transferaufgabe Teilbarkeit]]: Eine Klasse mit <math>28</math> Lernenden soll Gruppen gleicher Größe bilden. Untersuche alle möglichen Gruppengrößen ohne Rest und erkläre, wie Du sie gefunden hast.
# [[Begründung statt Merksatz]]: Erkläre an der Zahl <math>3\,456</math>, warum sie durch <math>3</math> teilbar ist, und begründe Deine Entscheidung mit der Quersumme.
# [[Fehleranalyse Teilbarkeitsregel]]: Eine Schülerin sagt: „Eine Zahl ist durch <math>4</math> teilbar, wenn sie gerade ist.“ Widerlege die Aussage mit einem Gegenbeispiel und formuliere die richtige Regel.
# [[Zahlen konstruieren]]: Konstruiere eine vierstellige Zahl, die durch <math>2</math>, <math>3</math> und <math>5</math> teilbar ist, aber nicht durch <math>9</math>. Begründe Deine Wahl.
# [[Alltagsproblem Verteilung]]: Für ein Schulfest sollen <math>96</math> Getränke gleichmäßig auf Kisten verteilt werden. Vergleiche mehrere mögliche Kistengrößen und erkläre, welche ohne Rest funktionieren.
# [[Regeln kombinieren]]: Prüfe, ob <math>12\,870</math> durch <math>6</math>, <math>9</math>, <math>10</math> und <math>25</math> teilbar ist. Notiere zu jeder Entscheidung die passende Regel.

{{BR}}
= Lernnachweis =

Bearbeite die folgenden Aufgaben schriftlich in ganzen Sätzen. Verwende bei Rechnungen sinnvolle mathematische Schreibweisen und begründe jede Entscheidung.

# [[Teilbarkeit nachweisen]]: Zeige mit einer Rechnung der Form <math>a=b\cdot k</math>, dass <math>84</math> durch <math>7</math> teilbar ist.
# [[Teilbarkeit widerlegen]]: Zeige mit einer Division mit Rest, dass <math>95</math> nicht durch <math>6</math> teilbar ist.
# [[Teilermenge bilden]]: Bestimme die vollständige Teilermenge von <math>42</math> und beschreibe Dein Vorgehen.
# [[Regelanwendung]]: Prüfe die Zahl <math>7\,425</math> auf Teilbarkeit durch <math>3</math>, <math>5</math>, <math>9</math> und <math>25</math>.
# [[Eigene Begründung]]: Erkläre, warum jede Zahl, die durch <math>10</math> teilbar ist, auch durch <math>2</math> und durch <math>5</math> teilbar ist.

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<br>

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= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit </iframe>

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{{BR}}
= Links =

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{{:D-Tab}}
'''[[Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln]]'''
# [[Teilbarkeit]]
# [[Teiler]]
# [[Vielfaches]]
# [[Teilermenge]]
# [[Quersumme]]
# [[Teilbarkeitsregel]]
# [[Primzahl]]
# [[Primfaktorzerlegung]]
# [[Division]]
# [[Rest]]
# [[Dezimalsystem]]
# [[Arithmetik]]
|}

{{BR}}
= Zusammenfassung =

'''Teilbarkeit''' bedeutet, dass beim Teilen kein Rest bleibt. Eine Zahl <math>a</math> ist durch eine Zahl <math>b</math> teilbar, wenn es eine ganze Zahl <math>k</math> gibt mit <math>a=b\cdot k</math>. '''Teiler''' sind Zahlen, durch die eine Zahl ohne Rest geteilt werden kann. '''Vielfache''' entstehen durch Multiplikation. '''Teilbarkeitsregeln''' helfen Dir, schnell zu prüfen, ob eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist. Besonders wichtig sind die Regeln über Endziffern, letzte zwei oder drei Ziffern und die Quersumme. Wer Teilbarkeit versteht, kann besser mit Brüchen, Primzahlen, gemeinsamen Teilern und Vielfachen arbeiten.

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse_5-6]]
[[Kategorie:Arithmetik]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]
[[Kategorie:Mathematikunterricht]]

= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln - aiMOOC - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt