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2026-07-13T21:41:42Z

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= Tangente - Steigung und Gleichung =

'''Fach:''' [[Mathematik]] | '''Klassenstufe:''' 9–13

{{BR}}
= Einleitung =

Eine [[Tangente]] ist eine Gerade an einem [[Funktionsgraph]]en. Im Berührpunkt hat sie dieselbe [[Steigung]] wie der Graph. Du lernst, wie Du die Steigung bestimmst und die [[Geradengleichung]] der Tangente aufstellst.

[[Datei:Derivative with tangent.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Steigung einer Geraden ==

Die Steigung zeigt, wie stark eine Gerade steigt oder fällt:

<math>m=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>

Bei <math>m>0</math> steigt die Gerade. Bei <math>m<0</math> fällt sie. Bei <math>m=0</math> ist sie waagerecht.

[[Datei:Line equation qtl8.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Steigung in Prozent und als Winkel ==

Eine Steigung von 100 Prozent bedeutet: 1 Meter Höhe bei 1 Meter waagerechter Strecke. Das sind 45 Grad, nicht 90 Grad.

<math>p=100\cdot m</math>

<math>m=\tan(\alpha)</math>

'''Achtung:''' [[Tangens]] und [[Tangente]] sind verschiedene Begriffe. Der Tangens verbindet Steigung und Winkel. Die Tangente ist eine Gerade an einem Graphen.

{{BR}}
== Video: 100 Prozent Steigung und Tangens ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=2tNKqEyNHQA |500|center}}

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===

# [[Steigungsdreieck]]: Zeichne ein Dreieck für 100 Prozent Steigung und beschrifte waagerechte Strecke und Höhe.
# [[Steigungswinkel]]: Erkläre in einem Satz, warum 100 Prozent Steigung 45 Grad entsprechen.
# [[Vergleich]]: Ordne 50 Prozent, 100 Prozent und 200 Prozent von flach nach steil.
# [[Tangens]]: Berechne mit dem Taschenrechner den Winkel zu 12 Prozent Steigung.
# [[Alltag]]: Finde ein Beispiel für eine Steigungsangabe und erkläre ihre Bedeutung.

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== Tangente an einen Funktionsgraphen ==

Die Tangente im Punkt <math>P(x_0|f(x_0))</math> hat die Steigung

<math>m=f'(x_0)</math>.

Ihre Gleichung lautet:

<math>t(x)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)</math>

Oder in der Form <math>t(x)=mx+b</math> mit

<math>b=f(x_0)-m\cdot x_0</math>.

[[Datei:Tangent as Secant Limit.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Kurzes Beispiel ==

Gegeben ist <math>f(x)=x^2</math> und <math>x_0=1</math>.

<math>f(1)=1</math>, <math>f'(x)=2x</math> und <math>m=f'(1)=2</math>.

Damit gilt:

<math>t(x)=2(x-1)+1=2x-1</math>

[[Datei:Differentiation of sine.gif|500px|rahmenlos|center]]

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== Merksatz ==

'''Punkt einsetzen, Ableitung bilden, Steigung berechnen und Tangentengleichung aufstellen.'''

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was beschreibt die Tangente an einem Funktionsgraphen?'''
(Eine Gerade mit derselben Steigung wie der Graph im Berührpunkt)
(!Eine Gerade durch zwei beliebige Punkte)
(!Eine waagerechte Linie)
(!Eine senkrechte Linie)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Womit berechnest Du die Tangentensteigung an der Stelle x0?'''
(Mit der Ableitung an der Stelle x0)
(!Mit dem Funktionswert an der Stelle null)
(!Mit dem y-Achsenabschnitt)
(!Mit dem Flächeninhalt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Daten brauchst Du für eine Tangentengleichung?'''
(Berührpunkt und Steigung)
(!Nur den y-Achsenabschnitt)
(!Nur zwei Winkel)
(!Nur eine Nullstelle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Form hat eine Geradengleichung?'''
(y gleich m mal x plus b)
(!y gleich x hoch drei)
(!y gleich m geteilt durch b)
(!y gleich x mal x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet eine positive Steigung?'''
(Die Gerade steigt von links nach rechts)
(!Die Gerade fällt von links nach rechts)
(!Die Gerade ist senkrecht)
(!Die Gerade ist ein Kreis)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Steigung gehört zu 100 Prozent?'''
(Die Steigung eins)
(!Die Steigung null)
(!Die Steigung zehn)
(!Die Steigung hundert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Winkel gehört zu 100 Prozent Steigung?'''
(45 Grad)
(!90 Grad)
(!100 Grad)
(!180 Grad)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist eine Sekante?'''
(Eine Gerade durch zwei Punkte eines Graphen)
(!Eine Gerade mit der Steigung null)
(!Eine Gerade ohne Schnittpunkt)
(!Eine Kreislinie)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Tangente an f gleich x Quadrat bei x0 gleich eins?'''
(y gleich zwei x minus eins)
(!y gleich x plus eins)
(!y gleich zwei x plus eins)
(!y gleich x Quadrat minus eins)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was verbindet der Tangens im rechtwinkligen Dreieck?'''
(Steigung und Winkel)
(!Fläche und Umfang)
(!Radius und Durchmesser)
(!Masse und Zeit)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Tangente || Gerade mit lokaler Graphensteigung
|-
| Ableitung || Steigung an einer Stelle
|-
| Berührpunkt || Punkt auf Graph und Tangente
|-
| Steigungsdreieck || Verhältnis von Höhe zu Breite
|-
| y-Achsenabschnitt || Wert b
|-
| Tangens || Verbindung von Winkel und Steigung
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Tangente'''
| Gerade am Graphen
|-
| '''Ableitung'''
| lokale Steigung
|-
| '''Sekante'''
| Gerade durch zwei Graphenpunkte
|-
| '''Steigungsdreieck'''
| Änderung der Höhe durch Änderung der Breite
|-
| '''Berührpunkt'''
| gemeinsamer Punkt von Graph und Tangente

