Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:41:23Z

aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

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{{T}}

{{BR}}
= Sinus und Kosinus - Ableitung und Nullstellen =

{{BR}}
= Einleitung =

[[Sinus und Kosinus]] beschreiben Wellen und regelmäßige Bewegungen. In diesem aiMOOC lernst Du die wichtigsten [[Ableitung|Ableitungen]] und [[Nullstelle|Nullstellen]]. Du arbeitest im [[Bogenmaß]] mit der Zahl <math>\pi</math>.

[[Datei:Trigonometric functions derivation animation.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach dem Kurs kannst Du:

# [[Ableitung]]: Sinus und Kosinus ableiten.
# [[Nullstelle]]: alle Nullstellen mit <math>k\in\mathbb{Z}</math> angeben.
# [[Funktionsgraph]]: Nullstellen, Steigung und Extremstellen verbinden.
# [[Kettenregel]]: einfache Funktionen wie <math>\sin(3x)</math> ableiten.

{{BR}}
== Lernvideo ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=xCQksUnNqVo |500|center}}

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===

# [[Video-Notizen]]: Schreibe die beiden Ableitungsregeln auf.
# [[Nullstellen]]: Notiere die allgemeinen Nullstellen von Sinus und Kosinus.
# [[Graphen]]: Zeichne während des Videos eine Periode beider Funktionen.
# [[Vergleich]]: Markiere Stellen, an denen der Graph steigt, fällt oder waagerecht ist.
# [[Erklärung]]: Formuliere mit eigenen Worten, warum bei der Kosinus-Ableitung ein Minuszeichen steht.
# [[Selbstkontrolle]]: Prüfe nach dem Video Deine Ergebnisse mit der Formelsammlung dieses Kurses.

{{BR}}
= Kurz erklärt =

{{BR}}
== Sinus und Kosinus ==

Am [[Einheitskreis]] ist der Kosinus die x-Koordinate und der Sinus die y-Koordinate.

[[Datei:Unit circle sine cosine.svg|500px|rahmenlos|center]]

Beide Funktionen wiederholen sich nach <math>2\pi</math>.

[[Datei:Sine Cosine Graph.svg|500px|rahmenlos|center]]

{| class="wikitable" style="margin:auto"
! Funktion
! Startwert bei <math>x=0</math>
! Periode
|-
| <math>f(x)=\sin(x)</math>
| <math>0</math>
| <math>2\pi</math>
|-
| <math>g(x)=\cos(x)</math>
| <math>1</math>
| <math>2\pi</math>
|}

{{BR}}
== Ableitungen ==

Die [[Ableitung]] beschreibt die Steigung eines Graphen.

<math>\left(\sin(x)\right)'=\cos(x)</math>

<math>\left(\cos(x)\right)'=-\sin(x)</math>

[[Datei:Differentiation of sine.gif|500px|rahmenlos|center]]

'''Merke:''' Sinus wird zu Kosinus. Kosinus wird zu Minus-Sinus.

{{BR}}
== Nullstellen ==

Eine [[Nullstelle]] liegt dort, wo der Graph die x-Achse schneidet oder berührt.

'''Sinus:'''

<math>\sin(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math>

[[Datei:Sin.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Kosinus:'''

<math>\cos(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}</math>

[[Datei:The zeros of f(x) = cos x.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Zusammenhang mit Extremstellen ==

Ist die Ableitung null, hat der Graph oft eine waagerechte Tangente.

# Bei <math>f(x)=\sin(x)</math> gilt <math>f'(x)=\cos(x)</math>. Die möglichen Extremstellen des Sinus liegen deshalb an den Nullstellen des Kosinus.
# Bei <math>g(x)=\cos(x)</math> gilt <math>g'(x)=-\sin(x)</math>. Die möglichen Extremstellen des Kosinus liegen deshalb an den Nullstellen des Sinus.

