Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:41:13Z

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{{T}}

{{BR}}
= Sinus, Kosinus und Tangens =

{{BR}}
= Einleitung =

Mit [[Sinus]], [[Kosinus]] und [[Tangens]] kannst Du in einem [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] fehlende Seiten und Winkel berechnen. Du brauchst dafür die drei Seitenbegriffe '''Hypotenuse''', '''Ankathete''' und '''Gegenkathete'''.

[[Datei:RechtwinkligesDreieck.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Die Seiten im Dreieck ==

# [[Hypotenuse]]: Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite.
# [[Ankathete]]: Sie liegt direkt am betrachteten Winkel.
# [[Gegenkathete]]: Sie liegt dem betrachteten Winkel gegenüber.

Wichtig: Ankathete und Gegenkathete hängen davon ab, welchen Winkel Du betrachtest.

{{BR}}
== Die drei Formeln ==

{| class="wikitable" style="margin:auto"
! Funktion
! Formel
! Verwendete Seiten
|-
| '''Sinus'''
| <math>\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}</math>
| Gegenkathete und Hypotenuse
|-
| '''Kosinus'''
| <math>\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}</math>
| Ankathete und Hypotenuse
|-
| '''Tangens'''
| <math>\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}</math>
| Gegenkathete und Ankathete
|}

[[Datei:Trigonometry.svg|420px|rahmenlos|center]]

'''Merksatz:''' Prüfe zuerst, welche zwei Seiten gegeben oder gesucht sind. Stelle Deinen Taschenrechner bei Winkelaufgaben auf '''DEG''' oder '''Gradmaß'''.

{{BR}}
== Kurzes Beispiel ==

Die Hypotenuse ist 10 cm lang. Der Winkel beträgt 30°. Gesucht ist die Gegenkathete.

<math>\sin(30^\circ)=\frac{g}{10}</math>

<math>g=10\cdot\sin(30^\circ)=5\,\text{cm}</math>

{{BR}}
== Lernvideo: Sine, Cosine, Tangent ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=AWZW1OwpT-w |500|center}}

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===

# [[Video-Notizen]]: Schreibe die drei Formeln aus dem Video auf.
# [[Dreieck beschriften]]: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck und markiere Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete.
# [[Funktionswahl]]: Erkläre, wann Du Sinus, Kosinus oder Tangens verwendest.
# [[Standbild erklären]]: Pausiere bei einer Dreiecksgrafik und erkläre sie mit eigenen Worten.
# [[Eigenes Beispiel]]: Erfinde eine Aufgabe mit einem Winkel und zwei Seiten. Löse sie mit einer Formel aus dem Video.

{{BR}}
== Vom Dreieck zum Einheitskreis ==

Im [[Einheitskreis]] ist der Radius 1. Der Kosinus zeigt die waagerechte Koordinate, der Sinus die senkrechte Koordinate. So lassen sich Sinus und Kosinus auch für Winkel über 90° beschreiben.

[[Datei:Sine and cosine animation.gif|400px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Unit circle sine cosine.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Die Funktionsgraphen ==

Sinus und Kosinus bilden regelmäßige Wellen. Der Tangens besitzt Stellen, an denen er nicht definiert ist.

[[Datei:Trigonometric functions.svg|600px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Freies Vertiefungsvideo ==

[[Datei:Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center]]

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wo liegt die Hypotenuse?'''
(Gegenüber dem rechten Winkel)
(!Direkt am rechten Winkel)
(!Immer links im Dreieck)
(!Immer unter dem Dreieck)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt den Sinus?'''
(Gegenkathete durch Hypotenuse)
(!Ankathete durch Hypotenuse)
(!Gegenkathete durch Ankathete)
(!Hypotenuse durch Gegenkathete)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt den Kosinus?'''
(Ankathete durch Hypotenuse)
(!Gegenkathete durch Hypotenuse)
(!Gegenkathete durch Ankathete)
(!Hypotenuse durch Ankathete)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Formel beschreibt den Tangens?'''
(Gegenkathete durch Ankathete)
(!Ankathete durch Hypotenuse)
(!Hypotenuse durch Gegenkathete)
(!Ankathete durch Gegenkathete und Hypotenuse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Funktion nutzt Gegenkathete und Hypotenuse?'''
(Sinus)
(!Kosinus)
(!Tangens)
(!Quadratwurzel)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Funktion nutzt Ankathete und Hypotenuse?'''
(Kosinus)
(!Sinus)
(!Tangens)
(!Prozentrechnung)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Funktion nutzt die beiden Katheten?'''
(Tangens)
(!Sinus)
(!Kosinus)
(!Pythagoraszahl)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Wert hat der Sinus von 30 Grad?'''
(0,5)
(!0)
(!1)
(!2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welchen Wert hat der Tangens von 45 Grad?'''
(1)
(!0)
(!0,5)
(!2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Taschenrechner-Einstellung brauchst Du für Winkel in Grad?'''
(DEG)
(!RAD)
(!STAT)
(!BASE)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Sinus || Verhältnis aus gegenüberliegender Kathete und längster Seite
|-
| Kosinus || Verhältnis aus anliegender Kathete und längster Seite
|-
| Tangens || Verhältnis der beiden Katheten
|-
| Hypotenuse || Seite gegenüber dem rechten Winkel
|-
| Ankathete || Seite direkt am betrachteten Winkel
|-
| Gegenkathete || Seite gegenüber dem betrachteten Winkel
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Sinus'''
| verbindet Gegenkathete und Hypotenuse
|-
| '''Kosinus'''
| verbindet Ankathete und Hypotenuse
|-
| '''Tangens'''
| verbindet Gegenkathete und Ankathete
|-
| '''Gradmaß'''
| wird am Taschenrechner als DEG angezeigt
|-
| '''Umkehrfunktion'''
| berechnet einen Winkel aus einem Seitenverhältnis

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Hypotenuse || Wie heißt die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck?
|-
| Ankathete || Wie heißt die Kathete direkt am betrachteten Winkel?
|-
| Gegenkathete || Wie heißt die Kathete gegenüber dem betrachteten Winkel?
|-
| Sinus || Welche Funktion verbindet Gegenkathete und Hypotenuse?
|-
| Kosinus || Welche Funktion verbindet Ankathete und Hypotenuse?
|-
| Tangens || Welche Funktion verbindet die beiden Katheten?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Sinus+Kosinus+und+Tangens </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Im rechtwinkligen Dreieck liegt die { Hypotenuse } gegenüber dem rechten Winkel. Die Seite am betrachteten Winkel heißt { Ankathete }. Die gegenüberliegende Seite heißt { Gegenkathete }. Der Sinus ist Gegenkathete geteilt durch { Hypotenuse }. Der Kosinus ist Ankathete geteilt durch { Hypotenuse }. Der Tangens ist Gegenkathete geteilt durch { Ankathete }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Formelkarte]]: Gestalte eine kleine Karte mit den drei Formeln.
# [[Begriffsskizze]]: Zeichne ein Dreieck und beschrifte alle Seiten.
# [[Video-Zusammenfassung]]: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.
# [[Taschenrechner-Test]]: Berechne Sinus, Kosinus und Tangens für 30°, 45° und 60°.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Funktionsentscheidung]]: Erfinde drei Dreiecke, bei denen jeweils eine andere Funktion gebraucht wird.
# [[Leiteraufgabe]]: Zeichne eine Leiter an einer Wand und berechne eine fehlende Länge.
# [[Fehleranalyse]]: Erstelle eine falsche Rechnung und erkläre anschließend den Fehler.
# [[Erklärbild]]: Gestalte ein Lernplakat mit Dreieck, Formeln und einem Beispiel.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Höhenmessung]]: Bestimme mithilfe eines gemessenen Winkels ungefähr die Höhe eines Gebäudes oder Baumes.
# [[Einheitskreis-Modell]]: Baue ein Modell, das Sinus und Kosinus am Einheitskreis zeigt.
# [[Graphenvergleich]]: Vergleiche die Graphen von Sinus, Kosinus und Tangens.
# [[Eigenes Lernvideo]]: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Beispiel und Kontrollfrage.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Passende Funktion begründen]]: Entscheide bei drei neuen Dreiecksaufgaben, welche Funktion passt, und begründe Deine Wahl.
# [[Fehler untersuchen]]: Eine Person verwechselt Ankathete und Gegenkathete. Erkläre, wie sich dadurch das Ergebnis verändert.
# [[Messproblem lösen]]: Plane eine Methode, mit der Du die Höhe eines schwer erreichbaren Gegenstands berechnen kannst.
# [[Zwei Lösungswege]]: Löse eine Dreiecksaufgabe zuerst trigonometrisch und prüfe sie anschließend mit dem Satz des Pythagoras.
# [[Dreieck und Einheitskreis verbinden]]: Erkläre, warum Sinus und Kosinus im Einheitskreis als Koordinaten erscheinen.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sicher erkennst,
# die passende trigonometrische Funktion auswählst,
# Seiten und Winkel mit dem Taschenrechner berechnest,
# Deinen Rechenweg verständlich erklärst,
# eine reale Messaufgabe auf ein rechtwinkliges Dreieck überträgst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Sinus, Kosinus und Tangens]]'''
# [[Trigonometrie]]
# [[Rechtwinkliges Dreieck]]
# [[Hypotenuse]]
# [[Sinus und Kosinus]]
# [[Tangens und Kotangens]]
# [[Einheitskreis]]
# [[Trigonometrische Funktion]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Klasse 8]]
[[Kategorie:Klasse 9]]
[[Kategorie:Klasse 10]]
[[Kategorie:Klasse 11]]
[[Kategorie:Klasse 12]]
[[Kategorie:Klasse 8-12]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Sinus, Kosinus und Tangens - Versionsgeschichte

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