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Tangente || Welche Gerade hat im Berührpunkt dieselbe Steigung wie der Graph?
|-
| Ableitung || Was liefert die lokale Steigung einer Funktion?
|-
| Berührpunkt || Wie heißt der gemeinsame Punkt von Graph und Tangente?
|-
| Steigung || Welche Größe beschreibt das Steigen oder Fallen?
|-
| Sekante || Welche Gerade geht durch zwei Punkte eines Graphen?
|-
| Tangens || Welche Funktion verbindet Winkel und Steigung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Tangente+-+Steigung+und+Gleichung </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine { Tangente } hat im Berührpunkt dieselbe Steigung wie der Graph. Die lokale Steigung liefert die { Ableitung }. Für die Stelle x0 gilt m gleich { f'(x0) }. Eine Gerade hat die Form y gleich m mal x plus { b }. Die Steigung eines Steigungsdreiecks ist Delta y geteilt durch { Delta x }. Eine Steigung von 100 Prozent entspricht der Steigung { eins }. Der zugehörige Winkel beträgt { 45 Grad }. Eine Gerade durch zwei Graphenpunkte heißt { Sekante }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Steigung erkennen]]: Zeichne je eine steigende, fallende und waagerechte Gerade.
# [[Steigungsdreieck zeichnen]]: Markiere an einer Geraden ein Steigungsdreieck und bestimme m.
# [[Video erklären]]: Schreibe zwei Sätze zur Bedeutung von 100 Prozent Steigung.
# [[Begriffe ordnen]]: Erstelle eine kleine Begriffskarte zu Tangente, Tangens und Steigung.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Geradengleichung]]: Bestimme die Gleichung einer Geraden durch zwei selbst gewählte Punkte.
# [[Tangente berechnen]]: Bestimme die Tangente an <math>f(x)=x^2</math> bei <math>x_0=2</math>.
# [[Prozent und Winkel]]: Erstelle eine Tabelle für 10 Prozent, 50 Prozent, 100 Prozent und 200 Prozent.
# [[Graph zeichnen]]: Zeichne eine Funktion und ihre Tangente in einem selbst gewählten Punkt.

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=== Schwer ===

# [[Tangentenvergleich]]: Vergleiche die Tangenten an <math>f(x)=x^3</math> bei <math>x_0=-1</math> und <math>x_0=1</math>.
# [[Modellieren]]: Beschreibe eine Straßensteigung als Prozentwert, Winkel und Geradengleichung.
# [[Digitale Mathematik]]: Erstelle mit einer Mathematiksoftware eine veränderliche Tangente.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video zur Formel <math>t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math>.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

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= Lernkontrolle =

# [[Fehleranalyse]]: Eine Person sagt: „100 Prozent Steigung sind 90 Grad.“ Widerlege die Aussage mit einer Skizze und einer Rechnung.
# [[Transfer]]: Eine Rampe steigt auf 8 Metern waagerechter Strecke um 1 Meter. Bestimme Steigung, Prozentwert und Winkel.
# [[Zusammenhang]]: Erkläre, warum Ableitung und Tangentensteigung denselben Wert haben.
# [[Tangentengleichung]]: Bestimme die Tangente an <math>f(x)=x^2-3x</math> bei <math>x_0=2</math> und prüfe den Berührpunkt.
# [[Vergleich]]: Erkläre den Unterschied zwischen Sekante und Tangente mithilfe einer Zeichnung.
# [[Anwendung]]: Entwickle eine eigene Sachaufgabe, in der eine Steigung als Prozentwert und als Tangentengleichung vorkommt.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für den Lernnachweis solltest Du:

# eine [[Steigung]] mit einem Steigungsdreieck bestimmen,
# Prozentsteigung und [[Steigungswinkel]] umrechnen,
# den Unterschied zwischen [[Tangens]], [[Tangente]] und [[Sekante]] erklären,
# die Tangentensteigung mit der [[Ableitung]] berechnen,
# eine [[Tangentengleichung]] aufstellen und prüfen,
# eine Anwendung verständlich darstellen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Tangente_(Geometrie) </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Tangente - Steigung und Gleichung]]'''
# [[Tangente]]
# [[Steigung]]
# [[Geradengleichung]]
# [[Ableitung]]
# [[Differentialrechnung]]
# [[Tangens]]
# [[Sekante]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Differentialrechnung]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Tangente - Steigung und Gleichung - Versionsgeschichte

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