{{BR}}
== Vertiefung: Kettenregel ==

Für <math>a\neq 0</math> gilt:

{| class="wikitable" style="margin:auto"
! Funktion
! Ableitung
! Nullstellen
|-
| <math>f(x)=\sin(ax+b)</math>
| <math>f'(x)=a\cos(ax+b)</math>
| <math>x=\frac{k\pi-b}{a}</math>
|-
| <math>g(x)=\cos(ax+b)</math>
| <math>g'(x)=-a\sin(ax+b)</math>
| <math>x=\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi-b}{a}</math>
|}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung von Sinus von x?'''
(Kosinus von x)
(!Minus Kosinus von x)
(!Sinus von x)
(!Minus Sinus von x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung von Kosinus von x?'''
(Minus Sinus von x)
(!Sinus von x)
(!Kosinus von x)
(!Minus Kosinus von x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo liegen alle Nullstellen von sin(x)?'''
(Bei k mal Pi)
(!Bei Pi halbe plus k mal Pi)
(!Nur bei null)
(!Bei zwei Pi plus k)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo liegen alle Nullstellen von cos(x)?'''
(Bei Pi halbe plus k mal Pi)
(!Bei k mal Pi)
(!Nur bei Pi)
(!Bei zwei k plus Pi)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet Nullstelle?'''
(Der Funktionswert ist null)
(!Die Ableitung ist immer eins)
(!Der Graph hat keine Steigung)
(!Die Funktion hat keine Periode)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt die erste Ableitung?'''
(Die Steigung des Graphen)
(!Nur den Startwert)
(!Nur die Nullstellen)
(!Die Länge der x-Achse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''An welcher Stelle ist die Ableitung von sin(x) gleich null?'''
(Bei Pi halbe)
(!Bei null)
(!Bei Pi)
(!Bei zwei Pi)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Wert hat cos(0)?'''
(1)
(!0)
(!-1)
(!Pi)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie lautet die Ableitung von Sinus von drei x?'''
(Drei mal Kosinus von drei x)
(!Kosinus von drei x)
(!Minus drei mal Sinus von drei x)
(!Drei mal Sinus von x)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Nach welcher Länge wiederholen sich Sinus und Kosinus?'''
(Nach zwei Pi)
(!Nach Pi halbe)
(!Nach einem Drittel Pi)
(!Nach drei Pi halbe)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Ableitung des Sinus || Kosinus
|-
| Ableitung des Kosinus || Minus-Sinus
|-
| Sinusnullstellen || Ganzzahlige Vielfache von Pi
|-
| Kosinusnullstellen || Pi halbe plus ganzzahlige Vielfache von Pi
|-
| Periode || Wiederholung nach zwei Pi
|-
| Nullstelle || Schnitt mit der x-Achse
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Kosinuswert'''
| Steigung des Sinus
|-
| '''Negativer Sinuswert'''
| Steigung des Kosinus
|-
| '''Vielfaches von Pi'''
| Nullstelle des Sinus
|-
| '''Ungerades Vielfaches von Pi halbe'''
| Nullstelle des Kosinus
|-
| '''Wiederholung nach zwei Pi'''
| Volle Periode

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Kosinus || Welche Funktion ist die Ableitung des Sinus?
|-
| Sinus || Welche Funktion steht mit einem Minuszeichen in der Ableitung des Kosinus?
|-
| Nullstelle || Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
|-
| Ableitung || Welche Funktion beschreibt die Steigung?
|-
| Bogenmass || Welches Winkelmaß arbeitet mit Pi?
|-
| Tangente || Welche Gerade zeigt die Steigung an einer Stelle?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Sinus+und+Kosinus+Ableitung+und+Nullstellen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Ableitung des Sinus ist der { Kosinus }.
Die Ableitung des Kosinus ist der { Minus-Sinus }.
Eine Nullstelle liegt auf der { x-Achse }.
Die Nullstellen des Sinus sind { ganzzahlige Vielfache von Pi }.
Die Nullstellen des Kosinus beginnen bei { Pi halbe }.
Sinus und Kosinus besitzen die Periode { zwei Pi }.
Ist die Ableitung null, ist die Tangente oft { waagerecht }.
Für die Ableitung von sin(3x) braucht man die { Kettenregel }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Video-Zusammenfassung]]: Fasse das Lernvideo in vier kurzen Sätzen zusammen.
# [[Formelkarten]]: Gestalte je eine Karte zu Ableitung und Nullstellen von Sinus und Kosinus.
# [[Graphenskizze]]: Zeichne Sinus und Kosinus von <math>-2\pi</math> bis <math>2\pi</math>.
# [[Nullstellen markieren]]: Markiere in Deiner Zeichnung alle Nullstellen und beschrifte sie.

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=== Standard ===

# [[Graphenvergleich]]: Zeichne <math>\sin(x)</math> und <math>\cos(x)</math> in dasselbe Koordinatensystem. Erkläre den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person behauptet: „Die Ableitung von Kosinus ist Sinus.“ Erkläre den Fehler mit einem Graphen.
# [[Kettenregel]]: Bestimme Ableitung und Nullstellen von <math>f(x)=\sin(2x)</math>.
# [[Erklär-Audio]]: Nimm eine einminütige Erklärung zu den Kosinusnullstellen auf.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Schwingungsmodell]]: Für <math>h(t)=2\sin(\pi t)</math> bestimmst Du Nullstellen und Ableitung. Deute beide Ergebnisse als Bewegung.
# [[Begründung]]: Erkläre mit Tangentensteigungen, warum die Ableitung des Sinus am Punkt <math>x=0</math> den Wert eins hat.
# [[Lernvideo erstellen]]: Produziere ein kurzes Video mit einem Beispiel zu Ableitung, Nullstellen und Extremstellen.
# [[Parameter untersuchen]]: Erforsche mit einer dynamischen Geometriesoftware, wie <math>a</math> und <math>b</math> die Funktionen <math>\sin(ax+b)</math> und <math>\cos(ax+b)</math> verändern.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Zusammenhang erklären]]: Begründe, warum die Extremstellen des Sinus an den Nullstellen des Kosinus liegen.
# [[Vorzeichen deuten]]: Beschreibe für eine Periode, wann der Sinus steigt und wann er fällt. Nutze das Vorzeichen des Kosinus.
# [[Verschiebung untersuchen]]: Vergleiche die Nullstellen von <math>\sin(x)</math> und <math>\sin(x-\frac{\pi}{2})</math>.
# [[Transfer auf Bewegung]]: Ein Gegenstand bewegt sich nach <math>s(t)=\cos(t)</math>. Erkläre die Bedeutung von <math>s'(t)</math> und seinen Nullstellen.
# [[Fehler korrigieren]]: Prüfe die Aussage <math>(\cos(4x))'=-\sin(4x)</math>. Korrigiere sie und erkläre die Kettenregel.
# [[Modell vergleichen]]: Entscheide, ob Sinus oder Kosinus besser zu einer Schwingung passt, die bei ihrem größten Wert startet. Begründe.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis sind wichtig:

# [[Formelsicherheit]]: Du kennst beide Ableitungs- und Nullstellenformeln.
# [[Graphisches Verständnis]]: Du kannst Funktion, Ableitung, Nullstellen und Extremstellen verbinden.
# [[Begründung]]: Du erklärst Rechenwege in eigenen Worten.
# [[Transfer]]: Du wendest die Regeln auf Funktionen mit innerem Faktor oder Verschiebung an.
# [[Produkt]]: Du gibst eine saubere Graphik, Erklärung oder Videoarbeit ab.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Sinus und Kosinus - Ableitung und Nullstellen]]'''
# [[Sinus und Kosinus]]
# [[Trigonometrische Funktion]]
# [[Ableitung]]
# [[Nullstelle]]
# [[Bogenmaß]]
# [[Kettenregel]]
# [[Funktionsgraph]]
# [[Extremstelle]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 13]]
[[Kategorie:Klasse 10-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Sinus und Kosinus - Ableitung und Nullstellen - Versionsgeschichte

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