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2026-07-13T21:40:34Z

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{{T}}

{{BR}}
= Schnittpunkte von Geraden - Lineare Funktionen =

{{BR}}
= Einleitung =

Zwei [[Lineare Funktion|lineare Funktionen]] können sich in einem Punkt treffen. Dieser gemeinsame Punkt heißt '''[[Schnittpunkt]]'''. An dieser Stelle haben beide Funktionen denselben [[x-Wert]] und denselben [[y-Wert]].

[[Datei:Intersection point of two linear functions.svg|420px|rahmenlos|center]]

Du lernst hier, wie Du einen Schnittpunkt zeichnerisch erkennst und rechnerisch bestimmst.

{{BR}}
== Das brauchst Du ==

# [[Lineare Funktion]]: Eine Funktion der Form <math>f(x)=mx+b</math>.
# [[Steigung]]: Die Zahl <math>m</math>.
# [[y-Achsenabschnitt]]: Die Zahl <math>b</math>.
# [[Koordinatensystem]]: Dort werden die Geraden gezeichnet.

{{BR}}
== Schnittpunkt berechnen ==

Für zwei Geraden <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> gehst Du so vor:

# '''Gleichsetzen''': <math>f(x)=g(x)</math>
# '''Nach x lösen''': Du erhältst die x-Koordinate.
# '''x einsetzen''': Setze den Wert in eine Funktionsgleichung ein.
# '''Punkt angeben''': Schreibe <math>S(x_S\mid y_S)</math>.

{{BR}}
== Beispiel ==

Gegeben sind:

<math>f(x)=2x+1</math>

<math>g(x)=-x+7</math>

'''1. Gleichsetzen:'''

<math>2x+1=-x+7</math>

'''2. Nach x lösen:'''

<math>3x=6</math>

<math>x=2</math>

'''3. x einsetzen:'''

<math>f(2)=2\cdot 2+1=5</math>

'''4. Ergebnis:'''

<math>S(2\mid 5)</math>

{{BR}}
== Drei mögliche Fälle ==

{| class="wikitable"
! Geraden
! Ergebnis
|-
| Unterschiedliche [[Steigung|Steigungen]]
| Genau ein Schnittpunkt
|-
| Gleiche Steigung, verschiedene y-Achsenabschnitte
| Kein Schnittpunkt: Die Geraden sind [[Parallele Geraden|parallel]]
|-
| Gleiche Steigung und gleicher y-Achsenabschnitt
| Unendlich viele Schnittpunkte: Die Geraden sind identisch
|}

[[Datei:Linear Function Graph Orthogonal.svg|360px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Three Lines.svg|360px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Lernvideo ==

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe es an wichtigen Rechenschritten.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=ZrFE3LRisn0 |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Beobachtungsauftrag]]: Notiere die beiden Funktionsgleichungen eines Beispiels aus dem Video.
# [[Gleichsetzen]]: Schreibe auf, an welcher Stelle die Funktionsterme gleichgesetzt werden.
# [[Rechenweg]]: Rechne ein Beispiel aus dem Video selbst. Vergleiche danach Deinen Weg.
# [[Begründung]]: Erkläre in einem Satz, warum man die Funktionsterme gleichsetzen darf.
# [[Probe]]: Setze den berechneten x-Wert in beide Funktionen ein.
# [[Fehlerliste]]: Notiere zwei Fehler, die beim Berechnen eines Schnittpunkts passieren können.

{{BR}}
== Zusatzvideo: Gibt es einen Schnittpunkt? ==

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=DuY8Jzilc10 |500|center}}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist ein Schnittpunkt zweier Geraden?'''
(Ein gemeinsamer Punkt beider Geraden)
(!Der höchste Punkt einer Geraden)
(!Der Schnittpunkt mit der x-Achse)
(!Der y-Achsenabschnitt)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der erste Rechenschritt beim Bestimmen eines Schnittpunkts?'''
(Die Funktionsterme gleichsetzen)
(!Beide Steigungen addieren)
(!Den x-Wert verdoppeln)
(!Das Koordinatensystem löschen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche x-Koordinate hat der Schnittpunkt von f gleich 2x plus 1 und g gleich minus x plus 7?'''
(2)
(!1)
(!3)
(!5)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche y-Koordinate gehört im Beispiel zum x-Wert 2?'''
(5)
(!2)
(!6)
(!7)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele Schnittpunkte haben zwei Geraden mit unterschiedlichen Steigungen?'''
(Genau einen)
(!Keinen)
(!Genau zwei)
(!Unendlich viele)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt bei gleicher Steigung und verschiedenen y-Achsenabschnitten?'''
(Die Geraden sind parallel)
(!Die Geraden sind identisch)
(!Die Geraden schneiden sich zweimal)
(!Die Geraden sind immer senkrecht)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gilt bei zwei gleichen Funktionsgleichungen?'''
(Es gibt unendlich viele gemeinsame Punkte)
(!Es gibt keinen gemeinsamen Punkt)
(!Es gibt genau einen gemeinsamen Punkt)
(!Es gibt genau drei gemeinsame Punkte)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie prüfst Du einen berechneten Schnittpunkt?'''
(Du setzt die Koordinaten in beide Funktionen ein)
(!Du addierst nur die Steigungen)
(!Du vertauschst x und y)
(!Du rundest beide Koordinaten)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Form hat der Graph einer linearen Funktion?'''
(Eine Gerade)
(!Einen Kreis)
(!Eine Parabel)
(!Ein Dreieck)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie liegen die Geraden f gleich 3x minus 2 und g gleich 3x plus 4?'''
(Parallel)
(!Identisch)
(!Senkrecht)
(!Sie schneiden sich bei x gleich 0)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Schnittpunkt || gemeinsamer Punkt
|-
| Gleichsetzen || f von x ist gleich g von x
|-
| x-Koordinate || Lösung der Gleichung
|-
| y-Koordinate || Ergebnis nach dem Einsetzen
|-
| parallel || kein gemeinsamer Punkt
|-
| identisch || unendlich viele gemeinsame Punkte
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Bedeutung
|-
| '''Gleichsetzen'''
| Erster Schritt der Rechnung
|-
| '''x berechnen'''
| Gleichung nach der Variablen lösen
|-
| '''Einsetzen'''
| y-Koordinate bestimmen
|-
| '''Probe'''
| Ergebnis in beiden Funktionen prüfen
|-
| '''Schnittpunkt'''
| Gemeinsame Koordinate angeben

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Gerade || Wie heißt der Graph einer linearen Funktion?
|-
| Steigung || Welche Größe wird meist mit m bezeichnet?
|-
| Schnittpunkt || Wie heißt der gemeinsame Punkt zweier Geraden?
|-
| Parallel || Wie liegen Geraden mit gleicher Steigung und verschiedenen Achsenabschnitten?
|-
| Gleichsetzen || Welcher Rechenschritt steht am Anfang?
|-
| Koordinate || Wie heißt eine Zahl zur Beschreibung der Lage eines Punktes?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Schnittpunkte+von+Geraden+Lineare+Funktionen </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Der gemeinsame Punkt zweier Geraden heißt { Schnittpunkt }. Zum Berechnen werden die beiden Funktionsterme { gleichgesetzt }. Die Lösung der Gleichung liefert zuerst die { x-Koordinate }. Durch Einsetzen erhältst Du danach die { y-Koordinate }. Gleiche Steigungen und verschiedene Achsenabschnitte führen zu { parallelen } Geraden. Zwei gleiche Funktionsgleichungen beschreiben { identische } Geraden.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Skizze]]: Zeichne zwei Geraden mit genau einem Schnittpunkt und markiere ihn.
# [[Video-Notizen]]: Fasse den Rechenweg aus dem Lernvideo in vier kurzen Sätzen zusammen.
# [[Probe]]: Prüfe den Punkt <math>S(2\mid 5)</math> für die Funktionen aus dem Beispiel.
# [[Mathematik im Alltag]]: Fotografiere oder zeichne zwei sich kreuzende gerade Linien und markiere ihren Schnittpunkt.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Erklärvideo]]: Produziere ein Erklärvideo von höchstens 90 Sekunden zum Gleichsetzungsverfahren.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde einen falschen Rechenweg und erkläre anschließend den Fehler.
# [[GeoGebra]]: Zeichne zwei lineare Funktionen digital und überprüfe den berechneten Schnittpunkt.
# [[Sachaufgabe]]: Erfinde zwei Kostenmodelle und deute ihren Schnittpunkt.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Parameter]]: Untersuche, wie sich der Schnittpunkt verändert, wenn Du einen y-Achsenabschnitt veränderst.
# [[Sonderfälle]]: Erstelle je ein Beispiel für schneidende, parallele und identische Geraden.
# [[Modellierung]]: Vergleiche zwei Tarife mit linearen Funktionen und begründe, wann welcher günstiger ist.
# [[Lernprodukt]]: Gestalte ein digitales Lernplakat mit Beispiel, Rechenweg, Probe und Sonderfällen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Tarifvergleich]]: Zwei Tarife kosten <math>A(x)=2x+10</math> und <math>B(x)=3x+4</math>. Berechne den Schnittpunkt und erkläre seine Bedeutung.
# [[Fehler finden]]: Eine Person setzt zwei Funktionen gleich, berechnet x richtig, nennt x aber als vollständigen Schnittpunkt. Erkläre, was noch fehlt.
# [[Sonderfall erkennen]]: Entscheide ohne Zeichnung, ob <math>f(x)=4x+1</math> und <math>g(x)=4x-3</math> einen Schnittpunkt haben. Begründe.
# [[Funktionen erfinden]]: Stelle zwei verschiedene lineare Funktionen auf, die sich im Punkt <math>S(3\mid 7)</math> schneiden.
# [[Graph und Rechnung]]: Erkläre, warum ein ungenau gezeichneter Graph einen anderen Schnittpunkt vermuten lassen kann als die Rechnung.
# [[Transfer]]: Beschreibe, wie Du allein an Steigung und y-Achsenabschnitt erkennst, ob zwei Geraden keinen, einen oder unendlich viele Schnittpunkte haben.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

# zwei lineare Funktionsterme gleichsetzen kannst,
# eine Gleichung sicher nach x lösen kannst,
# die y-Koordinate durch Einsetzen bestimmst,
# einen Schnittpunkt korrekt angibst,
# das Ergebnis mit einer Probe kontrollierst,
# parallele und identische Geraden erkennst,
# einen Schnittpunkt in einer Sachaufgabe deuten kannst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Lineare_Funktion </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Schnittpunkte von Geraden - Lineare Funktionen]]'''
# [[Lineare Funktion]]
# [[Schnittpunkt]]
# [[Gleichsetzungsverfahren]]
# [[Lineares Gleichungssystem]]
# [[Steigung]]
# [[y-Achsenabschnitt]]
# [[Parallele Geraden]]
# [[Koordinatensystem]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Lineare Funktionen]]
[[Kategorie:Gleichungssysteme]]
[[Kategorie:Klasse 8-11]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Schnittpunkte von Geraden - Lineare Funktionen - Versionsgeschichte

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