Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt

2026-07-13T21:40:40Z

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{{T}}

{{BR}}
= Sigma-Regeln - Normalverteilung =

{{BR}}
= Einleitung =

Die '''Sigma-Regeln''' helfen Dir, Wahrscheinlichkeiten bei einer [[Normalverteilung]] schnell abzuschätzen. Die Glockenkurve ist symmetrisch. Ihr Mittelpunkt ist der [[Erwartungswert]] <math>\mu</math>. Die [[Standardabweichung]] <math>\sigma</math> beschreibt die Streuung.

[[Datei:Normal Distribution Sigma.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Die drei Sigma-Regeln ==

{| class="wikitable" style="margin:auto"
! Bereich
! Intervall
! Anteil
|-
| '''Ein-Sigma-Umgebung'''
| <math>[\mu-\sigma;\mu+\sigma]</math>
| ungefähr '''68,3 %'''
|-
| '''Zwei-Sigma-Umgebung'''
| <math>[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]</math>
| ungefähr '''95,4 %'''
|-
| '''Drei-Sigma-Umgebung'''
| <math>[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]</math>
| ungefähr '''99,7 %'''
|}

Die Prozentwerte gelten für [[Zufallsvariable|Zufallsvariablen]], die normalverteilt sind. Sie sind Näherungswerte.

[[Datei:Standard deviation diagram.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Beispiel ==

Eine normalverteilte Zufallsvariable hat <math>\mu=100</math> und <math>\sigma=15</math>.

# [[Ein-Sigma-Umgebung]]: <math>[85;115]</math> enthält ungefähr 68,3 % der Werte.
# [[Zwei-Sigma-Umgebung]]: <math>[70;130]</math> enthält ungefähr 95,4 % der Werte.
# [[Drei-Sigma-Umgebung]]: <math>[55;145]</math> enthält ungefähr 99,7 % der Werte.

Außerhalb der Zwei-Sigma-Umgebung liegen zusammen ungefähr 4,6 % der Werte.

[[Datei:Standard Normal Distribution-en.svg|500px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Video: Sigma-Regeln verstehen ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=OmmODKdYLSI |500|center}}

{{BR}}
=== Aufgaben zum Video ===

# [[Videoanalyse]]: Notiere, wofür <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> stehen.
# [[Sigma-Umgebung]]: Schreibe die drei im Video erklärten Intervalle auf.
# [[Wahrscheinlichkeit]]: Ordne den drei Intervallen die Werte 68,3 %, 95,4 % und 99,7 % zu.
# [[Anwendung]]: Berechne für <math>\mu=50</math> und <math>\sigma=4</math> die Ein-, Zwei- und Drei-Sigma-Umgebung.
# [[Begründung]]: Erkläre, warum die Sigma-Regeln nicht ohne Prüfung auf jede Datenmenge angewendet werden dürfen.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Wie groß ist der Anteil in der Ein-Sigma-Umgebung ungefähr?'''
(68,3 Prozent)
(!50 Prozent)
(!95,4 Prozent)
(!99,7 Prozent)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches Zeichen steht für die Standardabweichung?'''
(Sigma)
(!Mu)
(!Pi)
(!Delta)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wo liegt der Mittelpunkt einer Normalverteilung?'''
(Beim Erwartungswert)
(!Bei der Varianz)
(!Bei drei Sigma)
(!Am linken Rand)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welches Intervall ist die Zwei-Sigma-Umgebung?'''
(Mu minus zwei Sigma bis Mu plus zwei Sigma)
(!Mu minus Sigma bis Mu plus Sigma)
(!Mu minus drei Sigma bis Mu plus drei Sigma)
(!Null bis zwei Sigma)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viel Prozent liegen ungefähr in der Drei-Sigma-Umgebung?'''
(99,7 Prozent)
(!68,3 Prozent)
(!90 Prozent)
(!95,4 Prozent)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was beschreibt die Standardabweichung?'''
(Die Streuung der Werte)
(!Die Anzahl der Werte)
(!Den größten Wert)
(!Die Einheit der Wahrscheinlichkeit)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Form hat die Dichte einer Normalverteilung?'''
(Eine symmetrische Glockenkurve)
(!Eine Gerade)
(!Ein Rechteck)
(!Eine Treppe)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viel Prozent liegen ungefähr außerhalb der Zwei-Sigma-Umgebung?'''
(4,6 Prozent)
(!0,3 Prozent)
(!31,7 Prozent)
(!68,3 Prozent)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Für welche Verteilung gelten die Sigma-Regeln?'''
(Für die Normalverteilung)
(!Für jede beliebige Verteilung)
(!Nur für Kreisdiagramme)
(!Nur für ganze Zahlen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was geschieht bei einer größeren Standardabweichung?'''
(Die Glockenkurve wird breiter)
(!Der Erwartungswert wird immer null)
(!Alle Werte werden gleich)
(!Die Wahrscheinlichkeit wird größer als eins)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Erwartungswert || Mittelpunkt der Glockenkurve
|-
| Standardabweichung || Maß für die Streuung
|-
| Ein-Sigma-Umgebung || ungefähr 68,3 Prozent
|-
| Zwei-Sigma-Umgebung || ungefähr 95,4 Prozent
|-
| Drei-Sigma-Umgebung || ungefähr 99,7 Prozent
|-
| Normalverteilung || symmetrische Glockenkurve
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Erwartungswert'''
| Zentrum der Glockenkurve
|-
| '''Standardabweichung'''
| Maß für die Streuung
|-
| '''Ein-Sigma-Umgebung'''
| Bereich von Mu minus Sigma bis Mu plus Sigma
|-
| '''Zwei-Sigma-Umgebung'''
| Bereich mit ungefähr 95,4 Prozent
|-
| '''Drei-Sigma-Umgebung'''
| Bereich mit ungefähr 99,7 Prozent

|}
{{E}}

<br>

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Sigma || Welcher griechische Buchstabe steht für die Standardabweichung?
|-
| Mittelwert || Welcher Wert liegt im Zentrum der Glockenkurve?
|-
| Glockenkurve || Welche Form besitzt die Normalverteilung?
|-
| Symmetrie || Welche Eigenschaft hat die Kurve links und rechts vom Mittelpunkt?
|-
| Streuung || Was beschreibt die Standardabweichung?
|-
| Wahrscheinlichkeit || Was wird durch die Fläche unter der Kurve dargestellt?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Sigma-Regeln+-+Normalverteilung </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Die Normalverteilung besitzt eine symmetrische { Glockenkurve }. Ihr Mittelpunkt ist der { Erwartungswert }. Die Standardabweichung beschreibt die { Streuung }. In der Ein-Sigma-Umgebung liegen ungefähr { 68,3 Prozent } der Werte. In der Zwei-Sigma-Umgebung liegen ungefähr { 95,4 Prozent } der Werte. In der Drei-Sigma-Umgebung liegen ungefähr { 99,7 Prozent } der Werte.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Begriffskarte]]: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Erwartungswert, Standardabweichung und Normalverteilung.
# [[Glockenkurve]]: Zeichne eine Glockenkurve und markiere <math>\mu</math>, <math>\mu-\sigma</math> und <math>\mu+\sigma</math>.
# [[Videozusammenfassung]]: Fasse das Video in fünf einfachen Sätzen zusammen.
# [[Beispielrechnung]]: Berechne die Ein-Sigma-Umgebung für <math>\mu=20</math> und <math>\sigma=3</math>.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Intervallvergleich]]: Berechne alle drei Sigma-Umgebungen für <math>\mu=80</math> und <math>\sigma=5</math>.
# [[Datensatz]]: Erfinde einen passenden Sachkontext für eine normalverteilte Größe.
# [[Erklärvideo]]: Produziere ein einminütiges Video zur 68-95-99,7-Regel.
# [[Fehleranalyse]]: Erkläre, warum 95,4 % nicht bedeutet, dass in jeder kleinen Stichprobe genau 95,4 % der Werte im Intervall liegen.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Transferaufgabe]]: Entwickle eine Aufgabe aus der Qualitätskontrolle und löse sie mit einer Sigma-Regel.
# [[Simulation]]: Simuliere mit einer Tabellenkalkulation viele normalverteilte Werte und prüfe die drei Prozentangaben.
# [[Modellkritik]]: Untersuche einen Datensatz und begründe, ob eine Normalverteilung als Modell sinnvoll erscheint.
# [[Vergleich]]: Vergleiche die Sigma-Regeln mit einer Berechnung über die Standardnormalverteilung.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Modellentscheidung]]: Eine Datenreihe ist stark schief verteilt. Beurteile, ob die Sigma-Regeln sinnvoll eingesetzt werden können.
# [[Qualitätskontrolle]]: Ein Produktmaß ist normalverteilt mit <math>\mu=50</math> und <math>\sigma=0{,}4</math>. Leite einen Bereich her, der ungefähr 95,4 % der Produkte enthält.
# [[Rückwärtsaufgabe]]: Die Ein-Sigma-Umgebung lautet <math>[42;58]</math>. Bestimme <math>\mu</math> und <math>\sigma</math>.
# [[Interpretation]]: Erkläre den Unterschied zwischen „ungefähr 99,7 % liegen im Intervall“ und „alle Werte liegen im Intervall“.
# [[Vergleich zweier Verteilungen]]: Zwei Normalverteilungen haben denselben Erwartungswert, aber verschiedene Standardabweichungen. Beschreibe die Unterschiede ihrer Glockenkurven.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du:

# die Begriffe [[Erwartungswert]], [[Standardabweichung]] und [[Normalverteilung]] erklären,
# die drei Sigma-Intervalle aufstellen,
# die Prozentwerte 68,3 %, 95,4 % und 99,7 % richtig zuordnen,
# Sigma-Regeln in Sachaufgaben anwenden,
# die Grenzen des Modells begründen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Sigma-Regeln - Normalverteilung]]'''
# [[Normalverteilung]]
# [[Erwartungswert]]
# [[Standardabweichung]]
# [[Varianz]]
# [[Standardnormalverteilung]]
# [[Wahrscheinlichkeit]]
# [[Stochastik]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Statistik]]
[[Kategorie:Normalverteilung]]
[[Kategorie:Klasse 10-13]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Sigma-Regeln - Normalverteilung - Versionsgeschichte

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