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2026-07-13T21:41:24Z

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{{T}}

{{BR}}
= Stammfunktionen - Zusammenfassung fürs Mathe-Abitur =

{{BR}}
= Einleitung =

Eine [[Stammfunktion]] macht das [[Ableiten]] rückgängig. Sie ist wichtig für [[Integralrechnung]], [[Flächenberechnung]] und viele Aufgaben im [[Abitur]].

'''Merksatz:''' F ist eine Stammfunktion von f, wenn gilt: <math>F'(x)=f(x)</math>.

[[Datei:Slope Field.png|500px|rahmenlos|center]]

Das Bild zeigt mehrere Kurven mit derselben Ableitung. Sie unterscheiden sich nur durch eine Konstante.

{{BR}}
= Das Wichtigste in Kürze =

{{BR}}
== Grundidee ==

Zu einer Funktion f gibt es meist viele Stammfunktionen:

<math>F(x)+C</math>

Dabei ist <math>C</math> eine beliebige [[Konstante]]. Beim Ableiten verschwindet sie.

'''Probe:''' Leite Deine Stammfunktion ab. Das Ergebnis muss wieder f sein.

{{BR}}
== Rechenregeln ==

{| class="wikitable" style="margin:auto"
! Funktion <math>f(x)</math>
! Stammfunktion <math>F(x)</math>
|-
| <math>x^n</math> mit <math>n\neq -1</math>
| <math>\frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>
|-
| <math>k</math>
| <math>kx+C</math>
|-
| <math>\frac{1}{x}</math>
| <math>\ln|x|+C</math>
|-
| <math>e^x</math>
| <math>e^x+C</math>
|-
| <math>a^x</math>
| <math>\frac{a^x}{\ln(a)}+C</math>
|-
| <math>\sin(x)</math>
| <math>-\cos(x)+C</math>
|-
| <math>\cos(x)</math>
| <math>\sin(x)+C</math>
|}

Bei einer Summe integrierst Du jeden Summanden einzeln. Einen festen Faktor lässt Du stehen.

'''Beispiel:'''

<math>f(x)=3x^2-4x+5</math>

<math>F(x)=x^3-2x^2+5x+C</math>

[[Datei:Sine cosine one period.svg|500px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Exp e.svg|450px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Natural logarithm integral.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lineare innere Funktion ==

Bei <math>f(ax+b)</math> teilst Du zusätzlich durch den inneren Faktor a.

'''Beispiel:'''

<math>\int \cos(3x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\sin(3x)+C</math>

Diese Regel ist die einfache Form der [[Substitution]].

{{BR}}
== Bestimmtes Integral ==

Mit einer Stammfunktion berechnest Du ein bestimmtes Integral:

<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)</math>

Das ist der [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]].

Die folgende Grafik zeigt eine Funktion und eine zugehörige Stammfunktion.

[[Datei:Graph of the integral of the secant.png|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
= Lernvideo =

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=lzf4I231_ZI |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Formelsammlung]]: Schreibe während des Videos alle genannten Stammfunktionen auf.
# [[Potenzregel]]: Stoppe nach einem Beispiel zur Potenzregel und rechne es ohne Hilfe noch einmal.
# [[Integrationskonstante]]: Erkläre in einem Satz, warum bei einer unbestimmten Integration immer <math>+C</math> ergänzt wird.
# [[Ableitungsprobe]]: Wähle zwei Ergebnisse aus dem Video und prüfe sie durch Ableiten.
# [[Fehleranalyse]]: Notiere einen typischen Fehler aus dem Video oder erfinde selbst einen. Korrigiere ihn.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wann ist F eine Stammfunktion von f?'''
(Wenn F Strich gleich f gilt)
(!Wenn F gleich f Strich gilt)
(!Wenn F mal f gleich null gilt)
(!Wenn F plus f gleich eins gilt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ergänzt man bei einer unbestimmten Integration?'''
(Eine Integrationskonstante)
(!Eine Nullstelle)
(!Einen Definitionsbereich)
(!Einen Grenzwert)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Stammfunktion gehört zu x hoch zwei?'''
(Ein Drittel x hoch drei plus C)
(!Zwei x plus C)
(!x hoch eins plus C)
(!Drei x hoch zwei plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Stammfunktion gehört zu e hoch x?'''
(e hoch x plus C)
(!x mal e hoch x plus C)
(!ln x plus C)
(!e hoch zwei x plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Stammfunktion gehört zu cos x?'''
(sin x plus C)
(!minus sin x plus C)
(!cos x plus C)
(!minus cos x plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Stammfunktion gehört zu sin x?'''
(minus cos x plus C)
(!cos x plus C)
(!sin x plus C)
(!minus sin x plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Stammfunktion gehört zu eins durch x?'''
(ln Betrag von x plus C)
(!eins durch x Quadrat plus C)
(!e hoch x plus C)
(!x mal ln x plus C)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was passiert mit einem konstanten Faktor beim Integrieren?'''
(Er bleibt als Faktor stehen)
(!Er wird immer null)
(!Er wird quadriert)
(!Er wird durch x ersetzt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie berechnet man ein bestimmtes Integral mit einer Stammfunktion?'''
(Obere Einsetzung minus untere Einsetzung)
(!Untere Einsetzung minus obere Einsetzung)
(!Beide Einsetzungen addieren)
(!Nur die obere Grenze einsetzen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie prüfst Du eine gefundene Stammfunktion?'''
(Durch Ableiten)
(!Durch Quadrieren)
(!Durch Kürzen)
(!Durch Spiegeln)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Potenzregel || Exponent um eins erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen
|-
| Integrationskonstante || C
|-
| Ableitungsprobe || Stammfunktion ableiten
|-
| Hauptsatz || F von b minus F von a
|-
| Sinus || Minus Kosinus als Stammfunktion
|-
| Kosinus || Sinus als Stammfunktion
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Stammfunktion
|-
| '''Potenzfunktion'''
| Potenzregel
|-
| '''Exponentialfunktion'''
| Selbststammfunktion
|-
| '''Kehrwertfunktion'''
| Logarithmusfunktion
|-
| '''Sinusfunktion'''
| Negativer Kosinus
|-
| '''Kosinusfunktion'''
| Positiver Sinus
|}

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Ableitung || Wie prüfst Du eine Stammfunktion?
|-
| Konstante || Was bedeutet der Buchstabe C?
|-
| Potenzregel || Welche Regel nutzt Du bei x hoch n?
|-
| Logarithmus || Welche Funktion ist eine Stammfunktion von eins durch x?
|-
| Kosinus || Welche Funktion steht mit Minuszeichen als Stammfunktion von Sinus?
|-
| Hauptsatz || Welcher Satz verbindet Stammfunktion und bestimmtes Integral?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Stammfunktionen+Mathe+Abitur </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Eine Funktion F ist eine Stammfunktion von f, wenn ihre { Ableitung } gleich f ist. Bei der Potenzregel wird der Exponent um { eins } erhöht. Danach teilst Du durch den { neuen Exponenten }. Die Zahl C heißt { Integrationskonstante }. Ein bestimmtes Integral berechnest Du mit { F(b)-F(a) }. Eine gefundene Stammfunktion prüfst Du durch { Ableiten }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===
# [[Merkkarte]]: Gestalte eine Karte mit vier wichtigen Stammfunktionen.
# [[Ableitungsprobe]]: Prüfe <math>F(x)=x^3+2x</math> durch Ableiten.
# [[Fehlersuche]]: Erkläre den Fehler in <math>\int x^2\,\mathrm{d}x=2x+C</math>.
# [[Video-Notiz]]: Fasse das Lernvideo in fünf kurzen Sätzen zusammen.

{{BR}}
=== Standard ===
# [[Polynomfunktion]]: Bestimme eine Stammfunktion zu <math>f(x)=4x^3-6x+2</math>.
# [[Trigonometrische Funktion]]: Bestimme eine Stammfunktion zu <math>f(x)=3\cos(x)-2\sin(x)</math>.
# [[Lineare innere Funktion]]: Bestimme eine Stammfunktion zu <math>f(x)=\cos(5x)</math>.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein einminütiges Video zur Potenzregel.

{{BR}}
=== Schwer ===
# [[Parameter]]: Bestimme alle Stammfunktionen zu <math>f_a(x)=ax^2+2x</math>.
# [[Bestimmtes Integral]]: Berechne <math>\int_0^2 (3x^2-2x)\,\mathrm{d}x</math> und deute das Ergebnis.
# [[Rekonstruktion]]: Finde eine Funktion F mit <math>F'(x)=2x-4</math> und <math>F(1)=3</math>.
# [[Transfer]]: Erfinde eine Sachaufgabe, in der aus einer Änderungsrate ein Bestand berechnet wird.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Vergleich]]: Erkläre den Unterschied zwischen einer Stammfunktion und einem bestimmten Integral.
# [[Begründung]]: Begründe, warum sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion nur durch eine Konstante unterscheiden.
# [[Strategie]]: Beschreibe, wie Du bei <math>f(x)=6x^5+4e^x-3\cos(x)</math> vorgehst.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person schreibt <math>\int \sin(x)\,\mathrm{d}x=\cos(x)+C</math>. Erkläre und korrigiere den Fehler.
# [[Anwendung]]: Eine Geschwindigkeit ist gegeben. Erkläre, wie eine Stammfunktion hilft, den zurückgelegten Weg zu bestimmen.
# [[Abiturtransfer]]: Entscheide, wann eine Ableitungsprobe besonders sinnvoll ist, und begründe Deine Entscheidung.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# [[Stammfunktion]]en sicher bestimmst.
# die [[Potenzregel]], [[Summenregel]] und [[Faktorregel]] anwendest.
# wichtige Stammfunktionen zu <math>e^x</math>, <math>\frac{1}{x}</math>, [[Sinus]] und [[Kosinus]] kennst.
# die [[Integrationskonstante]] richtig verwendest.
# Ergebnisse durch [[Ableitungsprobe]] kontrollierst.
# bestimmte Integrale mit <math>F(b)-F(a)</math> berechnest.
# Rechenwege klar erklärst und Fehler begründest.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Stammfunktionen - Zusammenfassung fürs Mathe-Abitur]]'''
# [[Stammfunktion]]
# [[Integralrechnung]]
# [[Potenzregel]]
# [[Integrationskonstante]]
# [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]]
# [[Bestimmtes Integral]]
# [[Ableitungsprobe]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Abitur]]
[[Kategorie:Klasse 11-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Stammfunktionen - Zusammenfassung fürs Mathe-Abitur - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt