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2026-07-28T07:54:38Z

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= Stehende Wellen - Physik =

[[Datei:Standing wave.gif|500px|rahmenlos|center]]

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= Einleitung =

Eine '''stehende Welle''' wirkt so, als würde sie sich nicht durch den Raum bewegen. Stattdessen bleiben bestimmte Orte dauerhaft in Ruhe, während andere besonders stark schwingen. Solche Muster entstehen meist, wenn sich zwei gleichartige Wellen in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten und überlagern. Häufig ist eine der beiden Wellen die Reflexion der anderen.

Du begegnest stehenden Wellen bei [[Saite|Saiten]], in [[Blasinstrument|Blasinstrumenten]], in Räumen, auf Metallplatten, in Mikrowellenfeldern und in Antennen. Das Thema verbindet [[Schwingung]], [[Welle]], [[Interferenz (Physik)|Interferenz]], [[Reflexion (Physik)|Reflexion]] und [[Resonanz]].

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=6XQ-57RaD64 |500|center}}

{{BR}}
= Lernziele =

# [[Stehende Welle]]: Du erklärst, wie eine stehende Welle entsteht.
# [[Wellenknoten und Wellenbauch|Knoten und Bäuche]]: Du erkennst und beschreibst charakteristische Orte.
# [[Wellenlänge]]: Du bestimmst die Wellenlänge aus Abständen im Wellenbild.
# [[Eigenfrequenz]]: Du berechnest Grundschwingungen und Oberschwingungen.
# [[Akustik]]: Du überträgst das Modell auf Saiten und Luftsäulen.
# [[Experiment]]: Du planst einfache Untersuchungen und wertest Messdaten aus.

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= Grundprinzip =

Eine stehende Welle entsteht durch die '''Überlagerung zweier gegenläufiger Wellen gleicher Frequenz und gleicher Wellenlänge'''. Bei idealer Ausbildung besitzen beide Wellen außerdem die gleiche Amplitude. Durch [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] entstehen ortsfeste Bereiche der Verstärkung und Auslöschung.

[[Datei:Standing Wave Sum.gif|500px|rahmenlos|center]]

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== Entstehung durch Überlagerung ==

Für zwei harmonische Wellen kann man schreiben:

<math>y_1(x,t)=A\sin(kx-\omega t)</math>

<math>y_2(x,t)=A\sin(kx+\omega t)</math>

Mit dem Additionssatz folgt für die Summe:

<math>y(x,t)=y_1+y_2=2A\sin(kx)\cos(\omega t)</math>

Der Faktor <math>\sin(kx)</math> legt fest, wie groß die Schwingungsamplitude an einem Ort ist. Der Faktor <math>\cos(\omega t)</math> beschreibt die zeitliche Schwingung. Das Muster wandert nicht, obwohl die einzelnen Teilwellen Energie in entgegengesetzte Richtungen transportieren.

[[Datei:Standingwaves.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Knoten, Bäuche und Abstände ==

'''Knoten''' sind Orte, an denen die Auslenkung immer null bleibt. '''Bäuche''' sind Orte mit maximaler Schwingungsamplitude. Alle Punkte zwischen zwei benachbarten Knoten schwingen gleichphasig; im nächsten Abschnitt der Welle ist die Schwingung gegenphasig.

[[Datei:StandingWave.png|500px|rahmenlos|center]]

Für die Knoten gilt:

<math>x_n=n\frac{\lambda}{2}</math>

Für die Bäuche gilt:

<math>x_n=(2n+1)\frac{\lambda}{4}</math>

Daraus folgen zwei wichtige Abstände:

# [[Wellenknoten]]: Zwei benachbarte Knoten sind um <math>\frac{\lambda}{2}</math> voneinander entfernt.
# [[Wellenbauch]]: Ein Knoten und der nächste Bauch sind um <math>\frac{\lambda}{4}</math> voneinander entfernt.

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== Resonanz und Eigenfrequenzen ==

Ein begrenztes System kann nicht bei jeder Frequenz ein stabiles stehendes Wellenmuster bilden. Die Randbedingungen erlauben nur bestimmte '''Eigenmoden'''. Wird das System mit einer passenden '''Eigenfrequenz''' angeregt, tritt [[Resonanz]] auf und die Amplitude kann stark anwachsen. Reibung und andere Verluste begrenzen die Amplitude.

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= Stehende Wellen auf einer Saite =

Bei einer Saite mit zwei festen Enden liegen an beiden Enden Knoten. In die Saitenlänge <math>L</math> muss deshalb eine ganze Zahl von halben Wellenlängen passen:

<math>L=n\frac{\lambda_n}{2}</math>

Daraus folgt:

<math>\lambda_n=\frac{2L}{n}</math>

Mit <math>v=f\lambda</math> erhält man die Eigenfrequenzen:

<math>f_n=n\frac{v}{2L}</math>

Dabei ist <math>n=1,2,3,\ldots</math>. Für <math>n=1</math> entsteht die '''Grundschwingung'''. Höhere Werte von <math>n</math> beschreiben Oberschwingungen.

[[Datei:Standing-waves-string.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Standing waves on a string.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=i0uvFPjwCLA |500|center}}

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== Einfluss von Spannung und Massendichte ==

Für eine idealisierte Saite gilt:

<math>v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}</math>

<math>F</math> ist die Spannkraft und <math>\mu</math> die Masse pro Länge. Eine größere Spannkraft erhöht die Wellengeschwindigkeit und damit die Frequenz. Eine schwerere Saite mit größerer Längendichte schwingt bei gleicher Länge und Spannung tiefer.

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== Rechenbeispiel Saite ==

Eine Saite ist <math>L=0{,}80\,\mathrm{m}</math> lang. Die Wellengeschwindigkeit beträgt <math>v=160\,\mathrm{m/s}</math>.

<math>f_1=\frac{v}{2L}=\frac{160\,\mathrm{m/s}}{1{,}60\,\mathrm{m}}=100\,\mathrm{Hz}</math>

Die dritte Eigenfrequenz ist:

<math>f_3=3f_1=300\,\mathrm{Hz}</math>

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= Stehende Schallwellen in Luftsäulen =

Auch in Rohren entstehen stehende Wellen. Dabei muss man zwischen '''Teilchenauslenkung''' beziehungsweise Schallschnelle und '''Schalldruck''' unterscheiden. An einem offenen Rohrende liegt näherungsweise ein Druckknoten und ein Schwingungsbauch der Luftteilchen. An einem geschlossenen Ende liegt ein Druckbauch und ein Schwingungsknoten.

[[Datei:Standing-waves-pipe-closed-and-open-end.svg|500px|rahmenlos|center]]

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== Beidseitig offenes Rohr ==

Bei einem beidseitig offenen Rohr gilt für die möglichen Frequenzen näherungsweise:

<math>f_n=n\frac{c}{2L}</math>

<math>c</math> ist die Schallgeschwindigkeit. Es können die Grundschwingung und ganzzahlige Vielfache davon auftreten.

{{BR}}
== Einseitig geschlossenes Rohr ==

Bei einem einseitig geschlossenen Rohr passt in der Grundschwingung ein Viertel der Wellenlänge in das Rohr:

<math>L=\frac{\lambda_1}{4}</math>

Die Eigenfrequenzen sind:

<math>f_n=(2n-1)\frac{c}{4L}</math>

Im idealisierten Modell treten nur ungerade Vielfache der Grundfrequenz auf.

[[Datei:Half-open pipe wave.gif|500px|rahmenlos|center]]

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== Rechenbeispiel Luftsäule ==

Ein einseitig geschlossenes Rohr ist <math>L=0{,}85\,\mathrm{m}</math> lang. Mit <math>c=343\,\mathrm{m/s}</math> ergibt sich:

<math>f_1=\frac{c}{4L}=\frac{343\,\mathrm{m/s}}{3{,}40\,\mathrm{m}}\approx101\,\mathrm{Hz}</math>

Die nächste erlaubte Eigenfrequenz ist näherungsweise <math>f_2=3f_1\approx303\,\mathrm{Hz}</math>.

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= Sichtbare Muster und Experimente =

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== Kundtsches Rohr ==

Im [[Kundtsches Rohr|Kundtschen Rohr]] wird eine stehende Schallwelle in einem Rohr erzeugt. Feines Pulver sammelt sich an charakteristischen Stellen. Aus dem Abstand benachbarter Pulverhäufchen kann die halbe Wellenlänge und damit die Schallgeschwindigkeit bestimmt werden.

[[Datei:Kundt tube.png|500px|rahmenlos|center]]

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== Rubenssches Flammenrohr ==

Ein [[Rubenssches Flammenrohr]] macht Druckverteilungen einer stehenden Schallwelle durch unterschiedlich hohe Flammen sichtbar. Das Experiment darf wegen brennbarer Gase und offener Flammen nur fachkundig und mit geeigneten Schutzmaßnahmen durchgeführt werden.

[[Datei:Flame-tube-resonance-overlay.jpg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=5lM1vP8RrPs |500|center}}

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== Chladnische Klangfiguren ==

Auf einer schwingenden Metallplatte bilden sich zweidimensionale stehende Wellen. Sand wandert von stark schwingenden Bereichen weg und sammelt sich entlang der Knotenlinien. Verschiedene Eigenfrequenzen erzeugen unterschiedliche geometrische Muster.

[[Datei:Quadratic Chladni plate cropped version.jpg|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=q7HaTrSqeQg |500|center}}

{{BR}}
= Anwendungen =

# [[Musikinstrument]]: Saiten und Luftsäulen bilden Eigenmoden, die Grundton und Klangfarbe bestimmen.
# [[Raumakustik]]: Raummoden können an manchen Orten starke und an anderen schwache Bässe verursachen.
# [[Mikrowelle]]: Reflektierte elektromagnetische Wellen können stehende Felder bilden.
# [[Antenne]]: Spannung und Strom können entlang einer Leitung oder Antenne stehende Wellen ausbilden.
# [[Laser]]: Im optischen Resonator werden nur bestimmte Feldmoden besonders verstärkt.

[[Datei:Dipole antenna standing waves animation 1-10fps.gif|500px|rahmenlos|center]]

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=H2qsHAgKo6g |500|center}}

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= Merksätze =

# Eine stehende Welle entsteht durch Interferenz gegenläufiger Wellen.
# Knoten bleiben dauerhaft ohne Auslenkung.
# Bäuche besitzen die größte Amplitude.
# Der Abstand zweier benachbarter Knoten beträgt <math>\frac{\lambda}{2}</math>.
# Resonanz tritt bei Anregung nahe einer Eigenfrequenz auf.
# Die Randbedingungen bestimmen, welche Eigenmoden möglich sind.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Bedingung begünstigt die Bildung einer idealen stehenden Welle?'''
(Zwei gegenläufige Wellen gleicher Frequenz und Amplitude)
(!Zwei Wellen mit völlig verschiedenen Frequenzen)
(!Eine einzelne einmalige Auslenkung ohne Reflexion)
(!Eine Welle ohne räumliche Ausbreitung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was kennzeichnet einen Knoten?'''
(Die Auslenkung bleibt dort immer null)
(!Die Auslenkung ist dort immer maximal)
(!Die Frequenz ist dort null)
(!Die Wellenlänge wird dort unendlich)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist der Abstand zweier benachbarter Knoten?'''
(Eine halbe Wellenlänge)
(!Eine ganze Wellenlänge)
(!Eine viertel Wellenlänge)
(!Zwei Wellenlängen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie groß ist der Abstand zwischen einem Knoten und dem nächsten Bauch?'''
(Eine viertel Wellenlänge)
(!Eine halbe Wellenlänge)
(!Eine ganze Wellenlänge)
(!Drei halbe Wellenlängen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt die Grundfrequenz einer an beiden Enden festen Saite?'''
(f gleich v geteilt durch zwei L)
(!f gleich zwei L geteilt durch v)
(!f gleich v mal zwei L)
(!f gleich L geteilt durch zwei v)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Frequenz besitzt die dritte Eigenmode einer idealen Saite im Vergleich zur Grundfrequenz?'''
(Das Dreifache)
(!Das Doppelte)
(!Die Hälfte)
(!Das Vierfache)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Randbedingung gilt näherungsweise am offenen Ende eines Luftrohres für den Schalldruck?'''
(Dort liegt ein Druckknoten)
(!Dort liegt immer ein Druckbauch)
(!Dort gibt es keinen Schall)
(!Dort ist die Schallgeschwindigkeit null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Harmonischen treten im idealen einseitig geschlossenen Rohr auf?'''
(Ungerade Vielfache der Grundfrequenz)
(!Nur gerade Vielfache der Grundfrequenz)
(!Alle Frequenzen ohne Einschränkung)
(!Nur die Grundfrequenz)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet Resonanz?'''
(Starke Antwort bei Anregung nahe einer Eigenfrequenz)
(!Vollständige Auslöschung jeder Schwingung)
(!Unabhängigkeit von der Anregungsfrequenz)
(!Gleichförmige Bewegung ohne Schwingung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo sammelt sich Sand bei einer Chladni-Figur?'''
(Entlang der Knotenlinien)
(!Nur an den Schwingungsbäuchen)
(!Immer am Rand der Platte)
(!Ausschließlich in der Plattenmitte)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Knoten || Ort ohne Auslenkung
|-
| Bauch || Ort maximaler Amplitude
|-
| Grundschwingung || Niedrigste Eigenmode
|-
| Resonanz || Starke Antwort bei passender Anregung
|-
| Halbe Wellenlänge || Abstand benachbarter Knoten
|-
| Chladni-Figur || Sichtbare Knotenlinien auf einer Platte
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Knoten'''
| Ort mit dauerhaft verschwindender Auslenkung
|-
| '''Bauch'''
| Ort mit maximaler Schwingungsamplitude
|-
| '''Grundschwingung'''
| Eigenmode mit der kleinsten Frequenz
|-
| '''Oberton'''
| Schwingungsanteil oberhalb des Grundtons
|-
| '''Resonanz'''
| Große Amplitude bei passender Anregungsfrequenz

|}
{{E}}

<br>
...
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Knoten || Wie heißt ein Ort, der bei einer stehenden Welle in Ruhe bleibt?
|-
| Bauch || Wie heißt ein Ort mit besonders großer Amplitude?
|-
| Resonanz || Wie heißt die starke Reaktion auf eine passende Anregungsfrequenz?
|-
| Interferenz || Wie heißt die Überlagerung von Wellen?
|-
| Grundton || Wie heißt der tiefste Ton eines schwingenden Systems?
|-
| Schallwelle || Welche Wellenart breitet sich in Luft als Druckschwankung aus?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Stehende+Wellen+Physik </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine stehende Welle entsteht durch die { Überlagerung } gegenläufiger Wellen. Ein Ort ohne Auslenkung heißt { Knoten }. Ein Ort mit maximaler Amplitude heißt { Bauch }. Der Abstand zweier benachbarter Knoten beträgt eine { halbe } Wellenlänge. Bei passender Anregungsfrequenz kann { Resonanz } auftreten. Die niedrigste Eigenmode heißt { Grundschwingung }. Bei einer beidseitig festen Saite liegen an beiden Enden { Knoten }. Im einseitig geschlossenen Rohr passen in der Grundmode ein { Viertel } der Wellenlänge in die Rohrlänge.
</quiz>

<br>

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= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Wellenmodell]]: Zeichne eine stehende Welle mit mindestens drei Bäuchen und markiere Knoten, Bäuche und eine halbe Wellenlänge.
# [[Seilwelle]]: Erzeuge mit einem langen Seil oder einer Feder verschiedene stehende Wellen und dokumentiere Deine Beobachtungen.
# [[Musikinstrument]]: Suche an einem Saiten- oder Blasinstrument nach Hinweisen auf Grundschwingung und Oberschwingungen.
# [[Begriffskarte]]: Gestalte eine übersichtliche Karte mit den Begriffen Welle, Reflexion, Interferenz, Knoten, Bauch und Resonanz.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Messung]]: Bestimme an einem Foto oder Video den Knotenabstand und berechne daraus die Wellenlänge.
# [[Frequenzanalyse]]: Nimm einen Ton eines Instruments auf und untersuche sein Frequenzspektrum mit einer geeigneten App.
# [[Experimentplanung]]: Plane einen sicheren Versuch, mit dem Du die Abhängigkeit der Saitenfrequenz von Länge oder Spannung untersuchst.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein kurzes Video, das den Unterschied zwischen fortschreitender und stehender Welle erklärt.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Saitenschwingung]]: Messe mehrere Eigenfrequenzen einer Saite und prüfe, ob ihre Verhältnisse ganzzahlig sind.
# [[Akustik]]: Untersuche in einem Raum Orte mit besonders starkem und schwachem Bass und deute sie mithilfe von Raummoden.
# [[Modellkritik]]: Vergleiche das ideale Rohrmodell mit einem echten Blasinstrument und erläutere Abweichungen.
# [[Simulation]]: Programmiere oder nutze eine Simulation zweier gegenläufiger Wellen und variiere Frequenz, Amplitude und Phasenlage.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellbildung]]: Erkläre, warum eine reflektierte Welle zusammen mit der hinlaufenden Welle ein ortsfestes Muster bilden kann.
# [[Transfer]]: Eine Saite wird bei gleicher Spannung auf die halbe Länge verkürzt. Begründe, wie sich die Grundfrequenz verändert.
# [[Analyse]]: In einem Versuch beträgt der Abstand benachbarter Knoten 0,30 Meter. Bestimme die Wellenlänge und erläutere Deinen Rechenweg.
# [[Vergleich]]: Vergleiche die Randbedingungen einer festen Saite mit denen eines einseitig geschlossenen Luftrohres.
# [[Bewertung]]: Beurteile, warum starke Raummoden in einem Musikstudio problematisch sein können.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Messung liefert keine exakt ganzzahligen Frequenzverhältnisse. Nenne begründete Ursachen aus dem realen Aufbau.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

# Du erklärst die Entstehung stehender Wellen mithilfe von Reflexion und Interferenz.
# Du unterscheidest Knoten, Bäuche, Grundschwingung und Oberschwingung.
# Du nutzt die Abstände <math>\frac{\lambda}{2}</math> und <math>\frac{\lambda}{4}</math> sicher.
# Du berechnest Eigenfrequenzen von Saiten und einfachen Luftsäulen.
# Du deutest Diagramme, Fotos oder Messwerte eines stehenden Wellenmusters.
# Du erklärst den Zusammenhang zwischen Randbedingungen und erlaubten Eigenmoden.
# Du überträgst das Modell auf Musikinstrumente, Raumakustik oder elektromagnetische Wellen.
# Du dokumentierst ein Experiment nachvollziehbar und reflektierst Messunsicherheiten.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Stehende_Welle </iframe>

<br>

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Stehende Welle]]'''
# [[Schwingung]]
# [[Welle]]
# [[Interferenz (Physik)|Interferenz]]
# [[Reflexion (Physik)|Reflexion]]
# [[Resonanz]]
# [[Akustik]]
# [[Musikinstrument]]
|}

[[Kategorie:Physik]]
[[Kategorie:Wellenlehre]]
[[Kategorie:Akustik]]
[[Kategorie:Mechanik]]
[[Kategorie:Experiment]]
[[Kategorie:Klasse 9-10]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Stehende Wellen - Physik - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt