Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:42:23Z

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{{T}}

{{BR}}
= Substitution - Gleichungen umformen und lösen =

{{BR}}
= Einleitung =

Mit einer [[Substitution]] ersetzt Du einen schwierigen [[Term]] vorübergehend durch eine neue [[Variable]]. So wird eine komplizierte [[Gleichung]] oft zu einer bekannten Gleichung.

[[Datei:Balance scale.svg|500px|rahmenlos|center|Eine Gleichung bleibt bei richtigen Umformungen im Gleichgewicht.]]

'''Ziel:''' Du kannst eine passende Substitution wählen, die neue Gleichung lösen und danach rücksubstituieren.

{{BR}}
== Grundidee ==

Beispiel:

<math>x^4-5x^2+4=0</math>

Da <math>x^2</math> mehrfach vorkommt, setzt Du:

<math>z=x^2</math>

Dann gilt <math>x^4=(x^2)^2=z^2</math>. Die neue Gleichung lautet:

<math>z^2-5z+4=0</math>

[[Datei:Eqn balance addition subtraction negation.gif|500px|rahmenlos|center|Äquivalenzumformungen verändern beide Seiten einer Gleichung passend.]]

{{BR}}
== Die vier Schritte ==

# '''[[Term]] wählen:''' Suche einen Term, der mehrfach vorkommt.
# '''[[Substitution]] durchführen:''' Setze zum Beispiel <math>z=x^2</math>.
# '''Neue [[Gleichung]] lösen:''' Löse die einfachere Gleichung nach <math>z</math>.
# '''[[Rücksubstitution]]:''' Ersetze <math>z</math> wieder durch den ursprünglichen Term.

{{BR}}
== Beispiel vollständig lösen ==

<math>z^2-5z+4=0</math>

<math>(z-1)(z-4)=0</math>

Also gilt:

<math>z_1=1</math> oder <math>z_2=4</math>

Nun setzt Du zurück:

<math>x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1</math>

<math>x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2</math>

Die [[Lösungsmenge]] ist:

<math>L=\{-2;-1;1;2\}</math>

[[Datei:Quadratic equation.gif|500px|rahmenlos|center|Eine quadratische Gleichung kann nach der Substitution mit bekannten Verfahren gelöst werden.]]

{{BR}}
== Häufige Substitutionen ==

{| class="wikitable"
! Ausgangsterme
! Sinnvolle Substitution
! Bedingung
|-
| <math>x^4</math> und <math>x^2</math>
| <math>z=x^2</math>
| <math>z\geq 0</math>
|-
| <math>x^6</math> und <math>x^3</math>
| <math>z=x^3</math>
| alle reellen <math>z</math>
|-
| <math>e^{2x}</math> und <math>e^x</math>
| <math>z=e^x</math>
| <math>z>0</math>
|}

'''Wichtig:''' Prüfe bei der [[Rücksubstitution]] den erlaubten Zahlenbereich.

[[Datei:Polynomialdeg2.svg|450px|rahmenlos|center|Der Graph einer quadratischen Funktion zeigt mögliche Nullstellen der substituierten Gleichung.]]

{{BR}}
== Video: Substitution einfach erklärt ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=dWRl_XXfo7Q |500|center}}

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===

# [[Videonotizen]]: Schreibe die Erklärung des Begriffs Substitution in einem Satz auf.
# [[Vier Schritte]]: Notiere die vier Arbeitsschritte in der richtigen Reihenfolge.
# [[Potenzgesetz]]: Erkläre, warum aus <math>x^4</math> der Term <math>z^2</math> wird, wenn <math>z=x^2</math> gilt.
# [[Parallelaufgabe]]: Löse während oder nach dem Video <math>x^4-5x^2+4=0</math>.
# [[Fehler finden]]: Erkläre, warum ein negativer Wert für <math>z</math> bei <math>z=x^2</math> keine reelle Lösung liefert.

[[Datei:Quadratic function graph key values.svg|500px|rahmenlos|center|Nullstellen einer quadratischen Funktion.]]

{{BR}}
== Merksatz ==

'''Substituieren – lösen – rücksubstituieren – Probe machen.'''

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was bedeutet Substitution?'''
(Einen Term vorübergehend ersetzen)
(!Eine Gleichung nur abschreiben)
(!Alle Variablen löschen)
(!Nur Zahlen addieren)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Substitution passt zu x⁴ und x²?'''
(z = x²)
(!z = x)
(!z = x⁴)
(!z = 2x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was wird aus x⁴ bei z = x²?'''
(z²)
(!2z)
(!z⁴)
(!x²z)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was folgt nach dem Lösen der Gleichung in z?'''
(Die Rücksubstitution)
(!Das Weglassen der Lösungen)
(!Das Vertauschen aller Vorzeichen)
(!Das Zeichnen eines Dreiecks)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Bedingung gilt bei z = x² im Bereich der reellen Zahlen?'''
(z ist größer oder gleich null)
(!z ist immer kleiner als null)
(!z muss genau eins sein)
(!z darf keine Zahl sein)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Lösungen hat x² = 4?'''
(x = 2 und x = minus 2)
(!Nur x = 2)
(!Nur x = minus 2)
(!x = 4 und x = minus 4)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Gleichung entsteht aus x⁴ minus 5x² plus 4 gleich null bei z = x²?'''
(z² minus 5z plus 4 gleich null)
(!z⁴ minus 5z² plus 4 gleich null)
(!z minus 5 plus 4 gleich null)
(!x² minus 5z plus 4 gleich null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum macht man am Ende eine Probe?'''
(Um die Lösungen zu prüfen)
(!Um neue Variablen zu erfinden)
(!Um die Gleichung länger zu machen)
(!Um alle Ergebnisse zu löschen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Substitution passt zu e hoch 2x und e hoch x?'''
(z = e hoch x)
(!z = 2x)
(!z = x²)
(!z = e hoch 2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist das Ziel einer Substitution?'''
(Eine einfachere Gleichung erhalten)
(!Die Lösungsmenge vergrößern)
(!Alle Potenzen verdoppeln)
(!Eine Gleichung ohne Rechnen lösen)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Substitution || Term ersetzen
|-
| Rücksubstitution || Ursprüngliche Variable einsetzen
|-
| Äquivalenzumformung || Lösungsmenge bleibt gleich
|-
| Nullstelle || Funktionswert ist null
|-
| Probe || Ergebnis kontrollieren
|-
| Lösungsmenge || Alle gültigen Lösungen
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Substitution'''
| Einen schwierigen Term ersetzen
|-
| '''Quadratische Gleichung'''
| Die vereinfachte Gleichung in z
|-
| '''Rücksubstitution'''
| z durch den ursprünglichen Term ersetzen
|-
| '''Probe'''
| Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen
|-
| '''Lösungsmenge'''
| Alle gültigen Ergebnisse sammeln
|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Substitution || Wie heißt das Ersetzen eines Terms durch eine neue Variable?
|-
| Variable || Welches Zeichen kann einen Term vorübergehend ersetzen?
|-
| Ruecksubstitution || Wie heißt das Zurücksetzen zur ursprünglichen Variablen?
|-
| Gleichgewicht || Welches Bild erklärt Äquivalenzumformungen besonders gut?
|-
| Nullstelle || Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
|-
| Probe || Wie heißt die Kontrolle einer gefundenen Lösung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Substitution+-+Gleichungen+umformen+und+lösen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Bei einer Substitution wird ein schwieriger { Term } ersetzt. Als neue Variable wird oft { z } verwendet. Bei <math>z=x^2</math> wird aus <math>x^4</math> der Ausdruck { z² }. Danach löst Du die neue { Gleichung }. Anschließend folgt die { Rücksubstitution }. Aus <math>x^2=9</math> entstehen zwei reelle { Lösungen }. Ein negativer Wert für <math>z</math> ist bei <math>z=x^2</math> nicht { erlaubt }. Zum Schluss kontrollierst Du das Ergebnis mit einer { Probe }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Begriffskarte]]: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Substitution und Rücksubstitution.
# [[Schrittfolge]]: Schreibe die vier Lösungsschritte auf vier einzelne Zettel und ordne sie.
# [[Mini-Erklärung]]: Erkläre einem Partner in höchstens drei Sätzen, warum man substituiert.
# [[Video-Zusammenfassung]]: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Biquadratische Gleichung]]: Löse <math>x^4-10x^2+9=0</math> mit <math>z=x^2</math>.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video zu <math>x^4-13x^2+36=0</math>.
# [[Fehleranalyse]]: Prüfe die Aussage „Aus <math>x^2=16</math> folgt nur <math>x=4</math>“.
# [[Aufgabenvergleich]]: Vergleiche das Lösen mit und ohne Substitution.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Exponentialgleichung]]: Löse <math>e^{2x}-5e^x+6=0</math> mit <math>z=e^x</math>.
# [[Eigene Aufgabe]]: Erfinde eine biquadratische Gleichung mit vier reellen Lösungen.
# [[Bedingungen]]: Erkläre die Unterschiede zwischen <math>z=x^2</math>, <math>z=x^3</math> und <math>z=e^x</math>.
# [[Mathematische Modellierung]]: Entwickle ein Anwendungsproblem, das zu einer substituierbaren Gleichung führt.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Strategiewahl]]: Entscheide bei drei Gleichungen, ob eine Substitution sinnvoll ist, und begründe Deine Wahl.
# [[Transfer]]: Übertrage das Verfahren von <math>x^4+px^2+q=0</math> auf <math>x^6+px^3+q=0</math>.
# [[Fehlerdiagnose]]: Untersuche einen Lösungsweg, in dem die Rücksubstitution fehlt, und verbessere ihn.
# [[Zahlenbereich]]: Erkläre, wie die Bedingung <math>z\geq 0</math> die Lösungsmenge beeinflusst.
# [[Methodenvergleich]]: Vergleiche Substitution, Faktorisieren und die [[pq-Formel]] an einem selbst gewählten Beispiel.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis sollst Du zeigen, dass Du:

# eine passende [[Substitution]] erkennst,
# die neue [[Gleichung]] korrekt aufstellst,
# die Gleichung in der Hilfsvariablen löst,
# richtig [[Rücksubstitution|rücksubstituierst]],
# Bedingungen des Zahlenbereichs beachtest,
# eine [[Probe]] durchführst,
# Deinen Lösungsweg verständlich erklärst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Substitution_(Mathematik) </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Substitution - Gleichungen umformen und lösen]]'''
# [[Substitution]]
# [[Gleichung]]
# [[Term]]
# [[Variable]]
# [[Äquivalenzumformung]]
# [[Quadratische Gleichung]]
# [[Biquadratische Gleichung]]
# [[Rücksubstitution]]
# [[Nullstelle]]
# [[Lösungsmenge]]
# [[Probe]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Gleichungen]]
[[Kategorie:Klasse 9-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Substitution - Gleichungen umformen und lösen - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt