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2026-07-13T21:44:51Z

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{{T}}

{{BR}}
= Schnittpunkt zwischen linearer und quadratischer Funktion =

{{BR}}
= Einleitung =

Eine [[lineare Funktion]] hat als Graphen eine '''Gerade'''. Eine [[quadratische Funktion]] hat als Graphen eine '''Parabel'''. Ein [[Schnittpunkt]] liegt dort, wo beide Graphen denselben Punkt haben.

[[Datei:01 Parabel-Einleitungsbild.svg|420px|rahmenlos|center|Graph einer Parabel]]

{{BR}}
== Das lernst Du ==

# [[Gleichsetzen]]: Du setzt beide Funktionsterme gleich.
# [[Quadratische Gleichung]]: Du berechnest die möglichen x-Werte.
# [[Koordinaten]]: Du bestimmst zu jedem x-Wert den passenden y-Wert.
# [[Lagebeziehung]]: Du erkennst null, einen oder zwei Schnittpunkte.

{{BR}}
= Gerade und Parabel =

Eine lineare Funktion hat meist die Form <math>g(x)=mx+n</math>.

Eine quadratische Funktion hat die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\neq 0</math>.

[[Datei:Linear Function Graph.svg|420px|rahmenlos|center|Graphen linearer Funktionen]]

Am Schnittpunkt gilt:

<math>f(x)=g(x)</math>

Beide Funktionen haben dort also denselben '''y-Wert'''.

{{BR}}
== Rechenweg ==

# '''Gleichsetzen''': <math>f(x)=g(x)</math>
# '''Umformen''': Bringe die Gleichung in die Form <math>ax^2+bx+c=0</math>.
# '''x-Werte berechnen''': Löse die quadratische Gleichung.
# '''y-Werte berechnen''': Setze jeden x-Wert in eine Funktion ein.
# '''Schnittpunkte angeben''': Schreibe <math>S(x\mid y)</math>.

{{BR}}
== Beispiel ==

Gegeben sind:

<math>f(x)=x^2-1</math>

<math>g(x)=x+1</math>

'''1. Gleichsetzen'''

<math>x^2-1=x+1</math>

'''2. Umformen'''

<math>x^2-x-2=0</math>

'''3. Lösen'''

<math>(x-2)(x+1)=0</math>

Daraus folgen <math>x_1=2</math> und <math>x_2=-1</math>.

'''4. y-Werte berechnen'''

<math>g(2)=3</math>

<math>g(-1)=0</math>

Die Schnittpunkte sind:

<math>S_1(2\mid 3)</math> und <math>S_2(-1\mid 0)</math>.

{{BR}}
== Null, ein oder zwei Schnittpunkte ==

Eine Gerade und eine Parabel können '''null''', '''einen''' oder '''zwei''' gemeinsame Punkte haben.

# [[Sekante]]: zwei Schnittpunkte
# [[Tangente]]: ein Berührpunkt
# [[Passante]]: kein Schnittpunkt

[[Datei:Tangency Example 2.svg|420px|rahmenlos|center|Eine Gerade berührt eine Kurve in einem Punkt]]

Für die Gleichung <math>ax^2+bx+c=0</math> hilft die [[Diskriminante]]:

<math>D=b^2-4ac</math>

# <math>D>0</math>: zwei Schnittpunkte
# <math>D=0</math>: ein Schnittpunkt
# <math>D<0</math>: kein reeller Schnittpunkt

[[Datei:Lagebeziehungen zwischen Gerade und Parabel - kolleg24 Mathematik.webm|500px|center|Lagebeziehungen zwischen Gerade und Parabel]]

{{BR}}
= Video =

Sieh Dir das Video an. Stoppe es bei den Rechenschritten und rechne selbst mit.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=cWlTZMJzz1M |500|center}}

{{BR}}
== Aufgaben zum Video ==

# [[Video-Begriffe]]: Notiere die Wörter Gerade, Parabel, Gleichsetzen und Schnittpunkt.
# [[Video-Rechenweg]]: Schreibe die gezeigten Rechenschritte in der richtigen Reihenfolge auf.
# [[Video-Stopp]]: Pausiere vor dem Ergebnis und rechne selbst weiter.
# [[Video-Vergleich]]: Vergleiche Deinen Rechenweg mit dem Weg im Video.
# [[Video-Erklärung]]: Erkläre in drei Sätzen, warum der x-Wert allein noch kein Schnittpunkt ist.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was gilt an einem Schnittpunkt?'''
(Beide Funktionen haben denselben y-Wert)
(!Beide Funktionen haben immer den Wert null)
(!Beide Graphen haben dieselbe Steigung)
(!Beide Funktionen sind quadratisch)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist der erste Rechenschritt?'''
(Die Funktionsterme gleichsetzen)
(!Nur die Gerade zeichnen)
(!Den y-Wert löschen)
(!Die Koeffizienten addieren)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie viele Schnittpunkte können eine Gerade und eine Parabel höchstens haben?'''
(Zwei)
(!Drei)
(!Vier)
(!Unendlich viele)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie heißt eine Gerade mit genau einem gemeinsamen Punkt mit der Parabel?'''
(Tangente)
(!Sekante)
(!Passante)
(!Symmetrieachse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet eine quadratische Gleichung ohne reelle Lösung?'''
(Die Graphen haben keinen reellen Schnittpunkt)
(!Die Graphen haben zwei Schnittpunkte)
(!Die Gerade ist senkrecht)
(!Die Parabel wird zu einer Geraden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wie erhältst Du nach dem x-Wert den y-Wert?'''
(Du setzt den x-Wert in eine Funktion ein)
(!Du verdoppelst den x-Wert immer)
(!Du setzt den x-Wert gleich null)
(!Du zeichnest nur die x-Achse)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche x-Werte entstehen bei x² minus x minus 2 gleich null?'''
(Minus eins und zwei)
(!Null und eins)
(!Eins und zwei)
(!Minus zwei und null)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher y-Wert gehört im Beispiel zu x gleich zwei?'''
(Drei)
(!Null)
(!Eins)
(!Vier)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet D gleich null?'''
(Es gibt genau einen reellen Schnittpunkt)
(!Es gibt zwei reelle Schnittpunkte)
(!Es gibt keinen reellen Schnittpunkt)
(!Es gibt unendlich viele Schnittpunkte)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Graph gehört zu einer quadratischen Funktion?'''
(Eine Parabel)
(!Eine Gerade)
(!Ein Kreis)
(!Ein Dreieck)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Lineare Funktion || Gerade
|-
| Quadratische Funktion || Parabel
|-
| Gleichsetzen || Gleicher y-Wert
|-
| x-Lösung || x-Koordinate
|-
| Einsetzen || y-Koordinate
|-
| Doppelwurzel || Berührpunkt
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable"
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Rechenschritt
|-
| '''Gleichsetzen'''
| Funktionsterme auf dieselbe Seite bringen
|-
| '''Umformen'''
| Quadratische Gleichung gleich null schreiben
|-
| '''Lösen'''
| x-Werte bestimmen
|-
| '''Einsetzen'''
| y-Werte bestimmen
|-
| '''Prüfen'''
| Punkte mit den Graphen vergleichen

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Parabel || Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
|-
| Gerade || Wie heißt der Graph einer linearen Funktion?
|-
| Tangente || Wie heißt eine Gerade mit genau einem gemeinsamen Punkt?
|-
| Sekante || Wie heißt eine Gerade mit zwei gemeinsamen Punkten?
|-
| Passante || Wie heißt eine Gerade ohne gemeinsamen Punkt?
|-
| Einsetzen || Welcher Rechenschritt liefert nach x den y-Wert?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Schnittpunkt+zwischen+linearer+und+quadratischer+Funktion </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Am Schnittpunkt sind die Funktionswerte { gleich }. Der Graph einer linearen Funktion ist eine { Gerade }. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine { Parabel }. Zuerst werden die Funktionsterme { gleichgesetzt }. Die Lösungen der quadratischen Gleichung liefern die { x-Koordinaten }. Durch Einsetzen erhältst Du die { y-Koordinaten }. Bei einer Diskriminante von null entsteht ein { Berührpunkt }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Graphen erkennen]]: Zeichne eine Gerade und eine Parabel in ein Koordinatensystem.
# [[Schnittpunkte markieren]]: Markiere alle gemeinsamen Punkte Deiner Graphen.
# [[Rechenweg ordnen]]: Gestalte eine Karte mit den fünf Rechenschritten.
# [[Video-Zusammenfassung]]: Fasse das Lernvideo in vier einfachen Sätzen zusammen.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Eigenes Beispiel]]: Wähle eine lineare und eine quadratische Funktion mit zwei Schnittpunkten und berechne sie.
# [[Berührpunkt gestalten]]: Finde ein Beispiel mit genau einem Schnittpunkt und zeichne die Graphen.
# [[Fehler finden]]: Erstelle einen falschen Rechenweg und erkläre den Fehler.
# [[Erklärbild]]: Gestalte ein Bild zu Sekante, Tangente und Passante.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Parameter untersuchen]]: Verändere bei <math>g(x)=x+n</math> den Wert von <math>n</math> und untersuche die Zahl der Schnittpunkte mit <math>f(x)=x^2</math>.
# [[Diskriminante erklären]]: Zeige an drei Beispielen die Fälle <math>D>0</math>, <math>D=0</math> und <math>D<0</math>.
# [[Sachaufgabe entwickeln]]: Erfinde eine Situation, in der ein linearer und ein quadratischer Verlauf verglichen werden.
# [[Lernvideo produzieren]]: Erstelle ein kurzes eigenes Erklärvideo mit Beispiel und Probe.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Methodenvergleich]]: Löse eine Aufgabe rechnerisch und grafisch. Erkläre mögliche Unterschiede durch Ablesefehler.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Person berechnet nur die x-Werte. Begründe, warum das Ergebnis noch unvollständig ist.
# [[Parameterwirkung]]: Erkläre, wie eine Verschiebung der Geraden nach oben die Zahl der Schnittpunkte verändern kann.
# [[Transferaufgabe]]: Vergleiche <math>f(x)=x^2</math> mit <math>g(x)=2x+k</math>. Finde Werte für <math>k</math> mit null, einem und zwei Schnittpunkten.
# [[Modell beurteilen]]: Entscheide bei einer selbst gewählten Sachsituation, was die Schnittpunkte inhaltlich bedeuten.
# [[Strategie erklären]]: Begründe, warum das Gleichsetzen der Funktionsterme mathematisch sinnvoll ist.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen Lernnachweis solltest Du:

# den Begriff [[Schnittpunkt]] erklären,
# eine lineare und eine quadratische Funktion gleichsetzen,
# die entstehende [[quadratische Gleichung]] lösen,
# vollständige Schnittpunkte mit x- und y-Wert angeben,
# null, einen und zwei Schnittpunkte deuten,
# Deinen Rechenweg verständlich erklären.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Schnittpunkt </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Schnittpunkt zwischen linearer und quadratischer Funktion]]'''
# [[Lineare Funktion]]
# [[Quadratische Funktion]]
# [[Parabel]]
# [[Gerade]]
# [[Quadratische Gleichung]]
# [[Diskriminante]]
# [[Sekante]]
# [[Tangente]]
# [[Passante]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Lineare Funktion]]
[[Kategorie:Quadratische Funktion]]
[[Kategorie:Klasse 8-10]]
[[Kategorie:Klasse 11-12]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}

Schnittpunkt zwischen linearer und quadratischer Funktion - Versionsgeschichte

Glanz: aiMOOC über GPT aiMOOC Action erstellt